الدوال المثلثية والإحداثيات القطبية: مقدمة

ملخص

يفتتح هذا الدرس دورة الجبر والهندسة 2 ووحدتها الأولى، المخصصة للدوال المثلثية والإحداثيات القطبية. ويقترح تقييم دخول يقيس نقطة البداية في دروس الوحدة الستة وفيما تعدّه الوحدة معلومًا من دورة الجبر والهندسة 1. ويجمع ما تتركه دورة الجبر والهندسة 1 مقرَّرًا، ويعرض دروس الوحدة الستة بالترتيب الذي تُدرس به، من قياس الزوايا إلى المنحنيات القطبية والقطوع المخروطية التي بؤرتها في القطب، ويشرح ما يبرهنه كل منها ولماذا يهمّ. ثم يعيد بناء الخلفية التاريخية: علم الفلك الإغريقي، الذي احتاج إلى قياس ما يتعذّر بلوغه فوضع جداول لأوتار الأقواس؛ ونصف وتر القوس المضاعفة، الذي وضعه فلكيو الهند في مركز الحساب والذي اتخذ، عبر الترجمات العربية واللاتينية، اسم الجيب؛ وحساب المثلثات بوصفه علمًا مستقلًا، وتحوّله في القرن الثامن عشر إلى دراسة دوال في متغير حقيقي. ويصوغ المسألة التي نشأ منها، وهي حساب المسافات انطلاقًا من الزوايا، بمثلث أريستارخوس الساموسي، ويختم بالإشارة إلى المواضع التي تُستعمل فيها هذه الأفكار في بقية الدورة، وفي دورات أخرى على الموقع، وفي العلم والتقنية.

أهداف التعلم

وصف محتوى الوحدة، بوضع كل درس من دروسها في تتابع يمتد من قياس الزوايا إلى المنحنيات القطبية.
شرح الأصل الفلكي والجيوديسي لحساب المثلثات وللإحداثيات القطبية، والتعرّف على مراحلهما الرئيسية، من جدول الأوتار إلى دوال المتغير الحقيقي.
التعبير عن وتر قوس بواسطة جيب نصف القوس، وصياغة مسألة أريستارخوس بوصفها حساب نسبة بين مسافتين انطلاقًا من زاوية.
تحديد المواضع في الدورة، وفي دورات أخرى، وفي العلم والتقنية، التي تُستعمل فيها الدوال المثلثية والإحداثيات القطبية.

تقييم الدخول

قبل اجتياز الوحدة يحسن قياس نقطة البداية، دون أي درجة. فالأسئلة العشرة الأولى تتناول دروس المحتوى الستة في الوحدة: سؤالان للدوال العكسية وسؤالان لحل المثلثات، وهما الدرسان اللذان تستند إليهما بقية الدورة أكثر من غيرهما؛ وسؤالان للدوال المثلثية وتمثيلاتها البيانية، أحدهما مسألة في سياق ينبغي صياغتها؛ وسؤالان للإحداثيات القطبية، أحدهما عن المعادلة القطبية للقطوع المخروطية؛ وسؤال لكل واحد من الدرسين الآخرين. وتُقاس المهارات نفسها مرة أخرى في النهاية، في درس الخلاصة. أما الأسئلة الستة الأخيرة فتتحقق مما تعدّه الدورة معلومًا من دورة الجبر والهندسة 1: تمام الأعداد الحقيقية، والدالة العكسية لدالة، والمماس لدائرة والجداء السلمي، والاختلاف المركزي لقطع ناقص، والدالة الأسية واللوغاريتم عبر جيب التمام الزائدي، وخارج قسمة عددين مركبين في الشكل الجبري. ومن يخطئ في أحدها يعرف إلى أي درس من دورة الجبر والهندسة 1 يحسن أن يعود قبل البدء، ومن يخطئ في أحد الأسئلة العشرة الأولى يعرف عند أي درس من الوحدة ينبغي أن يتوقف.

محتويات الوحدة

بهذه الوحدة تبدأ دورة الجبر والهندسة 2، التي تفترض إتمام دورة الجبر والهندسة 1. ومنها تأخذ خمسة أمور تُستعمل هنا دون إعادة برهانها. الأول هو الأعداد الحقيقية بوصفها حقلًا مرتبًا تامًا، مع خاصية أرخميدس وكثافة الأعداد النسبية، اللتين ستسمحان بردّ كل زاوية إلى الدورة الأولى وبتعميم ما يُبرهن للنسبية على جميع الزوايا. والثاني دراسة الدوال: مجال التعريف، والمدى، والتركيب، والدالة العكسية لدالة تقابلية، وتحويلات التمثيلات البيانية، مع جداول الإشارات وتحليل كثيرات الحدود. والثالث الهندسة التحليلية في المستوى: المسافة، والمستقيم في الشكل الديكارتي والوسيطي، والمتجهات مع الجداء السلمي، والدائرة والقطوع المخروطية مع بؤرتها ومستقيمها الدليل. والرابع الدوال الأسية واللوغاريتمية والزائدية، التي يمهّد تمثيلها الوسيطي للقطع الزائد لتمثيل الدائرة. والخامس الأعداد المركبة في الشكل الجبري، الممثَّلة نقاطًا في المستوى، التي تهيّئها هذه الوحدة لتُكتب بمقياس وزاوية.

غير أن أيًّا من هذه الأدوات لا يجيب عن سؤال قديم جدًا: إذا عُلمت زاوية، فما النسبة بين أضلاع مثلث قائم يحويها؟ وهذه الوحدة تجيب عنه، ومن الجواب تولد ست دوال في متغير حقيقي، ودوالها العكسية، وحلّ جميع المثلثات، وطريقة ثانية لتسمية نقاط المستوى. وتتعاقب الدروس على هذا النحو.

يعرّف درس الزوايا وقياسها الزوايا الموجَّهة، التي تقيس الدورانات مع اتجاهها ويمكن أن تتجاوز الدورة، وينصّ على مسلّمة السير على الدائرة بطول القوس، التي تقوم عليها الوحدة كلها، ويعرّف بها القياس بالراديان بوصفه طول القوس في دائرة الوحدة؛ ويبرهن صيغتي القوس والقطاع، ومبرهنة الزاوية المحيطية، وردّ كل زاوية إلى الدورة الأولى، الذي هو القسمة مع الباقي للأعداد الحقيقية على $2\pi$ . وأهميته أن الراديان هو القياس الذي يجعل كل الصيغ اللاحقة بسيطة.
يعرّف درس النسب المثلثية ودائرة الوحدة الجيب وجيب التمام والظل أولًا في المثلث القائم، مبرهنًا بالتشابه أنها لا تتعلق بالمثلث، ثم لكل عدد حقيقي، بوصفها إحداثيات نقطة من دائرة الوحدة؛ ويبرهن المتطابقة الفيثاغورية والقيم الخاصة والتناظرات. وهو المنعطف الحاسم في الوحدة: يحوّل نسبة هندسية إلى كمية معرّفة لأي زاوية.
يدرس درس الدوال المثلثية وتمثيلاتها البيانية الجيب وجيب التمام والظل بوصفها دوالّ، ويبرهن أدوارها الصغرى، ويرسم تمثيلاتها البيانية، ويبرهن، بمقارنة المساحات، المتباينة $\sin x < x < \tan x$ . ويقدّم بالمنحنيات الجيبية نموذج كل الظواهر الدورية.
يستنتج درس الدوال المثلثية العكسية من مسلّمة السير أن جيب التمام والجيب رتيبان تمامًا على فترات معينة، ويقيّد الدوال عليها، ويعرّف قوس الجيب وقوس جيب التمام وقوس الظل، ويحل المعادلات الأولية في دورة واحدة. ويتيح سلوك الطريق المعاكس: من نسبة معلومة إلى الزاوية التي تنتجها.
يبرهن درس حل المثلثات المساحة بدلالة ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، وقانون الجيوب، وقانون جيوب التمام، وصيغة هيرون، ويناقش الحالة الملتبسة. ويعمّم حساب مثلثات المثلث القائم على جميع المثلثات ويقيس، بالجداء السلمي، الزاوية بين متجهين.
يسمّي درس الإحداثيات القطبية والمنحنيات القطبية كل نقطة ببعدها عن القطب وبزاوية، ويستنتج صيغ الانتقال إلى الإحداثيات الديكارتية، ويرسم المنحنيات القلبية والوردية واللوالب والحلزونات، ويحصل على المعادلة القطبية للقطوع المخروطية التي بؤرتها في القطب. ويمهّد للشكل القطبي للأعداد المركبة ولوصف المدارات.

وتنتهي الوحدة بدرس الخلاصة والتحديات، الذي يجمع ما بُرهن، ويقيس بتقييم الخروج ما تحقق مقارنةً بتقييم الدخول في هذا الدرس، ويقترح عشر مسائل أشد صعوبة.

الخلفية التاريخية

لم يولد حساب المثلثات فصلًا من فصول الجبر، بل تقنيةً من تقنيات علم الفلك. فلكي يتنبأ الفلكيون بمواضع الأجرام ويقيسوا مسافات لا يمكن قطعها، احتاجوا إلى الانتقال من الزوايا، التي تُرصد، إلى الأطوال، التي تُحسب؛ والهندسة الإغريقية، التي كانت تعرف إنشاء الأشكال بالمسطرة والفرجار، لم تكن تقدّم أي وسيلة لحساب النسبة بين ضلعين من أضلاع مثلث إذا عُلمت زاوية اختيارية.

جدول الأوتار

ورث علم الفلك الإغريقي عن البابلي تقسيم الدائرة إلى $360$ درجة والحساب في النظام الستيني. ونحو القرن الثالث قبل الميلاد، قدّر أريستارخوس الساموسي بحجج هندسية النسبة بين بعدي الشمس والقمر، وقاس إراتوستينس محيط الأرض انطلاقًا من زاوية، كما سيُرى في الدرس الخاص بـالزوايا وقياسها. ويُنسب إلى هيبارخوس النيقي، في القرن الثاني قبل الميلاد، أول جدول للأوتار: لكل زاوية مركزية، طول الوتر الذي تحصره في دائرة نصف قطرها ثابت. والجدول المحفوظ هو جدول كلاوديوس بطليموس، الذي أعطى في «المجسطي»، في القرن الثاني الميلادي، أوتار الأقواس كل نصف درجة في دائرة نصف قطرها $60$ . وكان منلاوس السكندري، نحو سنة 100، قد مدّ الحساب إلى المثلثات المرسومة على الكرة السماوية.

الوتر والجيب معلومة واحدة مكتوبة بطريقتين. والقضية الآتية تحدّد ذلك، وتبيّن لماذا كان الانتقال من أحدهما إلى الآخر أكثر من تغيير في الاسم: فالجيب نصف وتر القوس المضاعفة، وهو ضلع قائم في مثلث قائم.

قضيةالوتر والجيب

في الدائرة التي نصف قطرها $1$ ومركزها $O$ ، ليكن $C(\theta)$ طول الوتر الذي يصل طرفي $A$ و $B$ قوس زاويته المركزية $\theta$ ، حيث $0 < \theta < \pi$ . عندئذ $C(\theta) = 2 \sin \frac{\theta}{2}$ .

البرهان

$C(\theta) = \operatorname{d}(A, B), \quad \operatorname{d}(O, A) = \operatorname{d}(O, B) = 1$
وتر الدائرة هو الضلع المقابل للزاوية $\theta$ في المثلث الذي رؤوسه $O$ و $A$ و $B$ ، وضلعاه الآخران نصفا قطرين.
$\operatorname{d}(A, M) = \operatorname{d}(M, B), \quad \angle AOM = \angle MOB = \dato{m}{\frac{\theta}{2}}$
المثلث متساوي الساقين؛ والعمود المرسوم من $O$ على وتر الدائرة يقطعه في منتصفه $M$ ويقسم الزاوية المركزية إلى زاويتين متساويتين، لأن المثلثين اللذين رؤوسهما $O$ و $M$ و $A$ و $O$ و $M$ و $B$ قائمان في $M$ ، وزاويتاهما عند $A$ وعند $B$ متساويتان لكون المثلث متساوي الساقين، ويشتركان في الضلع $OM$ : فهما بمعيار التشابه بزاويتين متشابهان بنسبة $1$ .
$\operatorname{d}(M, B) = \resaltar{\sin \frac{\theta}{2}} \rightarrow \dato{c}{C(\theta) = \resaltar{2 \sin \frac{\theta}{2}}}$
في المثلث القائم الذي رؤوسه $O$ و $M$ و $B$ ، طول وتر المثلث القائم $1$ ، والضلع المقابل للزاوية $\frac{\theta}{2}$ هو نصف وتر الدائرة؛ وبتعريف الجيب، هذا الضلع هو $\sin \frac{\theta}{2}$ .
$\sin \alpha = \frac{1}{2} C(2\alpha), \qquad 60 C(\theta) = 120 \sin \frac{\theta}{2}$
إذا قُرئت المساواة بالعكس، مع $\theta = 2\alpha$ ، فإنها تقول إن جيب زاوية هو نصف وتر الزاوية المضاعفة؛ وفي دائرة بطليموس التي نصف قطرها $60$ تُضرب كل الأطوال في $60$ .

من نصف القوس إلى الجيب

جدول فلكيو الهند، مثل آريابهاتا نحو سنة 500، نصف وتر القوس المضاعفة مباشرةً، وسمّوه jya، وبذلك وضعوا في مركز الحساب ضلعًا قائمًا في مثلث قائم بدل الوتر. وانتقلت الكلمة إلى العربية بصيغة جيبا، التي التبست في الكتابة الخالية من الحركات بكلمة جَيْب، أي «طيّة» الثوب أو «جيبه»، وترجمها المترجمون اللاتينيون في القرن الثاني عشر إلى sinus، ومنها جاء الاسم الحالي. وأضاف فلكيو العالم الإسلامي، بين القرنين التاسع والحادي عشر، ومنهم البتاني وأبو الوفاء، جداول الظل وظل التمام، التي جاءت من دراسة ظلال المزاول الشمسية؛ وفي القرن الثالث عشر عرض نصير الدين الطوسي حساب المثلثات علمًا مستقلًا عن علم الفلك.

حساب المثلثات علمًا قائمًا بذاته

في أوروبا، ألّف ريجيومونتانوس نحو سنة 1464 رسالة في المثلثات بجميع أنواعها، طُبعت سنة 1533، جمعت حل المثلثات المستوية والكروية؛ وتظهر كلمة trigonometria، «قياس المثلثات»، في عنوان كتاب لبارتولوميوس بيتيسكوس صدر سنة 1595. ولقانون جيوب التمام تاريخ أطول: فإقليدس، في المقالة الثانية من «الأصول»، كان قد صحّح مبرهنة فيثاغورس للمثلثات الحادة الزوايا والمنفرجة الزاوية بواسطة ضعف مستطيل مكوَّن من ضلع ومن مسقط الضلع الآخر عليه، وهو ما يُكتب اليوم $2bc \cos A$ بصرف النظر عن الإشارة، وفي القرن الخامس عشر أعطاه الكاشي صيغة صالحة للحساب. أما صيغة هيرون فترد في «الميتريكا» لهيرون السكندري، في القرن الأول.

من النسب إلى الدوال

ظل جيب الزاوية قرونًا طولًا في دائرة نصف قطرها متفق عليه، ستون أو عدة ملايين، بحسب الجدول. وأظهر حساب اللامتناهيات في الصغر في القرن السابع عشر أن الصيغ تبسط إذا كان نصف القطر $1$ وقيست الزوايا بطول أقواسها، وعالج ليونهارد أويلر، في Introductio in analysin infinitorum سنة 1748، الجيب وجيب التمام بوصفهما دالتين في متغير حقيقي، معرّفتين على دائرة الوحدة، وهي وجهة نظر هذه الوحدة؛ وصيغ اسم الراديان لوحدة القياس المقابلة في النصف الثاني من القرن التاسع عشر. وفي مطلع القرن التاسع عشر، أكّد جوزيف فورييه، في نظريته التحليلية للحرارة التي نشرها سنة 1822، أن دالة دورية عامة جدًا يمكن أن تُكتب مجموعًا من الجيوب وجيوب التمام، فصارت الدوال المثلثية لغة كل الظواهر الدورية.

الإحداثيات القطبية

فكرة وصف النقطة ببعدها عن مركز وبزاوية قديمة قِدم علم الفلك، وقد عرّف أرشميدس، في القرن الثالث قبل الميلاد، لولبه على هذا النحو بالضبط: نقطة تبتعد بسرعة ثابتة عن مركز بينما يدور نصف المستقيم الذي يحملها بسرعة ثابتة. غير أنها لا تظهر نظامَ إحداثيات إلا في القرن السابع عشر: فقد استعملها بونافينتورا كافالييري وغريغوار دي سان فنسان لدراسة اللوالب، وأدرجها إسحاق نيوتن بين الأنظمة التي كان يصف بها المنحنيات، واستخدمها ياكوب برنولي في أعماله في أواخر ذلك القرن؛ ونظّمها أويلر في القرن الثامن عشر. وفي أثناء ذلك كان يوهانس كبلر قد نشر سنة 1609 أن مدار المريخ قطع ناقص تقع الشمس في إحدى بؤرتيه، والمعادلة القطبية للقطوع المخروطية التي بؤرتها في القطب، التي تختم هذه الوحدة، هي الصيغة الطبيعية لهذا القانون.

المسألة التي نشأت منها

يمكن صوغ المسألة المشتركة بين كل هذه التطورات على النحو الآتي: إذا عُلمت بعض زوايا شكل وبعض أطواله، فاحسب البقية. وأبسط صورها المثلث القائم. فبالتشابه، تتعلق النسبة بين ضلعين بالزاوية الحادة $\alpha$ وحدها، فهي إذن دالة في $\alpha$ ؛ لكن هذه الدالة ليست جبرية، ولا تُستخرج من $\alpha$ بجمع ولا ضرب ولا جذور، ولذلك لزم وضع جداول لها. والمثال الآتي، وهو أول محاولة معروفة لقياس المجموعة الشمسية، يعرض المسألة في حالتها الخالصة.

مثالمثلث أريستارخوس

عندما يُرى القمر في التربيع تمامًا، يُرى النصف المضيء من قرصه من جانبه، وتكوّن الشمس والقمر والأرض مثلثًا قائمًا في القمر. وقاس أريستارخوس، من الأرض، الزاوية $\alpha$ بين اتجاهي القمر والشمس، فوجدها $87^\circ$ . لتكن $T$ و $L$ و $S$ الأرض والقمر والشمس.

البرهان

${\operatorname{d}(T, S)}^2 = {\operatorname{d}(T, L)}^2 + {\operatorname{d}(L, S)}^2$
المثلث الذي رؤوسه $T$ و $L$ و $S$ قائم في $L$ : فبعد الأرض عن الشمس هو الوتر.
$\frac{\operatorname{d}(T, S)}{\operatorname{d}(T, L)} = \resaltar{\frac{1}{\cos \alpha}} = \dato{s}{\resaltar{\sec \alpha}}$
الضلع المجاور للزاوية $\alpha$ هو البعد إلى القمر؛ وبتعريف جيب التمام، تتعلق النسبة بين البعد إلى الشمس والبعد إلى القمر بـ $\alpha$ وحدها.
$\alpha = 87^\circ \rightarrow 18 < \sec 87^\circ < 20$
دون جداول لجيوب التمام، حصر أريستارخوس النسبة بحجج هندسية وخلص إلى أن الشمس أبعد من القمر بما بين $18$ و $20$ مرة. وقاطع الزاوية $87^\circ$ يساوي تقريبًا 19,1، وهو داخل حدوده.
$\alpha \to 90^\circ \rightarrow \sec \alpha \to \infty$
كانت الطريقة صحيحة، لكن المعطى لم يكن كذلك: فالزاوية الحقيقية تختلف عن القائمة بأقل من سدس درجة، والنسبة الحقيقية تقارب $390$ . وعندما تقترب $\alpha$ من القائمة، تبتعد الشمس بلا حدّ على طول المستقيم المار بالقمر، ويُحدث خطأ ضئيل في الزاوية خطأً هائلًا في المسافة.

ولأن للشمس والقمر الحجم الظاهري نفسه تقريبًا، كما تُظهر حالات الكسوف الكلي للشمس، فإن استدلال أريستارخوس كان يعطي أيضًا النسبة بين قطريهما، ومعها النتيجة القائلة إن الشمس أكبر من الأرض بكثير. ويحتوي المثال في بذرته الوحدة كلها: نسبة بين أضلاع تتعلق بزاوية، والحاجة إلى معرفة هذا التعلق بدقة، والملاحظة أن بعض الدوال تتزايد بلا حدّ قرب قيم منعزلة للزاوية، وهو المقارب العمودي للقاطع المدروس في الدرس الخاص بـالدوال المثلثية وتمثيلاتها البيانية.

وتظهر المسألة نفسها بطريقتين أخريين، تنشأ منهما بقية دروس الوحدة. الأولى عكسية: تُعلم النسبة ويُطلب الزاوية، كما حين يُقاس انحدار طريق ويُراد معرفة زاوية ميله؛ والإجابة عنها تقتضي عكس دوال ليست تباينية، وتلك مهمة الدوال المثلثية العكسية. والثانية وصف ما يدور: كوكب حول الشمس، وعجلة، وموجة تتكرر. ولهذا يحسن تسمية النقاط ببعدها عن مركز وباتجاهها، لا ببعديها عن محورين، والتعبير عن الحركة الدورية بدوال تتكرر؛ وهكذا تولد الإحداثيات القطبية والمنحنيات الجيبية.

الأهمية

في بقية هذه الدورة، تبرهن الوحدة 2، التي تبدأ بالدرس الخاص بـالمتطابقات المثلثية الأساسية، صيغتي جيب مجموع زاويتين وجيب تمامه، وتحل المعادلات المثلثية في صورتها العامة، وتصنّف، بواسطة دوران المحاور، جميع معادلات الدرجة الثانية في متغيرين. والوحدة 3، المخصصة للأعداد المركبة في الشكل القطبي، تكتب كل عدد مركب بمقياسه وزاويته، كما في الدرس الخاص بـالشكل القطبي للأعداد المركبة، وتردّ القوى والجذور إلى ضرب المقاييس وجمع الزوايا؛ والوحدة 4 تمثّل دورانات المستوى بمصفوفات معاملاتها جيوب وجيوب تمام، في الدرس الخاص بـالمصفوفات بوصفها تحويلات للمستوى؛ والوحدة 5، الخاصة بالهندسة التحليلية في الفضاء، تقيس الزاوية بين متجهين في الفضاء بجيب تمامها، في الدرس الخاص بـالمتجهات في الفضاء والجداء السلمي، وتستعملها لحساب الزوايا بين المستقيمات والمستويات.

في دورات أخرى على الموقع، المتباينة $\sin x < x < \tan x$ هي نقطة الانطلاق لحساب مشتقة الجيب في دورة التفاضل والتكامل 1، وتُدرس أطوال الأقواس والمساحات المحدودة بمنحنيات قطبية والتعويضات المثلثية في دورة التفاضل والتكامل 2. وتحلّل دورة أساسيات الميكانيكا القوى والسرعات إلى مركّبات بواسطة الجيب وجيب التمام، وتدرس الحركة الدائرية بالعلاقة بين السرعة الزاوية والسرعة الخطية. وفي دورة البرمجة بلغة C++ I، تقدّم المكتبات الرياضية للغة، إلى جانب الجيب وجيب التمام وقوس الظل، دالة ذات وسيطين تعيد الزاوية القطبية لنقطة بين $-\pi$ و $\pi$ ، مع التصحيح نفسه بحسب الربع الذي يُبرهن في هذه الوحدة.

خارج الرياضيات، حساب المثلثات أداة المساحة الطبوغرافية والملاحة والجيوديسيا، التي تقيس الأرض بالتثليث؛ والإحداثيات القطبية هي إحداثيات الرادارات والأنظمة التي تحدد موضع جسم ببعده واتجاهه؛ والمنحنيات الجيبية لغة علم الصوتيات والتيار المتناوب والاتصالات ومعالجة الإشارات والصور، التي تحلّل كل إشارة إلى اهتزازات بسيطة على نهج فكرة فورييه.