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Topos Uranos
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Coordenadas polares e curvas polares

Resumo

Esta aula apresenta um segundo modo de nomear os pontos do plano: pela sua distância a um ponto fixo, o polo, e pelo ângulo que formam com uma semirreta fixa, o eixo polar. Adota a convenção que admite raios negativos, descreve todas as representações de um mesmo ponto, deduz as fórmulas de conversão entre coordenadas polares e cartesianas, com a correção do arco-tangente segundo o quadrante, e obtém a distância entre dois pontos por meio da lei dos cossenos. Estuda depois as equações polares de retas e circunferências, os critérios de simetria e o traçado por tabelas de valores da cardioide, das rosáceas, da espiral de Arquimedes e do caracol, e termina com a equação polar das cônicas que têm um foco no polo, na qual se leem o seu tipo, os seus vértices e o seu lado reto.

Objetivos de aprendizagem

  1. Representar pontos em coordenadas polares, reconhecer todas as representações de um mesmo ponto e passar das coordenadas polares às cartesianas e vice-versa.
  2. Calcular distâncias em coordenadas polares e traduzir equações de retas e circunferências de um sistema para o outro, sem perder nem acrescentar o polo.
  3. Aplicar os critérios de simetria e as tabelas de valores ao traçado de curvas polares: cardioides, rosáceas, espirais e caracóis.
  4. Deduzir a equação polar das cônicas com um foco no polo e ler nela a sua excentricidade, os seus vértices e o seu lado reto.

As coordenadas polares

As coordenadas cartesianas, estudadas na aula do curso I sobre a equação da reta e os sistemas cartesianos, nomeiam um ponto pelas suas distâncias com sinal a duas retas perpendiculares. Ora, muitas curvas descrevem-se com mais naturalidade pela distância a um ponto fixo e pela direção em que são vistas a partir dele: uma circunferência em torno do seu centro, uma espiral que se abre a ritmo constante ou a órbita de um planeta em torno do Sol. Para elas convém um sistema de coordenadas polares, formado por um ponto fixo OO, o polo, e uma semirreta fixa com origem nele, o eixo polar. Para que os dois sistemas convivam, o polo é colocado na origem e o eixo polar sobre o semieixo positivo das abscissas.

Sejam rr e θ\theta dois números reais. O ponto de coordenadas polares (r,θ)(r, \theta) é o ponto do plano de coordenadas cartesianas

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r \cos \theta, \qquad y = r \sin \theta

Se r>0r > 0, é o ponto que está a distância rr do polo sobre o lado terminal do ângulo θ\theta em posição padrão, estudado na aula sobre os ângulos e sua medida: é o ponto (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta) da circunferência unitária, definido na aula sobre as razões trigonométricas, com as suas coordenadas multiplicadas por rr. O número rr chama-se raio e o ângulo θ\theta, medido em radianos, ângulo polar.

A definição admite também r=0r = 0 e r<0r < 0, e nisso consiste a convenção desta aula. Com r=0r = 0 obtém-se o polo, qualquer que seja θ\theta. Com r<0r < 0 obtém-se o ponto situado a distância −r-r do polo na direção oposta à de θ\theta: pelas simetrias cos⁡(θ+π)=−cos⁡θ\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta e sin⁡(θ+π)=−sin⁡θ\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta da aula sobre as razões trigonométricas, os pares (−r,θ)(-r, \theta) e (r,θ+π)(r, \theta + \pi) dão o mesmo ponto.

(−rcos⁡θ,−rsin⁡θ)=(rcos⁡(θ+π),rsin⁡(θ+π))\left( -r \cos \theta, -r \sin \theta \right) = \left( r \cos(\theta + \pi), r \sin(\theta + \pi) \right)

Muitos textos exigem r≥0r \geq 0; admitir raios negativos tem duas vantagens que esta aula aproveitará: a reta que passa pelo polo com direção α\alpha descreve-se inteira com a equação θ=α\theta = \alpha, e curvas como as rosáceas percorrem-se de maneira contínua. O preço é que um mesmo ponto admite mais representações. Daí se segue uma regra que convém fixar desde já: um ponto pertence à curva de uma equação polar se alguma das suas representações satisfaz a equação, ainda que outras não a satisfaçam.

LemaAs representações de um ponto

Seja (r1,θ1)(r_1, \theta_1) uma representação de um ponto PP distinto do polo. O par (r2,θ2)(r_2, \theta_2) representa também PP se e somente se r2=r1r_2 = r_1 e θ2=θ1+2kπ\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi para algum inteiro kk, ou então r2=−r1r_2 = -r_1 e θ2=θ1+(2k+1)π\theta_2 = \theta_1 + (2k + 1)\pi para algum inteiro kk. O polo é o ponto representado pelos pares (0,θ)(0, \theta), com θ\theta qualquer.

Usam-se a identidade pitagórica e a caracterização dos ângulos côngruos da aula sobre os ângulos e sua medida: dois ângulos dão o mesmo ponto da circunferência unitária exatamente quando diferem por um múltiplo inteiro de 2π2\pi.

Demonstração

  1. x2+y2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2→r2=r1∨r2=−r1x^2 + y^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2} \rightarrow \dato{rr}{r_2 = r_1 \vee r_2 = -r_1}

    A distância de um ponto ao polo não depende da representação escolhida: pela identidade pitagórica, x2+y2x^2 + y^2 vale r2r^2. Portanto, duas representações de um mesmo ponto têm r22=r12r_2^2 = r_1^2, e o polo é o único ponto com r=0r = 0.

  2. cos⁡θ2=cos⁡θ1∧sin⁡θ2=sin⁡θ1↔θ2=θ1+2kπ\resaltar{\cos \theta_2 = \cos \theta_1 \wedge \sin \theta_2 = \sin \theta_1} \leftrightarrow \dato{co}{\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi}

    Se r2=r1≠0r_2 = r_1 \neq 0, dividimos as coordenadas de ambos os pontos por r1r_1: os pontos (cos⁡θ1,sin⁡θ1)(\cos \theta_1, \sin \theta_1) e (cos⁡θ2,sin⁡θ2)(\cos \theta_2, \sin \theta_2) da circunferência unitária coincidem, e isso ocorre exatamente quando os ângulos são côngruos.

  3. θ2+π=θ1+2kπ↔θ2=θ1+(2k−1)π\resaltar{\theta_2 + \pi} = \theta_1 + 2k\pi \leftrightarrow \resaltar{\theta_2 = \theta_1 + (2k - 1)\pi}

    Se r2=−r1r_2 = -r_1, o par (−r1,θ2)(-r_1, \theta_2) dá o mesmo ponto que (r1,θ2+π)(r_1, \theta_2 + \pi), e pelo passo precedente θ2+π\theta_2 + \pi é côngruo a θ1\theta_1. Como 2k−12k - 1 percorre todos os ímpares quando kk percorre os inteiros, é o que afirma o lema.

Assim, o ponto de coordenadas polares (2,π3)\left( 2, \frac{\pi}{3} \right) admite também as representações (2,7π3)\left( 2, \frac{7\pi}{3} \right) e (2,−5π3)\left( 2, -\frac{5\pi}{3} \right), que dão uma volta a mais ou uma volta a menos, e (−2,4π3)\left( -2, \frac{4\pi}{3} \right) ou (−2,−2π3)\left( -2, -\frac{2\pi}{3} \right), que olham na direção oposta e recuam.

Das coordenadas cartesianas às polares

As fórmulas x=rcos⁡θx = r \cos \theta e y=rsin⁡θy = r \sin \theta dão a passagem das coordenadas polares às cartesianas. A passagem inversa exige escolher uma representação entre todas as possíveis; a que se toma habitualmente é a que tem r>0r > 0 e θ\theta no intervalo (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}. Para achar o ângulo usa-se a função arco-tangente da aula sobre as funções trigonométricas inversas, que toma valores em (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} e, portanto, só vê os ângulos do primeiro e do quarto quadrantes: nos outros dois é preciso corrigi-la somando ou subtraindo π\pi.

TeoremaDas coordenadas cartesianas às polares

Todo ponto (x,y)(x, y) distinto do polo tem uma única representação polar (r,θ)(r, \theta) com r>0r > 0 e θ∈(−π,π]\theta \in \ioc{-\pi}{\pi}. O seu raio é r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2}, e o seu ângulo polar é dado pelos cinco casos da fórmula abaixo.

θ={arctan⁡yxx>0arctan⁡yx+πx<0∧y≥0arctan⁡yx−πx<0∧y<0π2x=0∧y>0−π2x=0∧y<0\theta = \begin{cases} \arctan \frac{y}{x} & x > 0 \\ \arctan \frac{y}{x} + \pi & x < 0 \wedge y \geq 0 \\ \arctan \frac{y}{x} - \pi & x < 0 \wedge y < 0 \\ \frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y < 0 \end{cases}

A ideia é reduzir o problema à circunferência unitária, onde o coeficiente angular da reta que passa pelo polo determina dois pontos opostos, e o sinal da abscissa decide entre eles.

Demonstração

  1. r=x2+y2,(cos⁡θ,sin⁡θ)=(xr,yr)r = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \dato{q}{(\cos \theta, \sin \theta) = \left( \frac{x}{r}, \frac{y}{r} \right)}

    Pelo lema acima, r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2, e com r>0r > 0 o raio é a raiz quadrada. Dividindo por rr, o ângulo procurado é o de um ponto QQ da circunferência unitária, que existe pela propriedade de recobrimento do axioma do percurso, admitido na aula sobre os ângulos e sua medida, e que em (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} é único, porque dois ângulos desse intervalo, que tem comprimento 2π2\pi, não podem ser côngruos.

  2. x=0→Q=(0,1)∨Q=(0,−1)x = 0 \rightarrow Q = \resaltar{(0, 1)} \vee Q = \resaltar{(0, -1)}

    Se x=0x = 0, o ponto QQ é (0,1)(0, 1) ou (0,−1)(0, -1) segundo o sinal de yy, e pelos valores notáveis do seno e do cosseno o ângulo é π2\frac{\pi}{2} ou −π2-\frac{\pi}{2}.

  3. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=yx,α=arctan⁡yx\tan \theta = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \resaltar{\frac{y}{x}}, \qquad \dato{al}{\alpha = \arctan \frac{y}{x}}

    Se x≠0x \neq 0, a tangente de θ\theta é o coeficiente angular m=yxm = \frac{y}{x} da reta que une o polo ao ponto. O ângulo α=arctan⁡m\alpha = \arctan m tem essa tangente e está em (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, onde o cosseno é positivo.

  4. u2+(mu)2=1↔u=11+m2∨u=−11+m2u^2 + \resaltar{(mu)^2} = 1 \leftrightarrow \resaltar{u = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}} \vee u = -\frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}}

    Na circunferência unitária há exatamente dois pontos com coeficiente angular mm a partir do polo: se (u,v)(u, v) é um deles, v=muv = mu e u2+v2=1u^2 + v^2 = 1. São opostos, de modo que um tem abscissa positiva e o outro negativa; pela simetria do ângulo α+π\alpha + \pi, são os pontos dos ângulos α\alpha e α+π\alpha + \pi.

  5. x<0∧y<0→θ=α+π−2π=α−π∈(−π,−π2)x < 0 \wedge y < 0 \rightarrow \theta = \resaltar{\alpha + \pi - 2\pi} = \resaltar{\alpha - \pi} \in \ioo{-\pi}{-\frac{\pi}{2}}

    Se x>0x > 0, o ponto QQ tem abscissa positiva e θ=α\theta = \alpha. Se x<0x < 0, é o ponto de α+π\alpha + \pi. Quando, além disso, y≥0y \geq 0, o coeficiente angular é negativo ou nulo, α∈(−π2,0]\alpha \in \ioc{-\frac{\pi}{2}}{0} e α+π\alpha + \pi já está em (π2,π]\ioc{\frac{\pi}{2}}{\pi}; quando y<0y < 0, o coeficiente angular é positivo e é preciso subtrair uma volta, α+π−2π=α−π\alpha + \pi - 2\pi = \alpha - \pi.

Por exemplo, o ponto (−1,1)(-1, 1) está no segundo quadrante: o seu raio é 2\sqrt{2}, e como arctan⁡(−1)=−π4\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}, o seu ângulo polar é −π4+π=3π4-\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}. A calculadora que dá o arco-tangente de yx\frac{y}{x} sem atender aos sinais de xx e de yy separadamente devolveria −π4-\frac{\pi}{4}, que é o ângulo do ponto oposto (1,−1)(1, -1).