Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Полярные координаты и кривые в полярных координатах

Краткое содержание

Этот урок вводит второй способ задавать точки плоскости: расстоянием от неподвижной точки, полюса, и углом, который они образуют с неподвижным лучом, полярной осью. Принимается соглашение, допускающее отрицательные радиусы, описываются все представления одной и той же точки, выводятся формулы перехода между полярными и декартовыми координатами с поправкой арктангенса в зависимости от координатной четверти, и расстояние между двумя точками находится по теореме косинусов. Затем изучаются полярные уравнения прямых и окружностей, признаки симметрии и построение по таблицам значений кардиоиды, полярных роз, спирали Архимеда и улитки Паскаля; в конце выводится полярное уравнение конических сечений с фокусом в полюсе, по которому читаются их тип, вершины и фокальная хорда, перпендикулярная оси.

Цели обучения

  1. Изображать точки в полярных координатах, распознавать все представления одной и той же точки и переходить от полярных координат к декартовым и обратно.
  2. Вычислять расстояния в полярных координатах и переводить уравнения прямых и окружностей из одной системы в другую, не теряя и не добавляя полюс.
  3. Применять признаки симметрии и таблицы значений к построению кривых в полярных координатах: кардиоид, полярных роз, спиралей и улиток.
  4. Выводить полярное уравнение конических сечений с фокусом в полюсе и читать по нему эксцентриситет, вершины и фокальную хорду, перпендикулярную оси.

Полярные координаты

Декартовы координаты, изученные в уроке курса I об уравнении прямой и декартовых системах координат, задают точку её расстояниями со знаком до двух перпендикулярных прямых. Однако многие кривые естественнее описывать расстоянием до неподвижной точки и направлением, в котором они видны из неё: окружность вокруг своего центра, спираль, раскручивающуюся с постоянной скоростью, или орбиту планеты вокруг Солнца. Для них удобна система полярных координат, образованная неподвижной точкой OO, полюсом, и неподвижным лучом, выходящим из неё, полярной осью. Чтобы обе системы можно было использовать вместе, полюс помещают в начало координат, а полярную ось направляют по положительной полуоси абсцисс.

Пусть rr и θ\theta есть два действительных числа. Точкой с полярными координатами (r,θ)(r, \theta) называется точка плоскости с декартовыми координатами

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r \cos \theta, \qquad y = r \sin \theta

Если r>0r > 0, это точка, находящаяся на расстоянии rr от полюса на конечной стороне угла θ\theta в стандартном положении, изученного в уроке об углах и их измерении: это точка (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta) единичной окружности, определённая в уроке о тригонометрических отношениях, с координатами, умноженными на rr. Число rr называется полярным радиусом, а угол θ\theta, измеряемый в радианах, полярным углом.

Определение допускает также r=0r = 0 и r<0r < 0, и в этом состоит соглашение данного урока. При r=0r = 0 получается полюс, каким бы ни было θ\theta. При r<0r < 0 получается точка, находящаяся на расстоянии −r-r от полюса в направлении, противоположном направлению θ\theta: по симметриям cos⁡(θ+π)=−cos⁡θ\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta и sin⁡(θ+π)=−sin⁡θ\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta из урока о тригонометрических отношениях пары (−r,θ)(-r, \theta) и (r,θ+π)(r, \theta + \pi) дают одну и ту же точку.

(−rcos⁡θ,−rsin⁡θ)=(rcos⁡(θ+π),rsin⁡(θ+π))\left( -r \cos \theta, -r \sin \theta \right) = \left( r \cos(\theta + \pi), r \sin(\theta + \pi) \right)

Многие учебники требуют r≥0r \geq 0; допущение отрицательных радиусов даёт два преимущества, которыми воспользуется этот урок: прямая, проходящая через полюс в направлении α\alpha, целиком описывается уравнением θ=α\theta = \alpha, а такие кривые, как полярные розы, обходятся непрерывно. Платой за это служит то, что одна и та же точка допускает больше представлений. Отсюда вытекает правило, которое стоит зафиксировать сразу: точка принадлежит кривой, заданной полярным уравнением, если какое-нибудь из её представлений удовлетворяет уравнению, даже если другие ему не удовлетворяют.

ЛеммаПредставления точки

Пусть (r1,θ1)(r_1, \theta_1) есть представление точки PP, отличной от полюса. Пара (r2,θ2)(r_2, \theta_2) также представляет PP тогда и только тогда, когда r2=r1r_2 = r_1 и θ2=θ1+2kπ\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi для некоторого целого kk либо r2=−r1r_2 = -r_1 и θ2=θ1+(2k+1)π\theta_2 = \theta_1 + (2k + 1)\pi для некоторого целого kk. Полюс есть точка, представляемая парами (0,θ)(0, \theta) при любом θ\theta.

Используются основное тригонометрическое тождество и характеристика углов с общей конечной стороной из урока об углах и их измерении: два угла дают одну и ту же точку единичной окружности ровно тогда, когда они отличаются на целое кратное 2π2\pi.

Доказательство

  1. x2+y2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2→r2=r1∨r2=−r1x^2 + y^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2} \rightarrow \dato{rr}{r_2 = r_1 \vee r_2 = -r_1}

    Расстояние от точки до полюса не зависит от выбранного представления: по основному тригонометрическому тождеству x2+y2x^2 + y^2 равно r2r^2. Поэтому у двух представлений одной и той же точки r22=r12r_2^2 = r_1^2, и полюс есть единственная точка, у которой r=0r = 0.

  2. cos⁡θ2=cos⁡θ1∧sin⁡θ2=sin⁡θ1↔θ2=θ1+2kπ\resaltar{\cos \theta_2 = \cos \theta_1 \wedge \sin \theta_2 = \sin \theta_1} \leftrightarrow \dato{co}{\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi}

    Если r2=r1≠0r_2 = r_1 \neq 0, делим координаты обеих точек на r1r_1: точки (cos⁡θ1,sin⁡θ1)(\cos \theta_1, \sin \theta_1) и (cos⁡θ2,sin⁡θ2)(\cos \theta_2, \sin \theta_2) единичной окружности совпадают, а это происходит ровно тогда, когда углы имеют общую конечную сторону.

  3. θ2+π=θ1+2kπ↔θ2=θ1+(2k−1)π\resaltar{\theta_2 + \pi} = \theta_1 + 2k\pi \leftrightarrow \resaltar{\theta_2 = \theta_1 + (2k - 1)\pi}

    Если r2=−r1r_2 = -r_1, пара (−r1,θ2)(-r_1, \theta_2) даёт ту же точку, что и (r1,θ2+π)(r_1, \theta_2 + \pi), и по предыдущему рассуждению угол θ2+π\theta_2 + \pi имеет общую конечную сторону с θ1\theta_1. Поскольку 2k−12k - 1 пробегает все нечётные числа, когда kk пробегает целые, это и утверждает лемма.

Так, точка с полярными координатами (2,π3)\left( 2, \frac{\pi}{3} \right) допускает также представления (2,7π3)\left( 2, \frac{7\pi}{3} \right) и (2,−5π3)\left( 2, -\frac{5\pi}{3} \right), которые делают на один оборот больше или на один оборот меньше, и (−2,4π3)\left( -2, \frac{4\pi}{3} \right) или (−2,−2π3)\left( -2, -\frac{2\pi}{3} \right), которые смотрят в противоположном направлении и откладываются назад от полюса.

От декартовых координат к полярным

Формулы x=rcos⁡θx = r \cos \theta и y=rsin⁡θy = r \sin \theta дают переход от полярных координат к декартовым. Обратный переход требует выбрать одно представление среди всех возможных; обычно берут то, у которого r>0r > 0 и θ\theta лежит в промежутке (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}. Чтобы найти угол, используют функцию арктангенс из урока об обратных тригонометрических функциях, которая принимает значения в (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} и потому видит только углы первой и четвёртой четвертей: в двух других её нужно исправлять, прибавляя или вычитая π\pi.

ТеоремаОт декартовых координат к полярным

Всякая точка (x,y)(x, y), отличная от полюса, имеет единственное полярное представление (r,θ)(r, \theta) с r>0r > 0 и θ∈(−π,π]\theta \in \ioc{-\pi}{\pi}. Её полярный радиус равен r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2}, а её полярный угол задаётся пятью случаями формулы, приведённой ниже.

θ={arctan⁡yxx>0arctan⁡yx+πx<0∧y≥0arctan⁡yx−πx<0∧y<0π2x=0∧y>0−π2x=0∧y<0\theta = \begin{cases} \arctan \frac{y}{x} & x > 0 \\ \arctan \frac{y}{x} + \pi & x < 0 \wedge y \geq 0 \\ \arctan \frac{y}{x} - \pi & x < 0 \wedge y < 0 \\ \frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y < 0 \end{cases}

Идея состоит в том, чтобы свести задачу к единичной окружности, где угловой коэффициент прямой, проходящей через полюс, определяет две диаметрально противоположные точки, а знак абсциссы выбирает между ними.

Доказательство

  1. r=x2+y2,(cos⁡θ,sin⁡θ)=(xr,yr)r = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \dato{q}{(\cos \theta, \sin \theta) = \left( \frac{x}{r}, \frac{y}{r} \right)}

    По предыдущей лемме r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2, и при r>0r > 0 полярный радиус есть квадратный корень. После деления на rr искомый угол есть угол точки QQ единичной окружности, которая существует по свойству покрытия из аксиомы обхода по длине дуги, принятой в уроке об углах и их измерении, и который в (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} единствен, поскольку два угла этого промежутка, имеющего длину 2π2\pi, не могут иметь общую конечную сторону.

  2. x=0→Q=(0,1)∨Q=(0,−1)x = 0 \rightarrow Q = \resaltar{(0, 1)} \vee Q = \resaltar{(0, -1)}

    Если x=0x = 0, точка QQ есть (0,1)(0, 1) или (0,−1)(0, -1) в зависимости от знака yy, и по табличным значениям синуса и косинуса угол равен π2\frac{\pi}{2} или −π2-\frac{\pi}{2}.

  3. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=yx,α=arctan⁡yx\tan \theta = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \resaltar{\frac{y}{x}}, \qquad \dato{al}{\alpha = \arctan \frac{y}{x}}

    Если x≠0x \neq 0, тангенс угла θ\theta есть угловой коэффициент m=yxm = \frac{y}{x} прямой, соединяющей полюс с точкой. Угол α=arctan⁡m\alpha = \arctan m имеет этот тангенс и лежит в (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, где косинус положителен.

  4. u2+(mu)2=1↔u=11+m2∨u=−11+m2u^2 + \resaltar{(mu)^2} = 1 \leftrightarrow \resaltar{u = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}} \vee u = -\frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}}

    На единичной окружности есть ровно две точки с угловым коэффициентом mm, если смотреть из полюса: если (u,v)(u, v) есть одна из них, то v=muv = mu и u2+v2=1u^2 + v^2 = 1. Они диаметрально противоположны, так что у одной абсцисса положительна, а у другой отрицательна; по симметрии угла α+π\alpha + \pi это точки углов α\alpha и α+π\alpha + \pi.

  5. x<0∧y<0→θ=α+π−2π=α−π∈(−π,−π2)x < 0 \wedge y < 0 \rightarrow \theta = \resaltar{\alpha + \pi - 2\pi} = \resaltar{\alpha - \pi} \in \ioo{-\pi}{-\frac{\pi}{2}}

    Если x>0x > 0, точка QQ имеет положительную абсциссу и θ=α\theta = \alpha. Если x<0x < 0, это точка угла α+π\alpha + \pi. Когда к тому же y≥0y \geq 0, угловой коэффициент отрицателен или равен нулю, α∈(−π2,0]\alpha \in \ioc{-\frac{\pi}{2}}{0}, и α+π\alpha + \pi уже лежит в (π2,π]\ioc{\frac{\pi}{2}}{\pi}; когда y<0y < 0, угловой коэффициент положителен и нужно вычесть один оборот, α+π−2π=α−π\alpha + \pi - 2\pi = \alpha - \pi.

Например, точка (−1,1)(-1, 1) лежит во второй четверти: её полярный радиус равен 2\sqrt{2}, и поскольку arctan⁡(−1)=−π4\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}, её полярный угол равен −π4+π=3π4-\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}. Калькулятор, вычисляющий арктангенс от yx\frac{y}{x} без учёта знаков xx и yy по отдельности, выдал бы −π4-\frac{\pi}{4}, то есть угол противоположной точки (1,−1)(1, -1).