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Topos Uranos
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삼각함수와 극좌표: 종합과 도전 과제

요약

이 수업은 삼각함수와 극좌표에 관한 단원을 마무리한다. 단원의 여섯 수업에서 증명한 것을 하나의 연역적 사슬로 모은다. 곧 호의 길이에 의한 각의 측정, 단위원에서의 사인과 코사인의 정의와 그 귀결, 이 함수들과 그 역함수의 연구, 모든 삼각형의 풀이, 그리고 극좌표와 그 곡선들이다. 이 사슬이 나머지가 있는 나눗셈에서 원뿔곡선과 벡터에 이르기까지 대수학과 기하학 I 강좌에 어떻게 기대는지, 그리고 이어지는 단원의 해석 삼각법을 어떻게 준비하는지 설명한다. 마무리 평가에서 도입의 입문 평가가 다룬 기능을 다시 다루고, 결과의 이유를 묻는 두 문항을 더하며, 수업의 문제보다 어려운 열 개의 도전 과제로 끝맺는다. 도전 과제는 여러 수업을 결합하며, 저마다 자기만의 아이디어를 요구한다.

학습 목표

  1. 라디안에서 이차곡선의 극방정식까지 단원의 정의와 정리의 사슬을 재구성하고, 각각이 어떤 결과에 의존하는지 밝힌다.
  2. 단원의 결과를 강좌 I의 결과와, 그리고 해석 삼각법이 열어 두는 문제와 관련짓는다.
  3. 호의 측정, 삼각함수의 대칭성과 그래프, 그 역함수, 삼각형의 풀이, 극좌표를 결합하는 문제를 푼다.

단원에서 이룬 것

각에서 함수로

단원은 몇 가지 받아들인 사실에서 출발하며, 이것들을 정확히 열거해 두는 것이 좋다. 처음 두 가지는 미적분학을 필요로 한다. 하나는 길이와 넓이에 관한 사실이다(모든 호는 길이를 가지고, 선분과 호로 둘러싸인 모든 영역은 넓이를 가진다. 둘 다 가법적이고, 도형을 움직여도 변하지 않으며, 도형과 함께 커진다. 같은 중심각에 대한 호는 반지름에 비례하고, 반지름이 rr인 원판의 넓이는 πr2\pi r^2이다). 다른 하나는 호의 길이에 따른 이동의 공리이다. 각 실수 ss에 대하여 단위원 위의 점 P(s)P(s)가 단 하나 있어, (1,0)(1, 0)에서 출발하여 단위원을 따라 길이 ∣s∣\abs{s}만큼 이동하면 그 점에 이른다. 이동 방향은 ss의 부호가 정한다. 이 이동은 이어 붙일 수 있고(tt만큼 나아가면 P(s)P(s)에서 P(s+t)P(s + t)로 간다), 주기 2π2\pi를 가지며, 모든 점에 이르고, P(π)=(−1,0)P(\pi) = (-1, 0)에서 끝나는 첫 번째 반 바퀴에서는 가로 좌표가 순감소하면서 위쪽 반원을 지난다. 나머지는 강좌가 전개하지 않는 초등 기하학에서 온다. 삼각형의 세 각의 합 π\pi, 이등변삼각형의 두 밑각이 같다는 것, 이웃한 각의 합, 원주각에 대한 원의 중심의 위치, 닮음 조건, 피타고라스 정리, 회전 방향을 뒤집는 대칭이동과 회전 방향을 보존하는 반 바퀴 회전에 의한 길이의 보존, 그리고 원의 안쪽 점과 바깥쪽 점에서 현을 바라보는 각의 비교이다. 이와 함께 π\pi의 값도 받아들이는데, 그 소수 표현은 3.14159로 시작하므로 3<π<43 < \pi < 4이다. 또 그 무리성도 받아들인다. 역시 미적분학을 필요로 하는 다른 두 사실은 삼각함수와 그 그래프 수업에서 받아들이며, 몇몇 문제만 이를 쓰고 사슬의 정리는 결코 쓰지 않는다. 하나는 삼각함수와 그 역함수의 연속성으로, 덕분에 사잇값 정리를 적용할 수 있다. 이 정리는 새로 받아들이는 것이 아니라 강좌 I에서 인용한다. 다른 하나는 각 구간 [2kπ,(2k+1)π]\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}에서 사인이 엄격하게 위로 볼록하다는 것이다. 그리고 삼각비 수업의 마지막 예제는 같은 이유로, 내접 정다각형의 넓이가 원판의 넓이에 원하는 만큼 가까워진다는 것을 받아들인다. 이 바탕 위에서 각과 그 측정 수업은 수 π\pi를 단위원 둘레의 길이의 절반으로, 호도법으로 나타낸 크기를 이동한 호의 부호 있는 길이로 정의하였다. 첫 번째 반 바퀴를 xx축에 대하여 대칭이동하여, 두 번째 반 바퀴에서는 이동이 가로 좌표가 순증가하면서 아래쪽 반원을 지난다는 것을 증명하였다. 같은 바탕에서 도와 라디안 사이의 환산, 공식 s=rθs = r\theta와 A=12r2θA = \frac{1}{2} r^2 \theta, 원주각의 정리(원주각은 그것이 대하는 호의 절반이다), 그리고 첫 바퀴로의 환원 정리가 나왔다. 이 정리에 따르면 모든 실수는 θ0+2kπ\theta_0 + 2k\pi의 꼴로 단 한 가지 방법으로 쓰이며, 여기서 θ0\theta_0은 [0,2π)\ico{0}{2\pi}에 속한다. 공리로부터 한 바퀴는 같은 점을 두 번 지나지 않으므로, 두 수가 같은 점 P(θ)P(\theta)를 정하는 것은 그 차가 2π2\pi의 정수배일 때이고, 또 그때뿐이다.

삼각비와 단위원 수업은 사인, 코사인, 탄젠트의 두 가지 정의를 주었다. 하나는 직각삼각형의 변 사이의 비로서, 닮음에 의해 삼각형에 의존하지 않는다. 다른 하나는 P(θ)P(\theta)의 좌표로서, 모든 실수에 대하여 유효하다. 그리고 두 정의가 예각에서 일치함을 증명하였다. 둘째 정의로부터 피타고라스 항등식 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, π6\frac{\pi}{6}, π4\frac{\pi}{4}, π3\frac{\pi}{3}의 특수각의 값, 그리고 단위원의 대칭성이 유도되었으며, 대칭성은 홀짝성, 주기성, 보각 및 여각과의 관계를 준다. 이로부터 기준각 방법이 나오며, 이 방법은 임의의 각의 삼각비 계산을 예각의 삼각비 계산으로 환원한다.

삼각함수와 그 그래프 수업에서 이 삼각비들은 실변수 함수가 되었다. 아르키메데스 성질로 증명한 주기에 관한 보조정리와 최댓값의 위치로부터 2π2\pi가 사인과 코사인의 최소 주기임이, 영점의 위치로부터 π\pi가 탄젠트의 최소 주기임이 증명되었다. 그래프는 단위원을 펼쳐서 그렸고, 두 삼각형과 한 부채꼴의 넓이를 비교하여 부등식 sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x(단, 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2})을 얻었으며, 이로부터 상계 ∣sin⁡x∣≤∣x∣\abs{\sin x} \leq \abs{x}와 탄젠트의 수직 점근선이 따른다. 사인곡선 asin⁡(b(x−c))+da \sin(b(x - c)) + d는 대수 함수에 관한 강좌 I 단원의 변환으로 사인에서 얻어지며, 단순한 꼴의 모든 주기 현상을 모형화한다.

역함수와 삼각형의 측정

그런데 주기함수는 단사가 아니다. 역삼각함수 수업은 호의 길이에 따른 이동의 공리에서 코사인이 [0,π]\icc{0}{\pi}에서 순감소함을 읽어 냈다. 그것이 반 바퀴의 조항을 좌표로 쓴 것이기 때문이다. 이것과 여각의 대칭성으로부터 사인이 [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}에서 순증가함을, 그리고 이 둘로부터 탄젠트가 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}에서 증가함을 증명하였다. 이 구간들에서 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트를 정의하고, 항상 참인 등식 sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x와 주값의 구간에서만 참인 arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x를 구별하였다. 대칭성과 함께 역함수는 한 바퀴 전체에서 기본 방정식을 풀었다.

이로써 삼각형의 풀이 수업을 위한 준비가 모두 갖추어졌다. 한 꼭짓점을 원점에 놓으면 한 변의 맞은편 꼭짓점의 좌표는 (bcos⁡A,bsin⁡A)\left( b \cos A, b \sin A \right)이다. 여기서 차례로 넓이 12bcsin⁡A\frac{1}{2} bc \sin A, 사인법칙과 (원주각의 정리를 써서) 사인법칙과 외접원의 반지름 사이의 관계, 피타고라스 정리를 확장하는 코사인법칙, 그리고 헤론의 공식이 나온다. 코사인은 삼각형의 각을 결정하지만 사인은 그렇지 않으므로, 두 변과 그중 한 변의 대각이 주어진 경우에는 해가 없거나 하나 또는 둘이며, 모호한 경우의 정리는 이차방정식의 근을 통해 그 개수를 센다. 끝으로 코사인법칙과 차의 크기의 제곱의 전개로부터, 내적을 이용하여 두 벡터가 이루는 각의 크기를 얻었다.

두 번째 좌표계

극좌표와 극곡선 수업은 관점을 뒤집었다. 원점까지의 거리와 각으로부터 점의 직교좌표를 계산하는 대신, 이 두 수로 점을 나타냈다. 음의 동경을 허용하여 한 점의 모든 표현을 기술하고, 사분면에 따라 보정한 아크탄젠트로 좌표 변환 공식을 증명하였으며, 코사인법칙으로부터 극좌표에서 두 점 사이의 거리를 얻었다. 대칭 판정법과 값의 표로 카디오이드, 장미 곡선, 나선, 파스칼의 달팽이 곡선을 그렸고, 초점과 준선의 정리는 방정식 r=ed1+ecos⁡θr = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}로 바뀌었다. 이 방정식에서 각 이차곡선의 종류, 꼭짓점, 통경을 읽을 수 있다.

아래 그림은 세 구간을 하나의 사슬로 모은 것이다. 가운데 열의 각 마디는 정의나 정리이며, 논리적 순서에 따라 번호가 붙고, 그 증명이 쓰는 앞의 고리들과 호로 이어진다. 그 둘레에 떠 있는 것이 받침, 곧 사슬이 거듭 의지하는 원리와 도구이며, 각 받침은 자신에게 기대는 고리들과 실선으로, 자신이 세워지는 고리와 점선으로 이어진다. 다만 강좌 I에서 온 것이나 증명 없이 받아들인 것은 예외로, 둥근 테로 그려진다. 받침을 누르면 그것을 쓰는 고리가 모두 강조되고, 각 고리는 그것이 증명되는 수업으로 이어진다.

사슬의 받침

  • A호의 길이에 따른 이동. 각 실수 ss에 대하여 단위원 위의 점 P(s)P(s)가 단 하나 있어, (1,0)(1, 0)에서 출발하여 단위원을 따라 길이 ∣s∣\abs{s}만큼 이동하면 그 점에 이른다. 이동 방향은 s>0s > 0이면 시계 반대 방향, s<0s < 0이면 시계 방향이다. P(s)P(s)에서 길이 tt만큼 시계 반대 방향으로 나아가면 P(s+t)P(s + t)에 이르고, 시계 방향으로 나아가면 P(s−t)P(s - t)에 이른다. P(s+2π)=P(s)P(s + 2\pi) = P(s)이 성립한다. 원 위의 모든 점은 P(s)P(s)의 꼴이며, 이때 ss는 적당한 실수이다. P(π)=(−1,0)P(\pi) = (-1, 0)이며, P(s)P(s)의 가로 좌표는 세로 좌표가 음이 아닌 채로 순감소한다. 이는 ss가 00에서 π\pi까지 증가할 때이다. 호의 길이와 사잇값 성질에 기대므로 증명 없이 받아들인다. 두 번째 반 바퀴는 대칭이동을 써서 첫 번째 반 바퀴로부터 유도된다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • B길이와 넓이. 모든 호는 길이를 가지고, 선분과 호로 둘러싸인 모든 영역은 넓이를 가진다. 합동인 도형은 측도가 같고, 측도는 가법적이며, 다른 영역을 포함하는 영역의 넓이는 더 작지 않고, 그 차가 원판을 포함하면 더 크다. 같은 중심각에 대한 호는 반지름에 비례하고, 반지름이 rr인 원판의 넓이는 πr2\pi r^2이다. 길이와 곡선 도형의 넓이는 극한으로 정의되므로 증명 없이 받아들인다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • C대칭이동과 회전. 직선에 대한 대칭이동은 거리와 호의 길이를 보존하고 회전 방향을 뒤집는다. 원점을 중심으로 하는 반 바퀴 회전은 그것들을 보존하며 회전 방향도 보존한다. 초등 기하학에서 받아들인다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • D초등 기하학. 삼각형의 세 각의 합은 π\pi이다. 이등변삼각형의 두 밑각은 같다. 한 각의 내부를 지나는 반직선은 그 각을 합이 주어진 각인 두 각으로 나눈다. 원의 중심이 원주각의 내부에 있으면 꼭짓점에서 나가는 지름이 그 각을 둘로 나누고 그 각이 대하는 호와 만나며, 중심이 외부에 있으면 한 변이 그 지름과 다른 변 사이에 놓인다. 삼각형의 닮음 조건과 피타고라스 정리. 그리고 원의 바깥쪽 점은 같은 쪽의 원주각보다 작은 각으로, 안쪽 점은 더 큰 각으로 현을 바라본다. 초등 기하학에서 받아들인다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • E아르키메데스 성질. 두 양의 실수 pp와 qq가 주어지면, qq의 어떤 자연수배는 pp보다 크다. 이로부터 유리수의 조밀성과, 주어진 실수보다 큰 가장 작은 정수의 존재가 따른다. 강좌 I의 수 체계에 관한 단원에서 증명하였다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • F함수와 다항식. 순단조함수는 단사이고, 그 역함수의 그래프는 원래 그래프를 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 것이며, 변환은 그래프를 평행이동하고 늘이거나 줄인다. 부호표와 근과 계수의 관계는 몫의 부호와 다항식의 근을 다룬다. 강좌 I의 대수 함수와 다항식에 관한 단원에서 증명하였다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • G해석기하학. 거리 공식, 원의 방정식, 직선의 기울기, 내적을 갖춘 벡터, 초점과 준선에 의한 이차곡선의 특징짓기. 강좌 I의 평면 해석기하학에 관한 단원에서 증명하였다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • H대칭성. 사인은 홀함수이고 코사인은 짝함수이다. sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin \theta, cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta, sin⁡(π+θ)=−sin⁡θ\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta, cos⁡(π+θ)=−cos⁡θ\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta, cos⁡θ=sin⁡(π2−θ)\cos \theta = \sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)이며, 둘 다 주기 2π2\pi의 주기함수이다. 확립되는 곳: 10. 대칭성과 주기성.

  1. 제1구간 각에서 함수로

    • 각을 그것이 지나는 호의 길이로 재고, 원주각을 그것이 대하는 호와 관련짓고, 모든 실수를 첫 바퀴로 환원한다.
    • 단위원에서 사인과 코사인을 정의하고, 그것이 직각삼각형의 비와 일치함을 증명한다.
    • 피타고라스 항등식, 특수각의 값, 대칭성을 유도하고, 이것들로 기준각 방법을 얻는다.
    • 사인, 코사인, 탄젠트를 함수로서 연구한다. 곧 그 최소 주기, 그래프, 부등식 sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x, 사인곡선이다.

    1. 호도법으로 나타낸 크기. π\pi를 단위원 둘레의 길이의 절반으로 할 때, 유향각의 호도법으로 나타낸 크기는 그 각이 지나는 호의 부호 있는 길이이다. 모든 실수는 어떤 각의 크기이며, gg도인 각은 πg180\frac{\pi g}{180}라디안이다.

      받침: A (호의 길이에 따른 이동), B (길이와 넓이). 증명된 수업: 각과 그 측정: 육십분법과 호도법.

    2. 호와 부채꼴. 반지름이 rr인 원에서 θ\theta라디안인 중심각(단, 0<θ≤2π0 < \theta \leq 2\pi)은 길이가 s=rθs = r\theta인 호에 대하고, 넓이가 12r2θ\frac{1}{2} r^2 \theta인 부채꼴을 이룬다.

      사용: 1. 호도법으로 나타낸 크기. 받침: B (길이와 넓이), E (아르키메데스 성질). 증명된 수업: 각과 그 측정: 육십분법과 호도법.

    3. 원주각. 반지름이 rr인 원에서 길이가 ss인 호에 대한 원주각의 크기는 s2r\frac{s}{2r}이다. 따라서 같은 현 위의 원주각들은 꼭짓점이 같은 호 위에 있으면 같고, 다른 호 위에 있으면 서로 보각이며, 반원에 대한 원주각은 직각이다.

      사용: 2. 호와 부채꼴. 받침: B (길이와 넓이), D (초등 기하학). 증명된 수업: 각과 그 측정: 육십분법과 호도법.

    4. 첫 바퀴로의 환원. 모든 실수 θ\theta는 θ0+2kπ\theta_0 + 2k\pi의 꼴로 단 한 가지 방법으로 쓰인다. 여기서 kk는 정수이고 θ0\theta_0은 [0,2π)\ico{0}{2\pi}에 속한다. 한 바퀴는 점을 반복하지 않으므로, 두 각은 그 차가 2π2\pi의 정수배일 때, 또 그때에만 동경이 같은 각이다.

      사용: 1. 호도법으로 나타낸 크기. 받침: A (호의 길이에 따른 이동), E (아르키메데스 성질), C (대칭이동과 회전). 증명된 수업: 각과 그 측정: 육십분법과 호도법.

    5. 예각의 삼각비. 예각 α\alpha를 가지는 직각삼각형에서 변 사이의 비는 α\alpha에만 의존하며, α\alpha의 사인과 코사인은 00보다 크고 11보다 작다.

      받침: D (초등 기하학). 증명된 수업: 삼각비와 단위원.

    6. 실수의 사인과 코사인. 모든 실수 θ\theta에 대하여, θ\theta의 코사인과 사인은 단위원 위의 점 P(θ)P(\theta)의 가로 좌표와 세로 좌표이며, 탄젠트는 코사인이 영이 아닐 때 그 몫 sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin \theta}{\cos \theta}이다. 각 사분면에서의 부호는 반 바퀴의 성질과 그 대칭인 두 번째 반 바퀴로부터 유도되며, 임의의 각의 부호는 첫 바퀴로 환원한 각의 부호와 같다.

      사용: 1. 호도법으로 나타낸 크기, 4. 첫 바퀴로의 환원. 받침: A (호의 길이에 따른 이동), C (대칭이동과 회전). 증명된 수업: 삼각비와 단위원.

    7. 정의의 일치. 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}이면, 단위원에서 정의한 사인, 코사인, 탄젠트는 크기가 θ\theta인 예각을 가지는 직각삼각형에서 정의한 것과 일치한다.

      사용: 5. 예각의 삼각비, 6. 실수의 사인과 코사인. 받침: A (호의 길이에 따른 이동), C (대칭이동과 회전), G (해석기하학). 증명된 수업: 삼각비와 단위원.

    8. 피타고라스 항등식. 모든 실수 θ\theta에 대하여 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1가 성립하고, 이로부터 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta이 성립한다(단, cos⁡θ≠0\cos \theta \neq 0).

      사용: 6. 실수의 사인과 코사인. 받침: G (해석기하학). 증명된 수업: 삼각비와 단위원.

    9. 특수각의 값. π4\frac{\pi}{4}의 사인과 코사인은 22\frac{\sqrt{2}}{2}이다. π6\frac{\pi}{6}의 사인과 π3\frac{\pi}{3}의 코사인은 12\frac{1}{2}이고, π6\frac{\pi}{6}의 코사인과 π3\frac{\pi}{3}의 사인은 32\frac{\sqrt{3}}{2}이다.

      사용: 1. 호도법으로 나타낸 크기, 6. 실수의 사인과 코사인. 받침: G (해석기하학), D (초등 기하학), C (대칭이동과 회전). 증명된 수업: 삼각비와 단위원.

    10. 대칭성과 주기성. 사인은 홀함수이고 코사인은 짝함수이다. 한 각과 그 보각은 사인이 같고 코사인은 부호가 반대이며, θ\theta와 π+θ\pi + \theta는 사인과 코사인이 모두 부호가 반대이다. 한 각의 사인은 그 여각의 코사인이며, 둘 다 주기 2π2\pi의 주기함수이다. 따라서 한 각의 사인과 코사인은 사분면에 따른 부호를 제외하면 그 기준각의 사인과 코사인과 같다.

      사용: 4. 첫 바퀴로의 환원, 6. 실수의 사인과 코사인. 받침: A (호의 길이에 따른 이동), C (대칭이동과 회전), F (함수와 다항식). 증명된 수업: 삼각비와 단위원.

    11. 사인과 코사인의 성질. 사인과 코사인의 치역은 [−1,1]\icc{-1}{1}이다. 사인은 정확히 수 kπk\pi에서 영이 되고, 값 11을 갖는 것은 정확히 수 π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi에서이며, 코사인이 값 11을 갖는 것은 정확히 수 2kπ2k\pi에서이다. 여기서 kk는 정수이다.

      사용: 4. 첫 바퀴로의 환원, 6. 실수의 사인과 코사인, 8. 피타고라스 항등식. 받침: A (호의 길이에 따른 이동), H (대칭성). 증명된 수업: 삼각함수와 그 그래프.

    12. 최소 주기. qq가 어떤 함수의 최소 주기이면, 그 함수의 주기는 정확히 수 kqkq이다(단, kk는 자연수). 그리고 2π2\pi는 사인과 코사인의 최소 주기이다.

      사용: 11. 사인과 코사인의 성질. 받침: E (아르키메데스 성질). 증명된 수업: 삼각함수와 그 그래프.

    13. 사인, 호, 탄젠트. 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}이면 sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x가 성립한다. 이로부터 ∣sin⁡x∣≤∣x∣\abs{\sin x} \leq \abs{x}이 따르며(xx는 임의의 실수), 등호는 x=0x = 0일 때만 성립한다.

      사용: 2. 호와 부채꼴, 6. 실수의 사인과 코사인, 11. 사인과 코사인의 성질. 받침: B (길이와 넓이), G (해석기하학), H (대칭성). 증명된 수업: 삼각함수와 그 그래프.

    14. 탄젠트의 성질. 탄젠트는 홀함수이고, 최소 주기는 π\pi이며, 정확히 수 kπk\pi에서 영이 되고, 치역은 R\mathbb{R}이며, 직선 x=π2+kπx = \frac{\pi}{2} + k\pi는 그 그래프의 수직 점근선이다.

      사용: 8. 피타고라스 항등식, 11. 사인과 코사인의 성질, 13. 사인, 호, 탄젠트. 받침: A (호의 길이에 따른 이동), F (함수와 다항식), H (대칭성). 증명된 수업: 삼각함수와 그 그래프.

    15. 사인곡선. 사인곡선 y=asin⁡(b(x−c))+dy = a \sin(b(x - c)) + d(단, a>0a > 0, b>0b > 0)은 변환을 통해 사인에서 얻어진다. 그 치역은 [d−a,d+a]\icc{d - a}{d + a}이고 최소 주기는 2πb\frac{2\pi}{b}이다.

      사용: 11. 사인과 코사인의 성질, 12. 최소 주기. 받침: F (함수와 다항식). 증명된 수업: 삼각함수와 그 그래프.

  2. 제2구간 역함수와 삼각형의 측정

    • 호의 길이에 따른 이동의 공리로부터 주값의 구간에서 코사인과 사인의 순단조성을, 그리고 이로부터 탄젠트의 순단조성을 유도하고, 그 역함수를 정의한다.
    • 항상 참인 등식 sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x을 arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x와 구별하고, 한 바퀴 전체에서 기본 방정식을 푼다.
    • 한 꼭짓점의 좌표로부터 삼각형의 넓이, 사인법칙, 코사인법칙, 헤론의 공식을 유도한다.
    • 모호한 경우의 해의 개수를 세고, 내적으로 두 벡터가 이루는 각을 잰다.

    1. 단조성과 전단사 제한. 호의 길이에 따른 이동의 공리의 반 바퀴 성질에 의해 코사인은 [0,π]\icc{0}{\pi}에서 순감소한다. 이것과 대칭성으로부터 사인은 [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}에서, 탄젠트는 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}에서 순증가한다. 이 구간들로 제한하면 이들은 각각 [−1,1]\icc{-1}{1}, [−1,1]\icc{-1}{1}, R\mathbb{R} 위로의 전단사함수이다.

      사용: 4. 첫 바퀴로의 환원, 6. 실수의 사인과 코사인, 14. 탄젠트의 성질. 받침: A (호의 길이에 따른 이동), F (함수와 다항식), H (대칭성). 증명된 수업: 역삼각함수.

    2. 역함수. 이 제한들의 역함수인 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트는 sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x을 만족하며, 이는 [−1,1]\icc{-1}{1}에서 성립한다. 반면 arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x은 [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}에서만 성립한다. 또한 arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}이고 cos⁡(arcsin⁡x)=1−x2\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}이다.

      사용: 8. 피타고라스 항등식, 16. 단조성과 전단사 제한. 받침: F (함수와 다항식), H (대칭성). 증명된 수업: 역삼각함수.

    3. 기본 방정식. −1<c<1-1 < c < 1이고 α=arcsin⁡c\alpha = \arcsin c이면, 방정식 sin⁡x=c\sin x = c은 [0,2π)\ico{0}{2\pi}에서 정확히 두 해를 가진다. 그것은 π−α\pi - \alpha, 그리고 α\alpha의 부호에 따라 α\alpha 자신 또는 2π+α2\pi + \alpha이다. 방정식 cos⁡x=c\cos x = c는 거기서 해 arccos⁡c\arccos c와 2π−arccos⁡c2\pi - \arccos c를 가진다.

      사용: 16. 단조성과 전단사 제한, 17. 역함수. 받침: H (대칭성). 증명된 수업: 역삼각함수.

    4. 삼각형의 넓이. 꼭짓점 AA를 원점에, 꼭짓점 BB를 가로축의 양의 부분 위에 두면, 꼭짓점 CC의 좌표는 (bcos⁡A,bsin⁡A)\left( b \cos A, b \sin A \right)이고 삼각형의 넓이는 12bcsin⁡A\frac{1}{2} bc \sin A이다.

      사용: 6. 실수의 사인과 코사인. 받침: G (해석기하학), H (대칭성). 증명된 수업: 삼각형의 풀이: 사인법칙과 코사인법칙.

    5. 사인법칙. 삼각형의 변은 대각의 사인에 비례하며, 공통의 비 asin⁡A\frac{a}{\sin A}는 외접원의 지름 2R2R이다.

      사용: 7. 정의의 일치, 3. 원주각, 19. 삼각형의 넓이. 받침: D (초등 기하학), H (대칭성). 증명된 수업: 삼각형의 풀이: 사인법칙과 코사인법칙.

    6. 코사인법칙. 모든 삼각형에서 a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A이 성립하며, 이는 각 AA가 직각일 때 피타고라스 정리가 된다.

      사용: 8. 피타고라스 항등식, 19. 삼각형의 넓이. 받침: G (해석기하학). 증명된 수업: 삼각형의 풀이: 사인법칙과 코사인법칙.

    7. 헤론의 공식. 세 변이 aa, bb, cc이고 반둘레가 ss인 삼각형의 넓이는 s(s−a)(s−b)(s−c)\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}이다.

      사용: 8. 피타고라스 항등식, 19. 삼각형의 넓이, 21. 코사인법칙. 받침: F (함수와 다항식). 증명된 수업: 삼각형의 풀이: 사인법칙과 코사인법칙.

    8. 모호한 경우. 각 AA, 이웃변 cc, 대변 aa가 주어지면, 가능한 삼각형은 b2−2bccos⁡A+c2−a2=0b^2 - 2bc \cos A + c^2 - a^2 = 0의 양의 근에 대응하며, aa를 csin⁡Ac \sin A 및 cc와 어떻게 비교하느냐에 따라 없거나 하나 또는 둘이다.

      사용: 6. 실수의 사인과 코사인, 8. 피타고라스 항등식, 21. 코사인법칙. 받침: F (함수와 다항식). 증명된 수업: 삼각형의 풀이: 사인법칙과 코사인법칙.

    9. 두 벡터가 이루는 각. θ\theta가 영이 아닌 벡터 u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}가 이루는 각이면 cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥∥v⃗∥\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}가 성립한다.

      사용: 21. 코사인법칙. 받침: G (해석기하학). 증명된 수업: 삼각형의 풀이: 사인법칙과 코사인법칙.

  3. 제3구간 두 번째 좌표계

    • 음의 동경을 허용하여 한 점의 모든 극좌표 표현을 기술한다.
    • 사분면에 따라 보정한 아크탄젠트로 직교좌표에서 극좌표로 옮긴다.
    • 극좌표에서 거리를 계산하고, 대칭 판정법으로 극곡선을 그린다.
    • 한 초점이 극에 있는 이차곡선을 나타내고, 그 방정식에서 종류, 꼭짓점, 통경을 읽는다.

    1. 점의 표현. 쌍 (r1,θ1)(r_1, \theta_1)과 (r2,θ2)(r_2, \theta_2)가 극이 아닌 같은 점을 나타낼 필요충분조건은 r2=r1r_2 = r_1이고 θ2−θ1\theta_2 - \theta_1이 π\pi의 짝수배이거나, r2=−r1r_2 = -r_1이고 θ2−θ1\theta_2 - \theta_1이 π\pi의 홀수배인 것이다.

      사용: 4. 첫 바퀴로의 환원, 6. 실수의 사인과 코사인, 8. 피타고라스 항등식. 받침: H (대칭성). 증명된 수업: 극좌표와 극곡선.

    2. 직교좌표에서 극좌표로. 극이 아닌 모든 점 (x,y)(x, y)는 r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2}이고 θ\theta가 (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}에 속하는 표현을 단 하나 가진다. x≠0x \neq 0이면 그 각은 arctan⁡yx\arctan \frac{y}{x}이고, 여기에 π\pi를 더하거나 빼는 것은 x<0x < 0일 때이다.

      사용: 25. 점의 표현, 17. 역함수. 받침: A (호의 길이에 따른 이동), G (해석기하학), H (대칭성). 증명된 수업: 극좌표와 극곡선.

    3. 극좌표에서의 거리. dd를 점 (r1,θ1)(r_1, \theta_1)과 (r2,θ2)(r_2, \theta_2) 사이의 거리라 하면, 동경의 부호가 어떻든 d2=r12+r22−2r1r2cos⁡(θ2−θ1)d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)가 성립한다.

      사용: 4. 첫 바퀴로의 환원, 21. 코사인법칙, 25. 점의 표현. 받침: H (대칭성). 증명된 수업: 극좌표와 극곡선.

    4. 대칭 판정법. 극곡선의 방정식이 θ\theta를 −θ-\theta로, θ\theta를 π−θ\pi - \theta로, 또는 rr을 −r-r로 바꾸었을 때 동치인 방정식이 되면, 그 곡선은 각각 시초선, 직선 θ=π2\theta = \frac{\pi}{2}, 극에 대하여 대칭이다.

      사용: 6. 실수의 사인과 코사인. 받침: H (대칭성). 증명된 수업: 극좌표와 극곡선.

    5. 이차곡선의 극방정식. e>0e > 0이고 d>0d > 0일 때, 극까지의 거리가 ee와 직선 x=dx = d까지의 거리의 곱과 같은 점들은 r=ed1+ecos⁡θr = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}의 그래프를 이룬다.

      사용: 25. 점의 표현. 받침: G (해석기하학), H (대칭성). 증명된 수업: 극좌표와 극곡선.

    6. 극방정식으로 나타낸 이차곡선의 요소. 이차곡선 r=ed1+ecos⁡θr = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}에서 시초선은 초점축이고, 한 꼭짓점은 극으로부터 거리 ed1+e\frac{ed}{1 + e}에 있으며, 통경의 길이는 2ed2ed이다. e<1e < 1이면 긴반지름은 ed1−e2\frac{ed}{1 - e^2}이다.

      사용: 28. 대칭 판정법, 29. 이차곡선의 극방정식. 받침: G (해석기하학). 증명된 수업: 극좌표와 극곡선.

해석 삼각법을 향하여. 사슬은 각의 합의 사인과 코사인 앞에서 멈춘다. 대칭성은 더하는 두 각 중 하나가 π2\frac{\pi}{2}의 배수일 때만 그것을 준다. 이어지는 단원은 덧셈정리를 유도하고, 그것으로 항등식을 증명하며, 삼각방정식을 일반적으로 풀고, 좌표축의 회전으로 이차방정식을 분류한다.

강좌 안의 단원

이 단원은 강좌 II의 첫 단원으로, 분명한 지점들에서 강좌 I에 기댄다. 첫 바퀴로의 환원은 강좌 I의 나누어떨어짐 수업에 나온 나머지가 있는 나눗셈을, 강좌 I의 유리수의 십진 표현 수업에 나온 아르키메데스 성질로 실수에 옮긴 것이며, 부채꼴의 넓이는 강좌 I의 실수 직선 수업에 나온 유리수의 조밀성으로 모든 각에 확장되었다. 역함수는 강좌 I의 함수의 연산 수업에 나온 역함수와 변환의 정리를 적용하였고, 점근선은 부호표로 연구하였다. 단위원, 기울기, 벡터, 내적, 이차곡선은 강좌 I의 평면 해석기하학 단원에서 왔으며, 그 단원의 원뿔곡선 수업이 초점과 준선의 정리를 주었다. 그리고 강좌 I의 쌍곡선함수 수업은 이 단원이 완성하는 유비를 앞서 보여 주었다. 사인과 코사인이 원 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1을 그리듯이, 쌍곡선 사인과 쌍곡선 코사인은 쌍곡선 x2−y2=1x^2 - y^2 = 1를 그린다.

그러나 단원 전체를 관통하는 한 물음이 답해지지 않은 채 남아 있다. 각의 합의 사인과 코사인을 더하는 각 각각의 사인과 코사인으로부터 어떻게 계산하는가? 대칭성은 더하는 각 중 하나가 π2\frac{\pi}{2}의 배수일 때만 이 물음에 답한다. π12\frac{\pi}{12}나 π10\frac{\pi}{10}의 값은 특별한 기하학적 작도를 필요로 한다. 그리고 극좌표 수업에서 예고한, 극형식으로 나타낸 두 복소수의 곱도 이 물음에 달려 있다. 해석 삼각법: 도입으로 시작하는 이어지는 단원은 덧셈정리로 이 물음에 답하고, 그것으로 항등식을 증명하며, 삼각방정식을 일반적으로 풀고, 좌표축의 회전으로 이차방정식을 분류한다.