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Topos Uranos
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역삼각함수

요약

이 수업에서는 사인, 코사인, 탄젠트의 역함수를 구성한다. 이 함수들은 주기함수이므로 단사가 아니며, 역함수를 만들려면 각 값을 한 번씩만 취하는 구간으로 제한해야 한다. 사인은 [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}로, 코사인은 [0,π]\icc{0}{\pi}로, 탄젠트는 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}로 제한한다. 호의 길이에 따른 이동의 공리(이동하는 점의 가로 좌표가 첫 번째 반 바퀴 동안 순감소한다고 주장한다)로부터 코사인이 [0,π]\icc{0}{\pi}에서 엄격하게 감소함을 이끌어 내고, 이로부터 대칭성을 이용하여 사인과 탄젠트가 각자의 구간에서 엄격하게 증가하며 세 제한이 모두 전단사임을 증명한다. 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트를 정의하고, 그 그래프를 직선 y=xy = x에 대한 대칭이동으로 얻는다. 이어서 이들을 잇는 항등식을 증명하고, 항상 성립하는 sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x, 그리고 주값의 구간에서만 성립하는 arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x을 주의 깊게 구별하며, 한 바퀴 전체에서 방정식 sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c, tan⁡x=c\tan x = c을 푼다.

학습 목표

  1. 이동의 공리로부터 주값의 구간에서 코사인과 사인의 엄격한 단조성을 이끌어 내고, 이를 이용하여 탄젠트의 엄격한 단조성을 증명하며, 세 역함수를 그 정의역 및 치역과 함께 정의한다.
  2. 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트의 그래프를 직선 y=xy = x에 대한 대칭이동으로 그리고, 특수한 점에서의 값을 계산한다.
  3. 역삼각함수의 합성 항등식, 대칭 항등식, 여각 항등식을 증명하고, 삼각함수와 그 역함수를 결합한 식을 간단히 한다.
  4. 역삼각함수와 단위원의 대칭성을 이용하여 구간 [0,2π)\ico{0}{2\pi}에서 기본 삼각방정식을 푼다.

삼각함수의 제한

강좌 I의 함수의 연산 수업에 따르면, 함수가 역함수를 가질 필요충분조건은 전단사인 것이며, 이때 역함수의 그래프는 원래 함수의 그래프를 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 것이다. 그런데 삼각함수와 그 그래프 수업에서 다룬 삼각함수는 단사가 아니다. 사인과 코사인은 주기 2π2\pi를 가지고 탄젠트는 주기 π\pi를 가지므로, 각 값은 무한히 여러 번 반복된다. 더욱이 한 주기 안에서도 값이 반복된다. 삼각비 수업에서 증명한 보각의 대칭성에 의해 sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x가 성립한다. 그렇다면 이 함수들의 역함수를 만들려면, 단사이면서 모든 값을 취하는 구간으로 제한해야 한다. 예각을 포함하고 함수가 엄격하게 단조인 구간을 고른다.

정리주값의 구간에서의 단조성

코사인은 [0,π]\icc{0}{\pi}에서 엄격하게 감소하고, 사인은 [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}에서 엄격하게 증가하며, 탄젠트는 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}에서 엄격하게 증가한다.

단위원의 점 P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right)에 의한 사인과 코사인의 정의(삼각비 수업)와 각과 그 측정 수업에서 받아들인 호의 길이에 따른 이동의 공리를 이용한다. 코사인의 단조성은 이 공리의 반 바퀴의 성질을 옮겨 말한 것이며, 사인과 탄젠트의 단조성은 이로부터 증명된다.

증명

  1. 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi

    α\alpha 및 β\beta가 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi을 만족한다고 하자. 점 P(α)P(\alpha) 및 P(β)P(\beta)는 길이가 각각 α\alpha 및 β\beta이고 (1,0)(1, 0)에서 시계 반대 방향으로 출발하는 호의 끝점이며, 둘 다 이동의 첫 번째 반 바퀴 안에 있다. 이 반 바퀴는 위쪽 반원을 덮는다.

  2. 0≤α<β≤π→cos⁡α>cos⁡β\dato{c}{0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \cos \alpha > \cos \beta}

    공리의 반 바퀴의 성질에 의해, 첫 번째 반 바퀴 동안 이동하는 점의 가로 좌표는 순감소한다. P(α)P(\alpha)의 가로 좌표는 P(β)P(\beta)의 가로 좌표보다 크다. 코사인은 정의에 의해 P(θ)P(\theta)의 가로 좌표이므로, 가로 좌표 사이의 부등식은 코사인 사이의 부등식이다.

  3. sin⁡α=cos⁡(π2−α)<cos⁡(π2−β)=sin⁡β\sin \alpha = \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)} < \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \beta \right)} = \dato{s}{\sin \beta}

    이번에는 −π2≤α<β≤π2-\frac{\pi}{2} \leq \alpha < \beta \leq \frac{\pi}{2}이라 하자. 그 여각들은 π2−β<π2−α\frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2} - \alpha를 만족하고 [0,π]\icc{0}{\pi}에 있다. 여각의 대칭성에 의해 각의 사인은 그 여각의 코사인이며, 코사인은 [0,π]\icc{0}{\pi}에서 감소하므로 사인은 [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}에서 증가한다.

  4. tan⁡α=sin⁡αcos⁡α<sin⁡βcos⁡α<sin⁡βcos⁡β=tan⁡β\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < \frac{\resaltar{\sin \beta}}{\cos \alpha} < \frac{\sin \beta}{\resaltar{\cos \beta}} = \dato{t}{\tan \beta}

    탄젠트에 대해서는 0≤α<β<π20 \leq \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}이라 하자. 앞의 단계들에 의해 0≤sin⁡α<sin⁡β0 \leq \sin \alpha < \sin \beta이고 cos⁡α>cos⁡β>cos⁡π2=0\cos \alpha > \cos \beta > \cos \frac{\pi}{2} = 0이다. 분자를 먼저 늘리고 이어서 분모를 줄이면(둘 다 양수), 몫은 증가한다.

  5. tan⁡α=−tan⁡(−α)<−tan⁡(−β)=tan⁡β\tan \alpha = \resaltar{-\tan(-\alpha)} < \resaltar{-\tan(-\beta)} = \tan \beta

    탄젠트는 기함수이다. 기함수인 사인을 우함수인 코사인으로 나눈 몫이기 때문이다. −π2<α<β≤0-\frac{\pi}{2} < \alpha < \beta \leq 0이면 그 반대수들은 0≤−β<−α0 \leq -\beta < -\alpha를 만족하고, 부호를 바꾸면 바로 앞 단계의 부등식의 방향이 바뀐다. α<0<β\alpha < 0 < \beta이면 탄젠트는 α\alpha에서 음수, β\beta에서 양수이다. 따라서 탄젠트는 구간 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} 전체에서 증가한다.

전단사 제한

함수의 연산 수업의 단조함수 정리에 의해, 엄격하게 단조인 함수는 모두 단사이다. 남은 것은 각 제한이 그 치역의 모든 값을 취한다는 것이다.

정리전단사 제한

[−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}로 제한한 사인은 [−1,1]\icc{-1}{1} 위로의 전단사이고, [0,π]\icc{0}{\pi}로 제한한 코사인은 [−1,1]\icc{-1}{1} 위로의 전단사이며, (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}로 제한한 탄젠트는 R\mathbb{R} 위로의 전단사이다.

단사성은 위의 정리로부터 나온다. 각 제한이 그 모든 값을 취한다는 것은 이동의 공리의 덮음 성질(단위원의 모든 점은 (1,0)(1, 0)에서 출발하는 호의 끝점이다)과 「한 바퀴는 점을 반복하지 않는다」는 보조정리로부터 나오며, 둘 다 각과 그 측정 수업에 있다.

증명

  1. 0≤α<β≤π→cos⁡α≠cos⁡β0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \resaltar{\cos \alpha \neq \cos \beta}

    위의 정리에 의해 세 제한은 엄격하게 단조이며, 엄격하게 단조인 함수는 모두 단사이다. 위쪽 반원의 서로 다른 두 각은 서로 다른 가로 좌표를 가진다.

  2. Q=(c,1−c2),c2+(1−c2)2=1→Q=P(θ)Q = \left( c, \sqrt{1 - c^2} \right), \quad \resaltar{c^2 + \left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 = 1} \rightarrow \dato{q}{Q = P(\theta)}

    cc가 −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1를 만족한다고 하자. 아래의 점 QQ는 단위원 위에 있다. 덮음 성질과 한 바퀴가 점을 반복하지 않는다는 사실에 의해, 그 점은 P(θ)P(\theta)이다. 단, θ\theta는 [0,2π)\ico{0}{2\pi}의 유일한 수이다.

  3. sin⁡θ=1−c2≥0→θ∈[0,π],cos⁡θ=c\sin \theta = \sqrt{1 - c^2} \geq 0 \rightarrow \theta \in \icc{0}{\pi}, \quad \dato{c}{\cos \theta = c}

    QQ의 세로 좌표는 음수가 아니며, 삼각비 수업의 사분면별 부호에 의해 사인은 (π,2π)\ioo{\pi}{2\pi}에서 음수이다. 따라서 그 θ\theta는 [0,π]\icc{0}{\pi}에 있고, 그 코사인은 cc이다. 제한한 코사인은 [−1,1]\icc{-1}{1}의 모든 값을 취한다.

  4. sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ=c,π2−θ∈[−π2,π2]\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \resaltar{\cos \theta} = \resaltar{c}, \quad \frac{\pi}{2} - \theta \in \icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}

    여각의 대칭성에 의해 π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta의 사인은 θ\theta의 코사인이며, θ\theta가 [0,π]\icc{0}{\pi}를 움직일 때 그 여각은 [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}를 움직인다. 제한한 사인도 [−1,1]\icc{-1}{1}의 모든 값을 취한다.

  5. tan⁡x=m,x−kπ∈(−π2,π2),tan⁡(x−kπ)=m\tan x = m, \quad x - k\pi \in \ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, \quad \tan(x - k\pi) = m

    탄젠트에 대해서는 삼각함수와 그 그래프 수업의 탄젠트의 성질 정리가 그 치역이 R\mathbb{R}이라고 말한다. mm이 주어지면, 기울기가 mm이고 원점을 지나는 직선은 오른쪽 반원과 점 P(x)P(x)에서 만나며, 여기서 xx는 −π2-\frac{\pi}{2}와 π2\frac{\pi}{2} 사이에 있다. 이것은 주기성으로도 알 수 있다. tan⁡x=m\tan x = m이면, 첫 바퀴로의 환원에서처럼 xx에서 π\pi의 정수배를 빼면 같은 탄젠트를 가지는 그 구간의 수를 얻는다.