Vai al contenuto
Topos Uranos
Italiano

Le funzioni trigonometriche e i loro grafici

Riepilogo

Questa lezione studia il seno, il coseno e la tangente come funzioni di una variabile reale, misurata in radianti. Ne determina i domini, gli insiemi immagine, gli zeri, i valori estremi e la parità, e dimostra che 2π2\pi è il più piccolo periodo positivo del seno e del coseno, e π\pi quello della tangente. Costruisce il grafico del seno srotolando la circonferenza goniometrica, ottiene quello del coseno con una traslazione e descrive con tabelle dei segni gli asintoti verticali della tangente; ne deduce poi i grafici della secante, della cosecante e della cotangente. Dimostra, confrontando aree, la disuguaglianza sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x per 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}, e studia le sinusoidi y=asin⁡(b(x−c))+dy = a \sin(b(x - c)) + d, con cui si modellano fenomeni periodici come la durata del giorno, le maree o il moto di una ruota panoramica.

Obiettivi di apprendimento

  1. Definire il seno, il coseno e la tangente come funzioni di variabile reale, e dimostrarne gli insiemi immagine, gli zeri, gli estremi, la parità e i periodi minimi.
  2. Costruire i grafici delle sei funzioni trigonometriche a partire dalla circonferenza goniometrica, descrivendo gli asintoti verticali mediante tabelle dei segni.
  3. Dimostrare la disuguaglianza sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x per 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} e la limitazione ∣sin⁡x∣≤∣x∣\abs{\sin x} \leq \abs{x}, e impiegarle per studiare funzioni ed equazioni.
  4. Interpretare l’ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale di una sinusoide come trasformazioni del grafico del seno, e adattare sinusoidi a fenomeni periodici.

Il seno e il coseno come funzioni

Nella lezione sui rapporti trigonometrici si sono definiti il seno e il coseno di un angolo qualsiasi come le coordinate del punto P(θ)P(\theta) in cui il lato terminale dell’angolo, in posizione standard, interseca la circonferenza goniometrica. Ora, secondo la lezione sugli angoli e la loro misura, ogni numero reale è la misura in radianti di qualche angolo orientato, e due angoli hanno lo stesso lato terminale esattamente quando le loro misure differiscono per un multiplo intero di 2π2\pi. Se è così, il seno e il coseno si possono considerare funzioni definite su tutto R\mathbb{R}: a ogni reale xx si associa una coordinata del punto P(x)P(x).

Per ogni numero reale xx, sia P(x)P(x) il punto della circonferenza goniometrica corrispondente all’angolo di xx radianti in posizione standard. La funzione seno associa a xx l’ordinata di P(x)P(x), e la funzione coseno, la sua ascissa. Entrambe hanno per dominio l’insieme di tutti i numeri reali.
P(x)=(cos⁡x,sin⁡x),x∈RP(x) = (\cos x, \sin x), \quad x \in \mathbb{R}

La variabile si misura sempre in radianti, e non in gradi. La scelta non è una convenzione indifferente: i risultati della seconda sezione, come sin⁡x<x\sin x < x per xx positivo, confrontano il seno con la variabile stessa, e questo confronto ha senso solo quando xx è la lunghezza dell’arco percorso sulla circonferenza goniometrica, che è ciò che misura un radiante.

TeoremaProprietà del seno e del coseno

L’insieme immagine del seno e quello del coseno è l’intervallo [−1,1]\icc{-1}{1}. Per ogni reale xx valgono sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x e cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x + 2\pi) = \cos x; il seno è una funzione dispari, e il coseno, una funzione pari. Il seno si annulla esattamente nei multipli interi di π\pi, vale 11 esattamente nei numeri π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi e vale −1-1 esattamente nei numeri −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, con kk intero. Il coseno si annulla esattamente nei numeri π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi, vale 11 esattamente nei numeri 2kπ2k\pi e vale −1-1 esattamente nei numeri π+2kπ\pi + 2k\pi.

Tutto si legge sulla circonferenza goniometrica, con l’identità pitagorica e le simmetrie dimostrate nella lezione sui rapporti trigonometrici.

Dimostrazione

  1. sin⁡2x=1−cos⁡2x≤1→−1≤sin⁡x≤1\sin^2 x = \resaltar{1 - \cos^2 x} \leq 1 \rightarrow \dato{c}{\resaltar{-1 \leq \sin x \leq 1}}

    Per l’identità pitagorica, il quadrato del seno è al più 11, e il seno è compreso tra −1-1 e 11; lo stesso vale per il coseno.

  2. Q=(1−c2,c),(1−c2)2+c2=1→Rec⁡(sin⁡)=Rec⁡(cos⁡)=[−1,1]Q = \left( \sqrt{1 - c^2}, c \right), \quad \resaltar{\left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 + c^2} = \resaltar{1} \rightarrow \operatorname{Rec}(\sin) = \operatorname{Rec}(\cos) = \icc{-1}{1}

    Viceversa, dato cc con −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1, il punto QQ seguente sta sulla circonferenza goniometrica; per la proprietà di ricoprimento dell’assioma del percorso, ammesso nella lezione sugli angoli e la loro misura, è il punto P(x)P(x) di qualche angolo xx, e allora sin⁡x=c\sin x = c. Allo stesso modo, il punto (c,1−c2)\left( c, \sqrt{1 - c^2} \right) mostra che il coseno assume il valore cc.

  3. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,cos⁡(x+2π)=cos⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x,cos⁡(−x)=cos⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \cos(x + 2\pi) = \cos x, \quad \sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x

    Gli angoli di xx e di x+2πx + 2\pi radianti hanno lo stesso lato terminale, sicché P(x+2π)=P(x)P(x + 2\pi) = P(x). Inoltre, P(−x)P(-x) è il simmetrico di P(x)P(x) rispetto all’asse orizzontale, come si è dimostrato nella lezione sui rapporti trigonometrici: il seno è dispari e il coseno è pari.

  4. sin⁡x=0↔x=kπ,cos⁡x=0↔x=π2+kπ,k∈Z\sin x = 0 \leftrightarrow x = k\pi, \quad \cos x = 0 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

    Il seno si annulla quando P(x)P(x) sta sull’asse orizzontale, cioè quando è (1,0)(1, 0) o (−1,0)(-1, 0); questi sono i punti degli angoli 00 e π\pi e dei loro coterminali. Il coseno si annulla quando P(x)P(x) è (0,1)(0, 1) o (0,−1)(0, -1).

  5. sin⁡x=1→cos⁡2x=1−1=0→P(x)=(0,1)\sin x = 1 \rightarrow \cos^2 x = \resaltar{1 - 1} = \resaltar{0} \rightarrow P(x) = (0, 1)

    Se sin⁡x=1\sin x = 1, l’identità pitagorica obbliga il coseno a essere nullo, e il punto P(x)P(x) è (0,1)(0, 1), che corrisponde all’angolo π2\frac{\pi}{2}; se sin⁡x=−1\sin x = -1, il punto è (0,−1)(0, -1), che corrisponde a −π2-\frac{\pi}{2}.

  6. sin⁡x=1↔x=π2+2kπ,sin⁡x=−1↔x=−π2+2kπ,cos⁡x=1↔x=2kπ,cos⁡x=−1↔x=π+2kπ\sin x = 1 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \sin x = -1 \leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \cos x = 1 \leftrightarrow x = 2k\pi, \quad \cos x = -1 \leftrightarrow x = \pi + 2k\pi

    Con lo stesso ragionamento, il coseno vale 11 quando P(x)=(1,0)P(x) = (1, 0) e vale −1-1 quando P(x)=(−1,0)P(x) = (-1, 0). In sintesi, i valori estremi del seno e del coseno si raggiungono nei numeri seguenti, con kk intero.

Il grafico del seno

Il grafico di y=sin⁡xy = \sin x si ottiene srotolando la circonferenza goniometrica sull’asse orizzontale: mentre il punto P(x)P(x) percorre la circonferenza, l’arco percorso, di lunghezza xx, viene riportato sull’asse delle ascisse, e sopra ogni ascissa si innalza l’altezza del punto. Le simmetrie della lezione sui rapporti trigonometrici permettono di costruire tutto il grafico a partire dal suo primo quarto.

EsempioIl grafico del seno come circonferenza srotolata

La figura srotola la circonferenza goniometrica sull’asse orizzontale, con la stessa scala su entrambi: l’altezza del punto P(x)P(x) viene trasportata all’ascissa xx, e il grafico completo si ottiene ripetendo e ribaltando per simmetria il primo quarto.

Dimostrazione

  1. sin⁡0=0,sin⁡π2=1\sin 0 = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1

    Mentre xx avanza da 00 a π2\frac{\pi}{2}, il punto P(x)P(x) percorre il primo quadrante da (1,0)(1, 0) a (0,1)(0, 1). Per la proprietà del mezzo giro dell’assioma del percorso, la sua ascissa cos⁡x\cos x decresce strettamente da 11 a 00; poiché la sua altezza è la radice non negativa 1−cos⁡2x\sqrt{1 - \cos^2 x}, cresce strettamente da 00 a 11. Nella lezione sulle funzioni trigonometriche inverse lo stesso argomento si estende a tutto l’intervallo [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

  2. sin⁡π6=12,sin⁡π4=22,sin⁡π3=32\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    I valori notevoli calcolati nella lezione sui rapporti trigonometrici danno tre punti intermedi del primo arco.

  3. sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x

    Tra π2\frac{\pi}{2} e π\pi, la simmetria degli angoli supplementari dice che l’altezza in π−x\pi - x è la stessa che in xx: il primo arco è simmetrico rispetto alla retta verticale x=π2x = \frac{\pi}{2}, e scende fino a 00 in π\pi.

  4. sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x + \pi) = -\sin x

    Tra π\pi e 2π2\pi, il punto P(x+π)P(x + \pi) è l’opposto di P(x)P(x): l’altezza cambia segno, e il grafico ripete l’arco appena descritto sotto l’asse, traslato di π\pi e ribaltato.

  5. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \sin(-x) = -\sin x

    Per la periodicità, la porzione tra 00 e 2π2\pi, detta ciclo, si ripete a destra e a sinistra; e poiché il seno è dispari, il grafico è simmetrico rispetto all’origine.

Il grafico del seno è un’onda che oscilla tra le rette y=−1y = -1 e y=1y = 1, interseca l’asse orizzontale nei multipli di π\pi e raggiunge i suoi massimi nei numeri π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi e i suoi minimi nei numeri −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, in accordo con il teorema visto sopra.

Il disegno presuppone, inoltre, due proprietà che la circonferenza srotolata suggerisce, ma che gli strumenti di questa unità non permettono di dimostrare: che il grafico è una curva senza interruzioni, e che ogni arco situato sopra l’asse si incurva sempre verso il basso. Entrambe si definiscono mediante limiti e si dimostrano nel corso di Analisi I; qui si ammettono. Nessun teorema dell’unità dipende da esse: si usano solo in alcuni problemi, che lo indicano espressamente.

Fatto ammesso (continuità delle funzioni trigonometriche e delle loro inverse). Il seno e il coseno sono continui su tutta la retta; la tangente, la secante, la cosecante e la cotangente lo sono su ogni intervallo contenuto nel loro dominio; e l’arcoseno, l’arcocoseno e l’arcotangente, che si definiranno nella lezione sulle funzioni trigonometriche inverse, sono continui sui loro domini. Le somme, i prodotti, i quozienti con denominatore non nullo e le composizioni di funzioni continue sono continui. Di conseguenza, il fatto ammesso del corso I sul teorema dei valori intermedi, enunciato nella lezione sulle funzioni razionali, si applica, su ogni intervallo chiuso contenuto nel loro dominio, a funzioni come sin⁡x−x10\sin x - \frac{x}{10}, tan⁡x−x\tan x - x o arcsin⁡x+arctan⁡x\arcsin x + \arctan x: se cambiano segno agli estremi, si annullano in qualche punto interno.
Fatto ammesso (concavità del seno). Il seno è strettamente concavo su ogni intervallo [2kπ,(2k+1)π]\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}, con kk intero: se u<x<vu < x < v sono punti di tale intervallo, il punto del grafico di ascissa xx sta strettamente sopra il segmento che congiunge i punti del grafico di ascisse uu e vv.
u<x<v→sin⁡x>(v−x)sin⁡u+(x−u)sin⁡vv−uu < x < v \rightarrow \sin x > \frac{(v - x) \sin u + (x - u) \sin v}{v - u}

Funzioni periodiche

Una funzione ff è periodica se esiste un numero p>0p > 0 tale che, per ogni xx del dominio, x+px + p e x−px - p stanno nel dominio e vale f(x+p)=f(x)f(x + p) = f(x); un tale numero si chiama periodo di ff. Se pp è un periodo, lo sono anche 2p2p, 3p3p e, per induzione, tutti i suoi multipli naturali: f(x+2p)=f((x+p)+p)=f(x+p)=f(x)f(x + 2p) = f((x + p) + p) = f(x + p) = f(x). Una funzione periodica ha quindi infiniti periodi, e il più interessante è il più piccolo di essi, quando esiste, che si chiama periodo minimo. Il suo grafico si ottiene ripetendo più e più volte la porzione corrispondente a un intervallo di lunghezza uguale al periodo.

LemmaI periodi sono multipli del periodo minimo

Se qq è il periodo minimo di una funzione ff, i periodi di ff sono esattamente i numeri kqkq, con kk naturale.

Si divide un periodo qualsiasi per qq, come nella divisione con resto, e si mostra che il resto non può essere positivo. La figura usa una funzione di periodo minimo qq.

Dimostrazione

  1. f(x+kq)=f(x),k∈N\dato{m}{f(x + kq) = f(x)}, \quad k \in \mathbb{N}

    Ogni multiplo naturale di qq è un periodo, come si è appena visto per induzione.

  2. kq≤p<(k+1)q→0≤r=p−kq<q\resaltar{kq \leq p < (k + 1)q} \rightarrow \dato{r}{\resaltar{0 \leq r = p - kq < q}}

    Viceversa, sia pp un periodo; per la minimalità di qq, si ha p≥qp \geq q. Per la proprietà archimedea dei reali, dimostrata nella lezione del corso I sulla rappresentazione decimale dei numeri razionali, e per il principio del buon ordinamento, come nel teorema della riduzione al primo giro della lezione sugli angoli e la loro misura, esiste un naturale k≥1k \geq 1 con kq≤p<(k+1)qkq \leq p < (k + 1)q, e il resto r=p−kqr = p - kq è compreso tra 00 e qq, quest’ultimo escluso.

  3. f(x+r)=f(x+r+kq)=f(x+p)=f(x)f(x + r) = f(x + \resaltar{r + kq}) = f(x + \resaltar{p}) = f(x)

    Se rr fosse positivo, sarebbe un periodo: avanzare di rr e poi di kqkq equivale ad avanzare di pp, e sia kqkq sia pp sono periodi.

  4. r=0→p=kqr = 0 \rightarrow p = kq

    Ma un periodo positivo minore di qq contraddice la minimalità di qq. Dunque il resto è nullo, e pp è un multiplo naturale di qq.

TeoremaPeriodo minimo del seno e del coseno

Il numero 2π2\pi è il periodo minimo del seno e del coseno.

Per il teorema delle proprietà, 2π2\pi è un periodo di entrambe le funzioni. Resta da vedere che nessun numero tra 00 e 2π2\pi lo è, e a questo scopo basta guardare dove si raggiunge il massimo.

Dimostrazione

  1. sin⁡(π2+p)=sin⁡π2=1\dato{m}{\sin \left( \frac{\pi}{2} + p \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1}

    Supponiamo che pp, con 0<p<2π0 < p < 2\pi, sia un periodo del seno. Scrivendo l’uguaglianza sin⁡(x+p)=sin⁡x\sin(x + p) = \sin x per x=π2x = \frac{\pi}{2}, il numero π2+p\frac{\pi}{2} + p sarebbe anch’esso un punto di massimo.

  2. π2+p=π2+2kπ→p=2kπ\frac{\pi}{2} + p = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \rightarrow p = 2k\pi

    Per il teorema delle proprietà, il seno vale 11 solo nei numeri π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi: allora pp sarebbe un multiplo intero di 2π2\pi, il che è impossibile tra 00 e 2π2\pi. In altre parole, due massimi consecutivi del seno distano esattamente 2π2\pi.

  3. cos⁡p=cos⁡0=1→p=2kπ\cos p = \cos 0 = 1 \rightarrow p = 2k\pi

    Per il coseno si ragiona allo stesso modo in x=0x = 0: un periodo pp darebbe cos⁡p=cos⁡0=1\cos p = \cos 0 = 1, e il coseno vale 11 solo nei multipli interi di 2π2\pi.

Per il lemma appena dimostrato, i periodi del seno e del coseno sono esattamente i numeri 2kπ2k\pi con kk naturale.

Il coseno come seno traslato

Il grafico del coseno non richiede una costruzione nuova, perché è quello del seno spostato.

TeoremaIl coseno è un seno traslato

Per ogni reale xx vale cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right). Di conseguenza, il grafico di y=cos⁡xy = \cos x è quello del seno traslato di π2\frac{\pi}{2} unità verso sinistra.

Si combinano le simmetrie degli angoli complementari e supplementari, e poi il teorema delle trasformazioni della lezione del corso I sulle operazioni tra funzioni.

Dimostrazione

  1. cos⁡x=sin⁡(π2−x)\cos x = \dato{c}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right)}

    Per la simmetria degli angoli complementari, il coseno di xx è il seno di π2−x\frac{\pi}{2} - x.

  2. cos⁡x=sin⁡(π−(π2−x))=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( \resaltar{\pi - \left( \frac{\pi}{2} - x \right)} \right) = \dato{t}{\sin \left( \resaltar{x + \frac{\pi}{2}} \right)}

    Per la simmetria degli angoli supplementari, sin⁡(π−u)=sin⁡u\sin(\pi - u) = \sin u; con u=π2−xu = \frac{\pi}{2} - x, l’angolo π−u\pi - u è π2+x\frac{\pi}{2} + x.

  3. y=sin⁡(x−(−π2))y = \sin \left( x - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

    Per il teorema delle trasformazioni, il grafico di y=f(x−h)y = f(x - h) è quello di ff traslato di hh unità in senso orizzontale. Qui ff è il seno e h=−π2h = -\frac{\pi}{2}: ogni punto del grafico del seno si sposta di π2\frac{\pi}{2} verso sinistra. Il punto di massimo (π2,1)\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right) passa in (0,1)(0, 1).

  4. cos⁡(−x)=cos⁡x,cos⁡0=1,cos⁡π=−1\cos(-x) = \cos x, \quad \cos 0 = 1, \quad \cos \pi = -1

    Sul grafico traslato si leggono le proprietà del coseno: è simmetrico rispetto all’asse verticale, perché il coseno è pari, interseca l’asse orizzontale nei numeri π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi, e raggiunge il massimo 11 nei multipli pari di π\pi e il minimo −1-1 in quelli dispari.