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Topos Uranos
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Rapporti trigonometrici e circonferenza goniometrica

Riepilogo

Questa lezione definisce il seno, il coseno e la tangente di un angolo in due modi. Il primo, come quozienti tra i lati di un triangolo rettangolo, vale per gli angoli acuti, e si dimostra per similitudine che non dipende dal triangolo scelto. Il secondo, come coordinate del punto in cui il lato terminale dell’angolo taglia la circonferenza goniometrica, vale per ogni numero reale e coincide con il primo negli angoli acuti. Da esso si deducono i segni in ciascun quadrante, l’identità pitagorica, i valori notevoli degli angoli di π6\frac{\pi}{6}, π4\frac{\pi}{4} e π3\frac{\pi}{3}, che si ottengono dal mezzo triangolo equilatero e dal mezzo quadrato, e le simmetrie del seno e del coseno, che si dimostrano riflettendo il punto sulla circonferenza e permettono di calcolare i rapporti di qualunque angolo mediante il suo angolo di riferimento.

Obiettivi di apprendimento

  1. Definire i sei rapporti trigonometrici di un angolo acuto in un triangolo rettangolo e dimostrare, per similitudine, che non dipendono dal triangolo.
  2. Definire il seno, il coseno e gli altri rapporti di un angolo qualsiasi mediante la circonferenza goniometrica, riconoscere la tangente come coefficiente angolare del lato terminale e dimostrare che le due definizioni coincidono negli angoli acuti.
  3. Dimostrare l’identità pitagorica, i valori notevoli e le simmetrie del seno e del coseno, e usarli per calcolare i rapporti di qualunque angolo con il metodo dell’angolo di riferimento.
  4. Ottenere tutti i rapporti di un angolo a partire da uno di essi e dal quadrante, e applicare i rapporti a problemi di altezze, distanze e aree.

I rapporti di un angolo acuto

In un triangolo rettangolo, il lato opposto all’angolo retto si chiama ipotenusa, e gli altri due cateti. Gli angoli interni di un triangolo hanno per somma un angolo piatto, che misura π\pi; questo fatto della geometria elementare è stato ammesso nella lezione sugli angoli e la loro misura. Se è così, i due angoli non retti di un triangolo rettangolo hanno per somma π2\frac{\pi}{2}, e ciascuno di essi è acuto, cioè misura tra 00 e π2\frac{\pi}{2}. Rispetto a uno di questi angoli acuti, di misura α\alpha, uno dei cateti è il cateto opposto, che non tocca il suo vertice, e l’altro è il cateto adiacente, che forma con l’ipotenusa i lati dell’angolo.

Sia α\alpha un angolo acuto di un triangolo rettangolo di ipotenusa cc, il cui cateto opposto ad α\alpha misura aa e il cui cateto adiacente misura bb. Il seno, il coseno e la tangente di α\alpha sono, rispettivamente, il quoziente tra il cateto opposto e l’ipotenusa, tra il cateto adiacente e l’ipotenusa, e tra il cateto opposto e quello adiacente.
sin⁡α=ac,cos⁡α=bc,tan⁡α=ab\sin \alpha = \frac{a}{c}, \qquad \cos \alpha = \frac{b}{c}, \qquad \tan \alpha = \frac{a}{b}

I loro reciproci si chiamano cosecante, secante e cotangente: csc⁡α=ca\csc \alpha = \frac{c}{a}, sec⁡α=cb\sec \alpha = \frac{c}{b} e cot⁡α=ba\cot \alpha = \frac{b}{a}. I sei si chiamano rapporti trigonometrici, perché sono rapporti, cioè quozienti, tra i lati di un triangolo. La definizione, tuttavia, solleva un dubbio: ci sono infiniti triangoli rettangoli con un angolo acuto di misura α\alpha, grandi e piccoli, e se ciascuno desse un quoziente diverso, le parole «il seno di α\alpha» non designerebbero alcun numero. Il teorema seguente scioglie il dubbio.

TeoremaI rapporti non dipendono dal triangolo

Se due triangoli rettangoli hanno un angolo acuto della stessa misura α\alpha, il quoziente tra due lati qualsiasi del primo è uguale al quoziente tra i lati corrispondenti del secondo. Di conseguenza, il seno, il coseno e la tangente di α\alpha, e i loro reciproci, dipendono solo da α\alpha. Inoltre, 0<sin⁡α<10 < \sin \alpha < 1 e 0<cos⁡α<10 < \cos \alpha < 1.

Siano dati due triangoli rettangoli con un angolo acuto α\alpha, il primo di cateti a1a_1 e b1b_1 e ipotenusa c1c_1, e il secondo di cateti a2a_2 e b2b_2 e ipotenusa c2c_2, dove a1a_1 e a2a_2 sono i cateti opposti ad α\alpha. Si ammettono i criteri di similitudine dei triangoli della geometria elementare, gli stessi che nella lezione del corso I sull’equazione della retta hanno garantito che il coefficiente angolare non dipende dai punti scelti.

Dimostrazione

  1. a2=ka1,b2=kb1,c2=kc1\dato{k}{a_2 = k a_1, \quad b_2 = k b_1, \quad c_2 = k c_1}

    I due triangoli hanno due angoli uguali, quello retto e quello di misura α\alpha; per il criterio di similitudine dei due angoli sono simili, e i loro lati corrispondenti sono proporzionali: esiste un numero k>0k > 0 tale che ogni lato del secondo è kk volte il lato corrispondente del primo.

  2. a2c2=ka1kc1=a1c1\frac{a_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{c_1}}

    Il quoziente tra il cateto opposto e l’ipotenusa è lo stesso nei due triangoli, perché il fattore kk si semplifica.

  3. b2c2=kb1kc1=b1c1\frac{b_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k b_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{b_1}{c_1}}

    Lo stesso accade con il quoziente tra il cateto adiacente e l’ipotenusa.

  4. a2b2=ka1kb1=a1b1\frac{a_2}{b_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k b_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{b_1}}

    E con il quoziente tra i due cateti. Pertanto il seno, il coseno e la tangente, e con essi i loro reciproci, assumono lo stesso valore nei due triangoli: dipendono solo da α\alpha.

  5. c2=a2+b2→0<ac<1,0<bc<1c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 0 < \frac{a}{c} < 1, \quad 0 < \frac{b}{c} < 1

    Per il teorema di Pitagora, il quadrato dell’ipotenusa è la somma dei quadrati dei cateti, e supera ciascuno di essi: l’ipotenusa è maggiore di ogni cateto, e i due quozienti con l’ipotenusa sono compresi tra 00 e 11.

Il teorema permette di calcolare i rapporti di un angolo con qualunque triangolo rettangolo che lo contenga, e di scegliere il più comodo. In particolare, il cateto opposto a uno degli angoli acuti è il cateto adiacente all’altro, e ne segue una relazione tra i rapporti di due angoli che hanno per somma π2\frac{\pi}{2}, detti complementari.

EsempioI rapporti dei due angoli acuti

In un triangolo rettangolo di cateti 33 e 44, sia α\alpha l’angolo opposto al cateto 33 e β\beta quello opposto al cateto 44. Calcolare i loro rapporti e confrontarli.

Dimostrazione

  1. c=32+42=25=5c = \sqrt{\resaltar{3^2 + 4^2}} = \sqrt{25} = \resaltar{5}

    Per il teorema di Pitagora, l’ipotenusa misura 55.

  2. sin⁡α=35,cos⁡α=45,tan⁡α=34\dato{a}{\sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5}, \quad \tan \alpha = \frac{3}{4}}

    Per α\alpha, il cateto opposto è 33 e quello adiacente è 44.

  3. sin⁡β=45,cos⁡β=35,tan⁡β=43\dato{b}{\sin \beta = \frac{4}{5}, \quad \cos \beta = \frac{3}{5}, \quad \tan \beta = \frac{4}{3}}

    Per β\beta, i ruoli dei cateti si scambiano: quello opposto è 44 e quello adiacente è 33.

  4. sin⁡β=cos⁡α,cos⁡β=sin⁡α,tan⁡β=1tan⁡α=cot⁡α\sin \beta = \cos \alpha, \quad \cos \beta = \sin \alpha, \quad \tan \beta = \frac{1}{\tan \alpha} = \cot \alpha

    Poiché α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}, il seno di ciascun angolo è il coseno dell’altro, e la tangente di ciascuno è la cotangente dell’altro. Lo stesso accade in ogni triangolo rettangolo, perché lo scambio dei cateti non dipende dalle loro misure.

Da qui provengono i nomi: il coseno è il seno del complementare, la cotangente è la tangente del complementare e la cosecante è la secante del complementare.