Gli angoli e la loro misura: gradi e radianti

Angoli orientati

Nella geometria elementare, un angolo è la figura formata da due semirette con l’origine in comune, e la sua misura è compresa tra $0^\circ$ e $180^\circ$. Per studiare le rotazioni, come quella di una ruota, quella delle lancette di un orologio o quella della Terra attorno al suo asse, questa nozione non basta: interessa quanto si è ruotato e in quale verso, e una rotazione può compiere vari giri. Per questo si considera l’angolo come il risultato di una rotazione.

Un angolo orientato è determinato da una semiretta, detta lato iniziale, che ruota attorno alla sua origine, detta vertice, fino a occupare una posizione finale, detta lato terminale, insieme alla rotazione effettuata. L’angolo è positivo se la rotazione avviene nel verso contrario a quello delle lancette dell’orologio (senso antiorario), e negativo se avviene nel verso delle lancette dell’orologio (senso orario). L’angolo nullo è quello che non ruota.

Una stessa coppia di lati può corrispondere a molti angoli orientati: il lato terminale occupa la stessa posizione se si ruota di un quarto di giro in senso antiorario, di tre quarti di giro in senso orario o di un quarto di giro più un giro completo. Questi angoli sono distinti, perché descrivono rotazioni distinte, anche se terminano sullo stesso lato; la terza sezione precisa come sono legati.

Il sistema sessagesimale

La misura più antica degli angoli divide il giro completo in $360$ archi uguali, e chiama grado l’angolo che insiste su ciascuno di essi: un angolo misura $g$ gradi se il suo arco è $g$ volte l’arco di un grado, sicché la misura in gradi è proporzionale alla lunghezza dell’arco. Ogni grado si divide in $60$ primi, e ogni primo in $60$ secondi. Il sistema proviene dall’astronomia babilonese, che contava in base sessanta, come si spiega nella lezione del corso I sui sistemi di numerazione posizionale; il numero $360$ ha il vantaggio di essere divisibile per $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $9$, $10$ e $12$, tra gli altri. Un angolo retto misura $90^\circ$, un angolo piatto misura $180^\circ$ e un giro completo $360^\circ$; un angolo negativo si misura con il segno meno, sicché un quarto di giro in senso orario misura $-90^\circ$. L’angolo di 40 gradi, 15 primi e 36 secondi, che si abbrevia scrivendo dopo ciascun numero il simbolo di grado, un apice per i primi e due per i secondi, misura in gradi quanto segue, cioè 40,26 gradi:

Il numero $360$ è tuttavia una convenzione: nulla nella geometria della circonferenza lo distingue da un altro numero. Le formule della lunghezza di un arco e dell’area di un settore, e più avanti quelle delle funzioni trigonometriche, si semplificano se gli angoli si misurano in un modo che nasce dalla circonferenza stessa.

Il radiante

L’idea è misurare un angolo mediante la lunghezza dell’arco su cui insiste in una circonferenza di raggio $1$ centrata nel suo vertice. Ciò richiede di sapere che cos’è la lunghezza di un arco, e qui sorge una difficoltà: un arco non è un’unione di segmenti, e la sua lunghezza si definisce come il valore a cui si avvicinano le lunghezze delle poligonali inscritte in esso quando i loro lati diventano sempre più corti, cioè mediante un limite. Il suo studio spetta al corso di Analisi II, dove si calcolano lunghezze di curve e aree di regioni delimitate da curve. Qui si ammettono i fatti che seguono.

Fatto ammesso (lunghezze e aree nel cerchio). Ogni arco di circonferenza ha una lunghezza, e ogni regione delimitata da segmenti e archi ha un’area. Le figure congruenti hanno la stessa lunghezza o la stessa area; se una figura si scompone in due che non si sovrappongono, la sua misura è la somma delle misure dei pezzi; e se una regione ne contiene un’altra, la sua area non è minore, ed è maggiore se la differenza contiene qualche cerchio. Inoltre, se due circonferenze hanno raggi $r$ e $R$, gli archi su cui insiste in esse uno stesso angolo al centro sono proporzionali ai raggi, e l’area di un cerchio di raggio $r$ è $\pi r^2$.

Questo fatto si ammette senza dimostrazione, perché le lunghezze degli archi e le aree delle regioni curve si definiscono mediante limiti e si calcolano con l’integrale, nel corso di Analisi II. La sua ultima clausola presuppone noto il numero $\pi$, che si definisce ora: il numero $\pi$ è la metà della lunghezza della circonferenza goniometrica, cioè della circonferenza di raggio $1$. Per la proporzionalità degli archi ai raggi, applicata all’angolo di un giro completo, la circonferenza di raggio $r$ ha lunghezza $2\pi r$, e il quoziente tra la lunghezza di una circonferenza qualsiasi e il suo diametro è sempre $\pi$. Si ammette anche che $\pi$ è irrazionale, e che la sua rappresentazione decimale comincia con 3,14159; in particolare, $3 < \pi < 4$.

Per misurare gli angoli occorre, inoltre, percorrere la circonferenza per lunghezza d’arco: partire da un punto e avanzare su di essa di una lunghezza data, in un verso o nell’altro, e sapere a quale punto si arriva. Tutto ciò che questa unità dice degli angoli e delle funzioni trigonometriche poggia su questo percorso, sicché conviene enunciare con precisione ciò che se ne ammette. Lo si enuncia nel piano cartesiano, per la circonferenza goniometrica $x^2 + y^2 = 1$ e il suo punto $A = (1, 0)$; poiché le lunghezze non cambiano quando si spostano le figure, vale allo stesso modo per qualsiasi circonferenza di raggio $1$ e qualsiasi punto di partenza.

Assioma (percorso per lunghezza d’arco). Per ogni numero reale $s$ esiste un unico punto $P(s)$ della circonferenza goniometrica a cui si arriva partendo da $A = (1, 0)$ e percorrendo su di essa una lunghezza $\abs{s}$, in senso antiorario se $s > 0$ e in senso orario se $s < 0$, compiendo tutti i giri necessari; per $s = 0$ è $P(0) = A$. Questo percorso ha le quattro proprietà che seguono.

1. Giustapposizione: se dal punto $P(s)$ si percorre una lunghezza $t \geq 0$ in senso antiorario, si arriva a $P(s + t)$; se la si percorre in senso orario, si arriva a $P(s - t)$.
2. Periodicità: un giro completo, in qualsiasi verso, percorre la lunghezza $2\pi$ della circonferenza e riporta al punto di partenza; cioè, $P(s + 2\pi) = P(s)$ per ogni numero reale $s$.
3. Mezzo giro: il percorso antiorario passa prima per la semicirconferenza superiore, da destra a sinistra. Precisamente, $P(\pi) = (-1, 0)$, e se $0 \leq s < t \leq \pi$, i punti $P(s)$ e $P(t)$ hanno ordinata non negativa e l’ascissa di $P(s)$ è maggiore di quella di $P(t)$.
4. Ricoprimento: ogni punto della circonferenza goniometrica è $P(s)$ per qualche numero reale $s$.

L’assioma si ammette senza dimostrazione per la stessa ragione del fatto enunciato prima di esso: la lunghezza di un arco si definisce mediante un limite, e le sue proprietà si dimostrano nel corso di Analisi II; il ricoprimento, che afferma che percorrendo la circonferenza non si salta alcun punto, poggia inoltre sulla proprietà dei valori intermedi delle funzioni continue, che si dimostra nel corso di Analisi I. La proprietà del mezzo giro ha una lettura geometrica semplice. Se $(x, y)$ sta sulla circonferenza goniometrica, il quadrato della sua distanza dal punto $A$ è quello che segue:

Ne viene che dire che l’ascissa decresce strettamente lungo la semicirconferenza superiore equivale a dire che la corda che unisce $A$ al punto raggiunto cresce strettamente con l’arco, fino a diventare un diametro dopo mezzo giro. Quando, nella lezione sui rapporti trigonometrici, il coseno di $s$ sarà definito come l’ascissa di $P(s)$, questa proprietà dirà che il coseno è strettamente decrescente in $\icc{0}{\pi}$: questa monotonia non si deduce, ma è la clausola stessa del mezzo giro letta in coordinate. Ora, da questo assioma, dai fatti sulle lunghezze e sulle aree e dal fatto sulle simmetrie che si ammette più sotto si deduce tutto il resto che si usa del percorso: in questa lezione, il comportamento del secondo mezzo giro e il fatto che un giro non passa due volte per lo stesso punto; nella lezione sulle funzioni trigonometriche inverse, la monotonia del seno e della tangente.

Fatto ammesso (simmetrie e rotazione di mezzo giro). Una simmetria assiale rispetto a una retta conserva le distanze e, con esse, le lunghezze degli archi, ma inverte il verso di rotazione: trasforma un percorso antiorario di una circonferenza centrata in un punto di quella retta in un percorso orario della stessa lunghezza, e viceversa. La rotazione di mezzo giro attorno a un punto, che è la composizione delle simmetrie rispetto a due rette perpendicolari passanti per esso, conserva le distanze, le lunghezze e anche il verso di rotazione.

Questo fatto appartiene alla geometria elementare dei movimenti del piano, che questo corso non sviluppa. In coordinate, la simmetria rispetto all’asse $x$ è la trasformazione $(x, y) \mapsto (x, -y)$; porta la circonferenza goniometrica in sé stessa, perché $x^2 + (-y)^2 = x^2 + y^2$, e lascia fisso il punto $A = (1, 0)$. Con essa, il secondo mezzo giro del percorso si ottiene dal primo.

Sia dato un angolo orientato con vertice nel centro $O$ della circonferenza goniometrica, e sia $A$ il punto in cui il lato iniziale taglia quella circonferenza. Quando il lato ruota, il punto $A$ percorre un arco della circonferenza, come nell’assioma enunciato sopra. La misura in radianti dell’angolo è la lunghezza di quell’arco, con segno positivo se la rotazione è antioraria e negativo se è oraria; se la rotazione compie vari giri, ogni giro completo apporta la lunghezza $2\pi$ della circonferenza.

Un angolo misurato in radianti è un numero reale adimensionale: è il quoziente tra una lunghezza d’arco e la lunghezza del raggio, che vale $1$. Per questo si scrive semplicemente $\theta = 2$ per un angolo di due radianti; quando si vuole insistere sull’unità di misura, si scrive 2 rad. Invece, la misura in gradi si indica sempre con il suo simbolo, come in $30^\circ$. Reciprocamente, ogni numero reale è la misura di qualche angolo orientato: per l’assioma del percorso, per ogni $\theta$ il punto $A$ può percorrere la circonferenza per una lunghezza $\abs{\theta}$ nel verso indicato dal segno di $\theta$, compiendo tutti i giri completi necessari, e la semiretta che va dal vertice al punto raggiunto è il lato terminale.

La conversione tra gradi e radianti

Poiché il giro completo misura $360^\circ$ e anche $2\pi$ radianti, e poiché le due misure sono proporzionali alla lunghezza dell’arco su cui l’angolo insiste nella circonferenza goniometrica (quella in gradi per la definizione del grado, e quella in radianti perché è quella lunghezza), le due misure di un angolo sono proporzionali.

In pratica, per passare dai gradi ai radianti si moltiplica per $\frac{\pi}{180}$, e per passare dai radianti ai gradi, per $\frac{180}{\pi}$. Così, $225^\circ = \frac{5\pi}{4}$, $-60^\circ = -\frac{\pi}{3}$ e $\frac{7\pi}{6} = 210^\circ$; l’angolo di $2$ radianti misura $\frac{360}{\pi}$ gradi, circa 114,6 gradi.

Lunghezza d’arco e area di un settore

In una circonferenza di raggio $r$, un angolo al centro $\theta$ insiste su un arco, e i due lati dell’angolo, insieme a quell’arco, delimitano un settore circolare. La misura in radianti dà alle loro formule una forma particolarmente semplice.

Se l’angolo si misurasse in gradi, le formule porterebbero il fattore di conversione: l’arco sarebbe $\frac{\pi r g}{180}$ e l’area del settore $\frac{\pi r^2 g}{360}$. La semplicità di $s = r\theta$ è la ragione principale per preferire il radiante. Inoltre, la formula dà la misura di un angolo in qualsiasi circonferenza, non solo in quella goniometrica: $\theta = \frac{s}{r}$ è il quoziente tra l’arco e il raggio, e non dipende dal raggio scelto.

L’angolo alla circonferenza

Un angolo con il vertice nel centro di una circonferenza si chiama angolo al centro. Se $A$, $B$ e $C$ sono tre punti distinti di una circonferenza, l’angolo che formano in $C$ le corde $CA$ e $CB$ si chiama angolo alla circonferenza, e si dice che insiste sull’arco di estremi $A$ e $B$ che non contiene $C$. Per il teorema dimostrato sopra, a un arco di lunghezza $s$ di una circonferenza di raggio $r$ corrisponde l’angolo al centro di $\frac{s}{r}$ radianti, anche se quel numero supera $\pi$. Per confrontare l’angolo alla circonferenza con quello al centro si ammettono i fatti della geometria elementare che seguono, che questo corso non dimostra perché non sviluppa la geometria sintetica. I primi due misurano gli angoli di un triangolo; gli ultimi due sono fatti di posizione, che dicono come si ripartiscono gli angoli e gli archi quando una semiretta passa per l’interno di un angolo.

Fatto ammesso (angoli del triangolo e posizioni sulla circonferenza). Si ammettono le quattro affermazioni che seguono, nelle quali gli angoli non orientati si misurano in radianti, tra $0$ e $\pi$.

1. Somma degli angoli: i tre angoli di un triangolo hanno per somma un angolo piatto, cioè $\pi$ radianti.
2. Triangolo isoscele: in un triangolo con due lati uguali, gli angoli opposti a quei lati sono uguali.
3. Somma di angoli adiacenti: se una semiretta che parte dal vertice di un angolo passa per il suo interno, lo divide in due angoli le cui misure hanno per somma quella dell’angolo dato.
4. Posizione del centro: siano $A$, $B$ e $C$ tre punti distinti di una circonferenza di centro $O$, e sia $D$ l’altro estremo del diametro che parte da $C$. Se $O$ non sta né sulla corda $CA$ né sulla corda $CB$, accade una di due cose. O $O$ sta all’interno dell’angolo che formano in $C$ quelle corde, e allora la semiretta che va da $C$ a $D$ passa per quell’interno e $D$ sta sull’arco di estremi $A$ e $B$ che non contiene $C$. Oppure $O$ sta fuori da quell’angolo, e allora uno dei punti $A$ e $B$, che si può chiamare $A$, sta sull’arco di estremi $D$ e $B$ che non contiene $C$, e la semiretta che va da $C$ a $A$ passa per l’interno dell’angolo che formano in $C$ le corde $CD$ e $CB$.

I punti che non stanno sulla circonferenza vedono la corda sotto altri angoli. Il risultato che segue si ammette anch’esso dalla geometria elementare: si ottiene dal teorema dimostrato sopra e dalla proposizione 21 del libro I degli Elementi di Euclide, secondo la quale un punto interno a un triangolo vede uno dei suoi lati sotto un angolo maggiore di quello del vertice opposto; ma la sua dimostrazione richiede di sapere dove i segmenti che partono dal punto tagliano la circonferenza, una questione di posizione che questo corso non sviluppa. Sarà usato nell’ultimo problema risolto della lezione sulle funzioni trigonometriche inverse.

Fatto ammesso (angoli da punti interni ed esterni). Siano $A$ e $B$ due punti di una circonferenza, e $\gamma$ la misura comune degli angoli alla circonferenza con estremi $A$ e $B$ il cui vertice sta su uno dei due archi che questi punti determinano. Se $Q$ è un punto che non sta sulla circonferenza, situato dalla stessa banda della retta $AB$ di quell’arco, l’angolo che formano in $Q$ i segmenti $QA$ e $QB$ è minore di $\gamma$ se $Q$ è esterno al cerchio, e maggiore di $\gamma$ se è interno.

Posizione standard e angoli coterminali

Nel piano cartesiano, studiato nella lezione del corso I sull’equazione della retta e i sistemi cartesiani, ogni angolo ha una posizione privilegiata.

Un angolo orientato è in posizione standard se il suo vertice è l’origine e il suo lato iniziale è il semiasse $x$ positivo. Il suo lato terminale è allora la semiretta che parte dall’origine e passa per il punto $P(\theta)$ dell’assioma del percorso, cioè il punto della circonferenza goniometrica $x^2 + y^2 = 1$ a cui si arriva percorrendo, a partire da $(1, 0)$, un arco di lunghezza $\abs{\theta}$ nel verso indicato dal segno di $\theta$. Due angoli sono coterminali se, in posizione standard, hanno lo stesso lato terminale.

Gli assi dividono il piano in quattro quadranti, numerati in senso antiorario a partire da quello che contiene i punti di coordinate positive. Un angolo in posizione standard sta nel quadrante che contiene il suo lato terminale; se questo cade su un asse, l’angolo si dice quadrantale. Le coordinate del punto $P(\theta)$ sono il coseno e il seno di $\theta$, che si studieranno nella prossima lezione, quella sui rapporti trigonometrici.

Un giro completo, in qualsiasi verso, riporta il lato nella sua posizione, per la periodicità del percorso: l’angolo $\theta + 2\pi$ è coterminale con $\theta$, e così pure $\theta - 2\pi$, $\theta + 4\pi$ e, in generale, $\theta + 2k\pi$ con $k$ intero. Per sapere dove termina un angolo qualsiasi basta, quindi, scontare i giri completi, come si scontano i multipli del divisore nella lezione del corso I sulla divisibilità e la divisione con resto. Il teorema che segue è la versione reale di quella divisione: il divisore è $2\pi$, il quoziente è il numero di giri e il resto è l’angolo che rimane.

Il numero $\theta_0$ si chiama la riduzione di $\theta$ al primo giro. In gradi, lo stesso ragionamento, con $360$ al posto di $2\pi$, riduce qualsiasi angolo a uno compreso tra $0^\circ$ e $360^\circ$, quest’ultimo escluso: per esempio, $1000^\circ = 280^\circ + 2 \cdot 360^\circ$. Con la riduzione si riconoscono tutti gli angoli che terminano su uno stesso lato; prima occorre sapere che un giro non passa due volte per lo stesso punto, il che si deduce dall’assioma del percorso.

Ne segue che gli angoli coterminali con $\theta$ sono esattamente quelli della forma $\theta + 2k\pi$, con $k$ intero, e che il quadrante di un angolo è deciso dalla sua riduzione: sta nel primo quadrante se $0 < \theta_0 < \frac{\pi}{2}$, nel secondo se $\frac{\pi}{2} < \theta_0 < \pi$, nel terzo se $\pi < \theta_0 < \frac{3\pi}{2}$ e nel quarto se $\frac{3\pi}{2} < \theta_0 < 2\pi$; è quadrantale se $\theta_0$ è $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$ o $\frac{3\pi}{2}$. Così, $-\frac{23\pi}{6}$ sta nel primo quadrante, e $1000^\circ$, la cui riduzione è $280^\circ$, nel quarto.

Infine, ogni punto della circonferenza goniometrica è il punto $P(\theta)$ di qualche angolo: è la proprietà di ricoprimento dell’assioma del percorso, che dice che percorrendo la circonferenza a partire da $(1, 0)$ si passa per tutti i suoi punti. Se è così, per la riduzione al primo giro, la periodicità e il lemma degli angoli coterminali, ogni punto della circonferenza goniometrica è $P(\theta)$ per un unico $\theta$ in $\ico{0}{2\pi}$, e gli angoli che gli corrispondono sono esattamente quelli coterminali con quel $\theta$.

Velocità angolare e velocità lineare

Quando un corpo ruota attorno a un asse, tutti i suoi punti descrivono archi di circonferenza centrati sull’asse, e tutti ruotano dello stesso angolo nello stesso tempo. Se in un tempo $t$ il corpo ruota, a ritmo costante, di un angolo $\theta$, la sua velocità angolare è il quoziente $\omega = \frac{\theta}{t}$, che si misura in radianti al secondo; si esprime anche in giri al minuto, e poiché un giro è $2\pi$ radianti e un minuto $60$ secondi, un giro al minuto equivale a $\frac{\pi}{30}$ radianti al secondo.

Un punto situato a distanza $r$ dall’asse percorre, in quel tempo, un arco di lunghezza $s = r\theta$, per il teorema della lunghezza d’arco. La sua velocità lineare, quoziente tra la distanza percorsa e il tempo, è quindi il prodotto del raggio per la velocità angolare:

Ne segue che, in un corpo che ruota, la velocità angolare è la stessa per tutti i punti, mentre quella lineare cresce in proporzione alla distanza dall’asse: il bordo di un disco che ruota si muove più in fretta dei punti vicini al centro. Questa relazione, valida solo se gli angoli si misurano in radianti, è il punto di partenza dello studio del moto circolare nel corso di Fondamenti di Meccanica. Due ruote collegate da una cinghia o da una catena che non slitta, o che ingranano tra loro, hanno nel punto di contatto la stessa velocità lineare; pertanto $\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$, e la ruota minore gira più in fretta, come si vedrà nel problema risolto 3.

Problemi risolti

I problemi misurano la Terra a partire da un angolo, calcolano l’area di un segmento circolare, trasmettono una rotazione mediante una catena, cercano il settore di area massima con un perimetro dato e contano le sovrapposizioni delle lancette di un orologio. Ciascuno richiede un’idea propria, che conviene cercare prima di leggere la soluzione.

Eratostene espresse la distanza in stadi, il cui valore esatto è discusso; con la cifra adottata qui, il meridiano misura 40000 km, e non per caso: alla fine del XVIII secolo il metro fu definito come la decimilionesima parte del quarto di meridiano. D’altra parte, Alessandria non sta esattamente a nord di Siene, ma circa tre gradi più a ovest, sicché l’arco che le unisce non è del tutto un arco di meridiano.