Plano de estudos de Cálculo I

Propósito e público

Três problemas antigos conduziram ao cálculo: a velocidade de um móvel num instante, o coeficiente angular da tangente a uma curva e a área de uma figura curva. Nos três, a substituição direta produz $\frac{0}{0}$ ou uma soma sem sentido, e a resposta correta é o valor de que as aproximações se acercam. Este curso dá a essa ideia de acercar-se uma definição exata, o limite, e estuda com ela os dois primeiros problemas, que conduzem à derivada; o terceiro conduz à integral, matéria de Cálculo II: Cálculo Integral.

O seu propósito é fundar o cálculo diferencial das funções de uma variável real sobre a definição de limite e o axioma da completude, e deduzir deles, com demonstrações completas, o que a derivada permite saber da variação, da forma e dos extremos de uma função. Se isto é assim, o curso não é um repertório de regras de derivação, mas um edifício dedutivo: cada resultado que se emprega é enunciado e demonstrado, ou declarado expressamente admitido quando a sua demonstração pertence a outro curso, como ocorre com o teorema que garante a existência das funções definidas implicitamente ou com a rapidez com que converge o método de Newton-Raphson, que exigem instrumentos posteriores. As definições escrevem-se como enunciados quantificados, e as demonstrações com épsilon e delta ordenam-se para ser reutilizadas: três lemas da aula sobre a álgebra dos limites sustentam as regras dos limites, e a fatoração de Carathéodory, as regras de derivação.

Dirige-se a quem tenha concluído Álgebra e Geometria II, ou domine por outra via os seus conteúdos: estudantes do primeiro ano universitário de ciências, engenharia, economia ou licenciatura em matemática, estudantes dos últimos anos do ensino médio que se preparam para o ingresso na universidade, e quem queira reconstruir com rigor um cálculo que aprendeu como um conjunto de regras.

Conhecimentos prévios e pré-requisitos

O pré-requisito do curso é Álgebra e Geometria II, que supõe por sua vez Álgebra e Geometria I. Dos dois, o curso usa sobretudo o axioma da completude dos números reais, com o supremo e o ínfimo, e o cálculo com desigualdades e valores absolutos, que a aula sobre a reta real estabelece e sobre os quais repousam os teoremas de Bolzano, de Weierstrass e do valor médio; as funções, as suas inversas, as suas transformações e os seus quadros de sinais; as potências de expoente real, o número $e$ e a exponencial natural, o logaritmo e as funções hiperbólicas; a indução e o binômio de Newton; e, de Álgebra e Geometria II, as funções trigonométricas, as suas inversas, as fórmulas de adição e de transformação de somas em produtos, e a desigualdade $\sin x < x < \tan x$ para $0 < x < \frac{\pi}{2}$, da qual depende a derivada do seno.

Ora, muitos desses resultados foram admitidos ali sem demonstração porque exigiam o limite: a continuidade das funções racionais e das trigonométricas, as assíntotas e o teorema do valor intermediário. Este curso demonstra-os um por um. Quem tenha dúvidas sobre algum dos conhecimentos prévios pode voltar à síntese da unidade correspondente de Álgebra e Geometria; além disso, a avaliação de entrada de cada unidade inclui perguntas sobre o que a unidade dá por sabido, com a aula que convém revisar diante de cada erro.

O curso está pensado, por último, para ser seguido em paralelo com um curso de lógica de predicados, a Lógica Matemática II, prevista no site: as aulas escrevem as definições como enunciados quantificados e trabalham a sua negação sem depender desse curso. Quem queira adquirir antes o hábito da dedução formal pode estudar Lógica Matemática I: Lógica Proposicional.

Aonde conduz

Dois cursos têm este por pré-requisito. Cálculo II: Cálculo Integral definirá a integral como o limite de somas de áreas de retângulos, ligá-la-á à derivada mediante o teorema fundamental, cuja base é o corolário segundo o qual duas funções com a mesma derivada diferem por uma constante, e percorrerá ao contrário as regras de derivação: a substituição inverte a regra da cadeia, e a integração por partes, a regra do produto. Mecânica I: Fundamentos de Mecânica tomará a velocidade e a aceleração como a primeira e a segunda derivada da posição. Depois de Cálculo II, Cálculo III: Cálculo Multivariável levará o limite, a derivada e os extremos às funções de várias variáveis.

Daí se segue o que este curso deixa, por decisão expressa, aos posteriores. A Cálculo II, a continuidade uniforme, as primitivas, as sequências, que abrirão a integral definida e, no fim, as séries, e o polinômio de Taylor, que dará uma cota do erro da diferencial e demonstrará a convergência quadrática do método de Newton-Raphson. A Cálculo III, as curvas paramétricas e o teorema da função implícita, que a derivação implícita da unidade 2 supõe.

Os resultados do curso reaparecem também em cursos que não o exigem. Em Matemática Financeira, a capitalização contínua será um limite notável, e a taxa que iguala o valor presente de uma série de pagamentos a um montante dado será calculada com o método de Newton-Raphson. Em Análise de Dados com R, os modelos de crescimento distinguir-se-ão pelo seu comportamento no infinito, e a média de um conjunto de dados obter-se-á como o número que torna mínima uma soma de quadrados. Em Programação em C++ I, a bisseção confia no teorema do valor intermediário, o custo de um algoritmo mede-se com a notação do $\operatorname{O}$ grande, e a aritmética de ponto flutuante explica os erros de arredondamento com que um computador torna enganosa uma tabela de valores, como a da unidade 1.

Objetivos de aprendizagem globais

Os objetivos que se seguem descrevem o que quem conclua o curso deve ser capaz de fazer. Cada um é formulado como um desempenho observável, de modo que possa ser verificado com uma tarefa concreta; cada aula declara, por sua vez, os seus próprios objetivos, e a aula de encerramento mostra, aula por aula, a qual destes sete foi atribuída cada uma. Os objetivos são numerados para que possam ser citados nela.

1. Objetivo 1. Demonstrar os enunciados do cálculo diferencial mediante raciocínio dedutivo explícito: escrever as definições como enunciados quantificados e negá-los, construir argumentos com épsilon e delta que reutilizem os lemas já demonstrados, deduzir do axioma da completude os teoremas de existência, mostrar com contraexemplos que uma hipótese não pode ser suprimida, e distinguir em cada demonstração o deduzido do admitido.
2. Objetivo 2. Definir e calcular limites de funções de uma variável real, finitos, laterais, no infinito e infinitos, resolver as formas indeterminadas com a álgebra dos limites, o teorema do confronto, os limites notáveis, os infinitésimos equivalentes e a regra de L’Hôpital, e determinar com eles as assíntotas de uma função e a representação do seu gráfico.
3. Objetivo 3. Decidir a continuidade de uma função e classificar as suas descontinuidades, demonstrar a continuidade das funções elementares e das suas inversas, e aplicar os teoremas de Bolzano, do valor intermediário e de Weierstrass, que repousam no axioma da completude, para provar a existência de soluções e de valores extremos e para encontrar a imagem de um intervalo.
4. Objetivo 4. Definir a derivada como limite da razão incremental e caracterizá-la pela aproximação linear e pela fatoração de Carathéodory, demonstrar as regras de derivação, a regra da cadeia e a derivada da função inversa, e derivar com elas as funções elementares, as funções definidas implicitamente, as potências de expoente variável e as derivadas sucessivas, precisando o domínio de cada derivada.
5. Objetivo 5. Demonstrar e aplicar os teoremas de Fermat, de Rolle, do valor médio de Lagrange e do valor médio de Cauchy, deduzir deles os critérios de monotonia, de extremos locais e absolutos e de convexidade, e estudar com a primeira e a segunda derivada a forma do gráfico de uma função: crescimento, extremos, concavidade, inflexão e curvatura.
6. Objetivo 6. Aproximar valores de funções e raízes de equações com a diferencial, o método da bisseção e o de Newton-Raphson, dar uma cota do erro de cada aproximação com o teorema do valor médio, a monotonia ou a convexidade, e reconhecer quando um método falha ou converge com lentidão.
7. Objetivo 7. Modelar com a derivada situações da geometria, da física e das demais ciências, como taxas de variação, taxas relacionadas e problemas de otimização, fixando com precisão as variáveis, as suas unidades e o domínio, e comunicar por escrito as formulações, os cálculos e as demonstrações com notação correta, incluída a de Leibniz, argumentação completa e controle da plausibilidade dos resultados.

Os objetivos 2, 4 e 5 correspondem, no essencial, às três unidades de conteúdo: o 2 à unidade 1, que estuda os limites; o 4 à unidade 2, que estuda as derivadas; o 5 à unidade 3, que aplica os teoremas do valor médio. A regra de L’Hôpital, embora se demonstre na unidade 3 a partir do teorema do valor médio de Cauchy, serve sobretudo para calcular limites, e por isso pertence ao objetivo 2. Os objetivos 3 e 6 são fios que atravessam as três unidades. O objetivo 3 tem como principais a aula sobre o limite e a continuidade da unidade 1, a do teorema do valor intermediário da unidade 2 e a do teorema de Weierstrass da unidade 3; as duas últimas repousam na completude, que a unidade 1 já usa para os limites das funções monótonas. A aproximação aparece na parte principal de um infinitésimo, na bisseção, na diferencial e nas cotas que o teorema do valor médio fornece, e tem no método de Newton-Raphson a sua aula própria. O primeiro e o sétimo, em contrapartida, são transversais: não pertencem a uma unidade, mas exercitam-se em todas. Daí se segue que o seu alcance não pode ser atribuído a uma aula determinada, e que convém cultivá-los ao longo do curso inteiro. Ora, ambos têm também aulas que os servem de modo principal: o primeiro, as três sínteses, cujo núcleo reconstrói a cadeia dedutiva de cada unidade; o sétimo, as duas aulas em que a formulação é a própria matéria, a das taxas de variação e taxas relacionadas e a dos problemas de otimização.

Conteúdos

O curso organiza-se em cinco unidades. A primeira e a última enquadram o percurso; as três intermédias desenvolvem os conteúdos. Cada uma destas abre-se com uma aula de introdução, que apresenta as suas aulas, o contexto histórico das suas ideias, o problema que lhes deu origem e a sua relevância, e fecha-se com uma aula de síntese, que reconstrói a cadeia dedutiva da unidade, a liga ao resto do curso e a Álgebra e Geometria, e propõe dez desafios de dificuldade superior à dos problemas das aulas.

Unidade 0. Apresentação do curso

Consta desta aula, que fixa o propósito, os objetivos globais, os conteúdos, a dedicação e o desenho do curso.

Unidade 1. Limites e continuidade

O seu objetivo é definir o limite com épsilon e delta, demonstrar as suas regras e calculá-lo em todas as suas formas, finitas, laterais, no infinito e infinitas; definir com limites as assíntotas; definir a continuidade e demonstrá-la para as funções elementares, e comparar funções mediante os infinitésimos e os infinitamente grandes equivalentes.

1. Limites e continuidade: introdução.
2. Limite de funções de uma variável real.
3. Álgebra dos limites.
4. O teorema do confronto e os limites trigonométricos.
5. Limites laterais.
6. Limites quando a variável tende ao infinito.
7. Limites infinitos.
8. Assíntotas e técnicas de representação gráfica.
9. Limite e continuidade.
10. Continuidade das funções elementares e limites notáveis.
11. Infinitésimos e infinitamente grandes equivalentes.
12. Limites e continuidade: síntese e desafios.

Unidade 2. Derivadas

O seu objetivo é definir a derivada como limite e caracterizá-la pela aproximação linear e pela fatoração de Carathéodory; demonstrar as regras de derivação e a regra da cadeia; demonstrar o teorema do valor intermediário, do qual se deduz a continuidade da inversa que a sua derivada exige; derivar as funções elementares, as suas inversas, as funções definidas implicitamente e as potências de expoente variável, e aplicar as derivadas sucessivas, a diferencial e as taxas de variação.

1. Derivadas: introdução.
2. A derivada como limite de uma função.
3. Regras de derivação.
4. Derivadas das funções elementares.
5. Regra da cadeia para a derivada da composição de funções.
6. Teorema do valor intermediário.
7. Derivada da função inversa e derivação implícita.
8. A variável no expoente e a derivação logarítmica.
9. Derivadas sucessivas e diferencial.
10. Taxas de variação e taxas relacionadas.
11. Derivadas: síntese e desafios.

Unidade 3. Aplicações das derivadas

O seu objetivo é demonstrar, a partir do axioma da completude, os teoremas de Weierstrass, de Fermat, de Rolle, de Lagrange e de Cauchy, e deduzir deles a regra de L’Hôpital e os critérios de monotonia, de extremos e de convexidade; estudar a curvatura de um gráfico, resolver problemas de otimização e aproximar raízes com o método de Newton-Raphson.

1. Aplicações das derivadas: introdução.
2. Teorema de Weierstrass dos valores extremos.
3. Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy.
4. Regra de L’Hôpital.
5. Monotonia e teste da primeira derivada.
6. Máximos e mínimos de uma função.
7. Concavidade, convexidade e pontos de inflexão.
8. Curvatura e raio de curvatura.
9. Problemas de otimização.
10. O método de Newton-Raphson.
11. Aplicações das derivadas: síntese e desafios.

Unidade 4. Encerramento do curso

Consta da aula Balanço final de Cálculo I, que recorda os sete objetivos globais, mostra numa figura a qual deles foi atribuída cada aula do curso e que objetivos específicos alcançou cada unidade, e reúne por objetivo a primeira tentativa das avaliações de saída.

Dedicação e créditos

A dedicação de um curso não se mede pelas horas de exposição, que num curso assíncrono não existem, mas pelo trabalho total de quem o estuda: ler, acompanhar as demonstrações, resolver problemas e revisar. A estimativa segue o mesmo método em todos os cursos do site: conta o tempo de leitura do texto de cada aula a cem palavras por minuto, contando cada fórmula como uma palavra, vinte minutos por problema resolvido, trinta e cinco por problema proposto, quarenta e cinco por desafio e doze por avaliação de entrada ou de saída, e acrescenta uma margem de um décimo para a revisão.

Resultados

As aulas das unidades 1 a 3 contêm no total $140$ problemas resolvidos, $140$ problemas propostos e $30$ desafios, além de seis avaliações de unidade. A dedicação estimada por unidade, arredondada à hora, é a que se segue:

• Unidade 0, apresentação do curso: menos de $1$ hora.
• Unidade 1, limites e continuidade: $66$ horas.
• Unidade 2, derivadas: $61$ horas.
• Unidade 3, aplicações das derivadas: $63$ horas.
• Unidade 4, encerramento do curso: menos de $1$ hora.

As três unidades de conteúdo têm uma carga parecida: a unidade 1 reúne mais aulas, e a unidade 3, aulas mais extensas. O total é de cerca de $191$ horas de trabalho. Convém ler esta cifra como o que é: uma estimativa para quem estuda todas as demonstrações e resolve todos os problemas e desafios. Quem já tenha estudado cálculo, ou se limite aos problemas propostos sem abordar os desafios, empregará bastante menos; quem estude o tema pela primeira vez e sem o hábito de demonstrar pode precisar de mais, sobretudo na unidade 1, onde se aprende a raciocinar com épsilon e delta.

Ora, a cifra é nominal: é a que fixa os créditos do curso, e supõe uma leitura a ritmo constante e três quartos de hora por desafio. Enquanto não for medida com estudantes reais, convém acompanhá-la de uma faixa realista. Se a leitura avançasse à metade do ritmo suposto, como ocorre quando cada demonstração é reescrita com papel e lápis, e cada desafio exigisse setenta e cinco minutos em vez de quarenta e cinco, o mesmo método daria cerca de $231$ horas. Portanto, a dedicação esperável situa-se entre cerca de $191$ e cerca de $231$ horas. O extremo superior é uma cota prudente, não uma medição; a faixa será corrigida quando se conhecer o tempo que empregam os que estudam o curso, e até então os créditos são calculados com a cifra nominal.

Ritmo sugerido

Para nomear os ritmos, este plano usa o mesmo critério que os demais planos do site: a dedicação integral é a de um ano acadêmico de $60$ créditos, cerca de $1650$ horas repartidas em cerca de quarenta semanas, isto é, cerca de $40$ horas semanais, e a dedicação parcial é a metade, cerca de $20$ horas semanais. Daí se segue um ritmo recomendado de um semestre de dezesseis semanas, com cerca de $12$ horas semanais de estudo, menos de um terço da dedicação integral; com a faixa realista, de $12$ a $14$ horas semanais, continua abaixo da dedicação parcial. Assim, Cálculo I pode ocupar o semestre que vem depois de Álgebra e Geometria II, e Cálculo II, o que vem a seguir.

Um ritmo intensivo, de cerca de $24$ horas semanais, pouco mais que a dedicação parcial, conclui o curso em oito semanas, o que equivale à dedicação de quem não estuda nenhum outro curso exigente no mesmo período. Um ritmo mais folgado, de cerca de $6$ horas semanais, leva-o a dois semestres, que podem repartir-se assim: as unidades 0 a 2, os limites, a continuidade e as derivadas, ocupam cerca de $128$ horas, e as unidades 3 e 4, as aplicações das derivadas e o encerramento, cerca de $63$.

Créditos

Os créditos deste site medem a dedicação total que um curso exige de quem o estuda (a leitura, os problemas, os desafios e a revisão), e não as horas de aula. Um crédito equivale a cerca de $27{,}5$ horas de trabalho, e um ano de dedicação integral, a $60$ créditos, isto é, a cerca de $1650$ horas; é o mesmo critério com que mais acima se nomeiam os ritmos de estudo.

Ora, dividindo as $191$ horas estimadas por $27{,}5$, obtém-se 6,95, que se arredonda para $7$. Admitindo-se para o crédito uma faixa de $25$ a $30$ horas de trabalho, o número $C$ de créditos do curso fica compreendido entre 6,4 e 7,6:

Portanto, o curso tem $7$ créditos, pouco menos de um oitavo de um ano de dedicação integral. Quem deseje estudar apenas uma porção do curso pode usar a lista de horas por unidade: as unidades 0 a 2, por exemplo, somam cerca de $128$ horas, isto é, cerca de $5$ créditos.

A sua utilidade é prática: permitem comparar entre si a carga dos cursos do site e decidir quantos convém estudar ao mesmo tempo sem ultrapassar o tempo disponível. Quem dispuser, por exemplo, de dedicação parcial durante um semestre de dezesseis semanas, isto é, de cerca de $320$ horas, pode abordar cursos que somem cerca de $12$ créditos; com a dedicação integral do mesmo semestre, cerca de $23$.

Estes créditos são uma medida própria do site para planejar o estudo: não correspondem a nenhum sistema oficial de créditos nem implicam o reconhecimento acadêmico de nenhuma instituição.

Desenho do curso

Modalidade

O curso é assíncrono, on-line e de ritmo autônomo: não tem datas, sessões ao vivo nem prazos, e cada estudante avança à velocidade que lhe permitem a sua preparação e o seu tempo. É oferecido nos catorze idiomas do site, com a mesma matemática em todos: as fórmulas e os passos das demonstrações são idênticos em cada versão, e só se traduz o texto. Cada aula declara que aula convém ter estudado antes, e as primeiras remetem a Álgebra e Geometria, de modo que a ordem recomendada é explícita e pode ser verificada.

A estrutura de uma aula

Todas as aulas temáticas seguem a mesma estrutura. Começam com um resumo e com uma lista de objetivos de aprendizagem próprios, formulados como desempenhos observáveis. Seguem-se a teoria, com as definições, os teoremas enunciados com precisão e as suas demonstrações, e os exemplos. As demonstrações e os exemplos apresentam-se como reprodutores passo a passo: cada passo escreve uma linha do raciocínio, ilumina os termos que intervêm e, quando se apoia num resultado precedente, volta a ele e o ilumina enquanto se lê, de modo que a memória do raciocínio fique à vista; muitos são acompanhados de uma figura que muda a cada passo. Fecham a aula cinco problemas resolvidos, com a sua solução passo a passo, e cinco problemas propostos, cada um com uma dica recolhida e, depois, a resposta final, para que o estudante verifique o seu resultado sem que se lhe revele o caminho; alguns propostos, sobretudo os de demonstração, acrescentam, recolhida depois da resposta, uma solução desenvolvida, que convém abrir só depois de ter redigido a própria.

As aulas de introdução e de síntese têm uma estrutura própria. A introdução apresenta a unidade, a sua história, o problema que lhe deu origem e a sua relevância; a síntese reconstrói numa figura a cadeia dedutiva da unidade, com os resultados que reutiliza e os elos que demonstra, a liga às unidades precedentes e a Álgebra e Geometria, e propõe dez desafios, cada um com dica, resposta final e uma solução desenvolvida recolhida, que combinam várias aulas e exigem mais invenção que os problemas propostos.

O leitor de voz

Cada aula pode ser escutada em voz alta com o leitor do site, que usa as vozes do próprio dispositivo: o texto é lido tal como está escrito e as fórmulas são pronunciadas em palavras. Isto permite revisar uma aula longe da tela, acompanhar uma demonstração escutando-a enquanto se olha o reprodutor passo a passo, e estudar com limitações visuais.

Avaliação

O curso não atribui notas nem certifica: a sua avaliação no site é formativa. Os problemas propostos permitem verificar o alcance dos objetivos de cada aula, e os desafios, o dos objetivos de cada unidade. Cada uma das três unidades de conteúdo tem, além disso, uma avaliação de entrada na sua introdução e uma de saída na sua síntese, antes dos desafios: autoavaliações breves, corrigidas no navegador sem atribuição de notas. A de entrada tem nove ou dez perguntas sobre a unidade, mais cinco ou seis sobre o que a unidade dá por sabido das precedentes ou de Álgebra e Geometria, e a de saída, onze ou doze; ambas indicam que aula revisar diante de cada erro e comparam-se entre si para mostrar o progresso. O balanço final reúne a primeira tentativa de cada avaliação de saída num perfil por objetivo global, que se guarda, como elas, apenas no navegador do estudante. A validação das habilidades, com valor de certificação, será feita mais adiante e fora deste site, noutra plataforma.

Para os objetivos globais sugerem-se, além disso, as evidências de alcance que se seguem, que cada estudante pode produzir por si mesmo:

• Objetivo 1: redigir, sem consultar a aula, a demonstração de um teorema do curso, como a regra da cadeia com a fatoração de Carathéodory ou o teorema do valor médio de Lagrange, e mostrar com um contraexemplo que nenhuma das suas hipóteses sobra.
• Objetivo 2: calcular um limite indeterminado por dois caminhos, com os infinitésimos equivalentes e com a regra de L’Hôpital, e encontrar todas as assíntotas de uma função.
• Objetivo 3: demonstrar que uma equação tem exatamente uma solução num intervalo, com o teorema de Bolzano e a monotonia, e encontrar a imagem de um intervalo fechado e limitado por uma função contínua.
• Objetivo 4: derivar uma potência de base e expoente variáveis e uma função definida implicitamente, precisando onde existe cada derivada.
• Objetivo 5: estudar a monotonia, os extremos, a convexidade e os pontos de inflexão de uma função, e traçar com eles o seu gráfico.
• Objetivo 6: aproximar com o método de Newton-Raphson uma raiz de uma equação que não se resolve explicitamente, escolher o ponto de partida e dar uma cota do erro da aproximação obtida.
• Objetivo 7: escrever a solução completa de um problema de otimização ou de taxas relacionadas, com formulação, domínio, desenvolvimento, justificação do extremo, resposta e controle de plausibilidade, de modo que outra pessoa possa acompanhá-la sem explicações adicionais.

Como estudar este curso

O curso está pensado para ser estudado em ordem. Cada unidade supõe as precedentes e os dois cursos de Álgebra e Geometria, e muitas demonstrações citam resultados de aulas prévias; saltar uma aula obriga, mais cedo ou mais tarde, a voltar a ela. Isto vale sobretudo para a unidade 1: as definições com épsilon e delta e os lemas das suas primeiras aulas sustentam todas as demonstrações posteriores.

Cada unidade tem dois pontos de controle. A avaliação de entrada, no início da introdução, é o ponto de partida: convém respondê-la antes de estudar a unidade, sem consultar nada, e anotar as aulas a que remetem os erros, que são as que pedem mais cuidado. A avaliação de saída, na síntese e antes dos desafios, é o contraste: responde-se ao terminar as aulas, também sem consultar, e compara-se com a de entrada para ver o que mudou e que aulas convém revisar. Em ambas conta a primeira tentativa, que é a que se compara e a que reúne o perfil do balanço final; as demais já se fazem com a retroalimentação vista. Os desafios completam a verificação, porque exigem combinar e redigir o que as perguntas breves só tocam. Daí se segue que quem crê dominar já uma unidade não deve decidi-lo por uma só prova: se a sua avaliação de saída é sólida e resolve os desafios da síntese, pode passar à unidade posterior; se não, convém percorrer as aulas que uma e outros assinalem.

Em cada aula, convém ler primeiro o resumo e os objetivos, que dizem o que se busca; estudar depois a teoria com papel e lápis, tentando antecipar cada passo das demonstrações antes que o reprodutor o escreva; tentar os problemas resolvidos antes de olhar a sua solução, e resolver os propostos sem ajuda, abrindo a dica só quando a tentativa se tiver esgotado, e a resposta só no final, para verificar. Um problema cuja resposta se consultou antes de tentá-lo não foi resolvido, mas lido. Num curso de cálculo, além disso, convém desconfiar das tabelas de valores e dos gráficos traçados por uma calculadora: sugerem um limite ou um extremo, mas não o demonstram, e a unidade 1 mostra tabelas que enganam.

Os desafios são mais difíceis que os problemas das aulas, e é normal que alguns requeiram várias tentativas em dias distintos. Não convém deter-se indefinidamente num: anotá-lo, continuar avançando e voltar a ele mais tarde é, com frequência, o caminho mais curto. Ora, a dedicação estimada supõe que todos se tentam com seriedade, e nesse esforço joga-se boa parte do que o curso pode ensinar.

Por último, convém escrever. Redigir uma demonstração ou uma solução completa, com as suas premissas e as suas conclusões, é a única maneira de saber se se compreendeu, e é também o sétimo dos objetivos do curso. Um caderno de estudo, no qual se reescrevam com palavras próprias as definições e os teoremas de cada unidade, é o melhor material de revisão que o curso pode deixar, e sê-lo-á ainda mais em Cálculo II, que voltará a quase tudo o que aqui se demonstra.