Учебный план курса «Математический анализ I»

Цель и для кого курс

К математическому анализу привели три старые задачи: скорость движущегося тела в данный момент, наклон касательной к кривой и площадь криволинейной фигуры. Во всех трёх непосредственная подстановка даёт $\frac{0}{0}$ или сумму, лишённую смысла, а правильным ответом служит то, к чему приближаются приближённые значения. Этот курс даёт идее приближения точное определение, предел, и изучает с его помощью первые две задачи, которые ведут к производной; третья ведёт к интегралу, предмету курса «Математический анализ II: интегральное исчисление».

Его цель состоит в том, чтобы построить дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной на определении предела и аксиоме полноты и вывести из них, с полными доказательствами, то, что производная позволяет узнать об изменении, о форме и об экстремумах функции. Если это так, курс представляет собой не набор правил дифференцирования, а дедуктивное здание: каждый используемый результат формулируется и доказывается или явно объявляется принятым, когда его доказательство принадлежит другому курсу, как в случае теоремы, гарантирующей существование неявно заданных функций, или скорости, с которой сходится метод Ньютона-Рафсона: они требуют средств, изучаемых позднее. Определения записываются как утверждения с кванторами, а доказательства на языке эпсилон и дельта выстраиваются так, чтобы их можно было использовать повторно: три леммы урока об арифметических свойствах пределов служат опорой для правил вычисления пределов, а разложение Каратеодори служит опорой для правил дифференцирования.

Курс адресован тому, кто завершил курс «Алгебра и геометрия II» или владеет его содержанием иным путём: студентам первого курса университета, изучающим естественные науки, инженерное дело, экономику или педагогику математики, учащимся последних классов школы, которые готовятся к поступлению в университет, и всякому, кто хочет строго восстановить математический анализ, усвоенный когда-то как набор правил.

Предварительные знания и требования

Пререквизитом курса служит курс «Алгебра и геометрия II», который, в свою очередь, предполагает курс «Алгебра и геометрия I». Из этих двух курсов используются прежде всего аксиома полноты действительных чисел, с точной верхней и точной нижней гранями, и действия с неравенствами и модулями, которые устанавливает урок о числовой прямой и на которые опираются теоремы Больцано, Вейерштрасса и о среднем значении; функции, обратные к ним, их преобразования и таблицы знаков; степени с действительным показателем, число $e$ и натуральная экспонента, логарифм и гиперболические функции; индукция и бином Ньютона; а из курса «Алгебра и геометрия II» тригонометрические функции, обратные к ним, формулы сложения и преобразования сумм в произведения и неравенство $\sin x < x < \tan x$ при $0 < x < \frac{\pi}{2}$, от которого зависит производная синуса.

Вместе с тем многие из этих результатов были приняты там без доказательства, потому что требовали предела: непрерывность рациональных и тригонометрических функций, асимптоты и теорема о промежуточном значении. Этот курс доказывает их один за другим. Тот, кто сомневается в каком-либо из предварительных знаний, может вернуться к обобщению соответствующего раздела курсов алгебры и геометрии; кроме того, входная проверка каждого раздела включает вопросы о том, что раздел считает известным, с указанием урока, который стоит повторить при каждой ошибке.

Наконец, курс задуман так, чтобы его можно было изучать параллельно с курсом логики предикатов, «Математической логикой II», которая предусмотрена на сайте: уроки записывают определения как утверждения с кванторами и работают с их отрицанием, не завися от этого курса. Тот, кто хочет заранее приобрести навык формального вывода, может изучить курс «Математическая логика I: логика высказываний».

Куда ведёт курс

Для двух курсов этот курс служит пререквизитом. Курс «Математический анализ II: интегральное исчисление» определит интеграл как предел сумм площадей прямоугольников, свяжет его с производной посредством основной теоремы, опорой которой служит следствие, согласно которому две функции с одной и той же производной отличаются на постоянную, и пройдёт правила дифференцирования в обратную сторону: замена переменной обращает правило дифференцирования сложной функции, а интегрирование по частям обращает правило дифференцирования произведения. Курс «Механика I: основы механики» примет скорость и ускорение за первую и вторую производные координаты. После курса «Математический анализ II» курс «Математический анализ III: функции нескольких переменных» перенесёт предел, производную и экстремумы на функции нескольких переменных.

Отсюда следует, что этот курс по прямому решению оставляет курсам, идущим за ним. Курсу «Математический анализ II» он оставляет равномерную непрерывность, первообразные, последовательности, которые откроют путь к определённому интегралу, а в конце к рядам, и многочлен Тейлора, который даст оценку погрешности дифференциала и докажет квадратичную сходимость метода Ньютона-Рафсона. Курсу «Математический анализ III» он оставляет параметрически заданные кривые и теорему о неявной функции, которую предполагает дифференцирование неявной функции в разделе 2.

Результаты курса появляются и в курсах, которые его не требуют. В курсе «Финансовая математика» непрерывное начисление процентов окажется замечательным пределом, а ставка, при которой приведённая стоимость серии платежей равна заданной сумме, будет вычисляться методом Ньютона-Рафсона. В курсе «Анализ данных на R» модели роста будут различаться по своему поведению на бесконечности, а среднее значение данных будет получено как число, при котором сумма квадратов минимальна. В курсе «Программирование на C++ I» метод деления отрезка пополам опирается на теорему о промежуточном значении, стоимость алгоритма измеряется в обозначениях «$\operatorname{O}$ большое», а арифметика с плавающей запятой объясняет ошибки округления, которыми компьютер обманывает таблицу значений, подобную таблице из раздела 1.

Общие учебные цели

Перечисленные ниже цели описывают то, что должен уметь тот, кто завершил курс. Каждая сформулирована как наблюдаемое действие, так что её можно проверить конкретным заданием; каждый урок, в свою очередь, объявляет собственные цели, а урок завершения показывает, урок за уроком, к какой из этих семи целей был отнесён каждый урок. Цели пронумерованы, чтобы на них можно было ссылаться в этом уроке.

1. Цель 1. Доказывать утверждения дифференциального исчисления посредством явного дедуктивного рассуждения: записывать определения как утверждения с кванторами и строить их отрицания, строить рассуждения на языке эпсилон и дельта, повторно используя уже доказанные леммы, выводить теоремы существования из аксиомы полноты, показывать контрпримерами, что условие нельзя отбросить, и различать в каждом доказательстве выведенное и принятое.
2. Цель 2. Определять и вычислять пределы функций одной действительной переменной, конечные, односторонние, на бесконечности и бесконечные, раскрывать неопределённости с помощью арифметических свойств пределов, теоремы о двух милиционерах, замечательных пределов, эквивалентных бесконечно малых и правила Лопиталя, и находить с их помощью асимптоты функции и строить её график.
3. Цель 3. Решать вопрос о непрерывности функции и классифицировать её точки разрыва, доказывать непрерывность элементарных функций и обратных к ним и применять теоремы Больцано, о промежуточном значении и Вейерштрасса, которые опираются на аксиому полноты, чтобы доказывать существование решений и наибольших и наименьших значений и находить образ промежутка.
4. Цель 4. Определять производную как предел разностного отношения и характеризовать её через линейное приближение и через разложение Каратеодори, доказывать правила дифференцирования, правило дифференцирования сложной функции и теорему о производной обратной функции и дифференцировать с их помощью элементарные функции, неявно заданные функции, показательно-степенные функции и находить производные высших порядков, уточняя область определения каждой производной.
5. Цель 5. Доказывать и применять теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа о среднем значении и Коши о среднем значении, выводить из них признаки монотонности, экстремумов и наибольших и наименьших значений и выпуклости и исследовать с помощью первой и второй производных форму графика функции: возрастание, экстремумы, выпуклость, перегиб и кривизну.
6. Цель 6. Вычислять приближённо значения функций и корни уравнений с помощью дифференциала, метода деления отрезка пополам и метода Ньютона-Рафсона, оценивать погрешность каждого приближения с помощью теоремы о среднем значении, монотонности или выпуклости и распознавать, когда метод не срабатывает или сходится медленно.
7. Цель 7. Моделировать с помощью производной ситуации из геометрии, физики и других наук, такие как скорости изменения, связанные скорости изменения и задачи оптимизации, точно фиксируя переменные, их единицы измерения и область определения, и излагать письменно постановки, вычисления и доказательства с правильными обозначениями, в том числе обозначениями Лейбница, с полной аргументацией и контролем правдоподобия результатов.

Цели 2, 4 и 5 соответствуют в основном трём содержательным разделам: цель 2 разделу 1, который изучает пределы; цель 4 разделу 2, который изучает производные; цель 5 разделу 3, который применяет теоремы о среднем значении. Правило Лопиталя, хотя оно доказывается в разделе 3 исходя из теоремы Коши о среднем значении, служит прежде всего для вычисления пределов, и поэтому относится к цели 2. Цели 3 и 6 являются нитями, которые проходят через все три раздела. У цели 3 главные уроки таковы: урок о пределе и непрерывности в разделе 1, урок о теореме о промежуточном значении в разделе 2 и урок о теореме Вейерштрасса в разделе 3; два последних опираются на полноту, которую раздел 1 использует уже для пределов монотонных функций. Приближение появляется в главной части бесконечно малой, в методе деления отрезка пополам, в дифференциале и в оценках, которые даёт теорема о среднем значении, а собственный урок у него посвящён методу Ньютона-Рафсона. Первая и седьмая цели, напротив, сквозные: они не принадлежат какому-либо одному разделу, а отрабатываются во всех. Отсюда следует, что их достижение нельзя приписать определённому уроку и что их стоит развивать на протяжении всего курса. Вместе с тем у обеих есть и уроки, которые служат им главным образом: у первой это три обобщения, чьё центральное звено восстанавливает дедуктивную цепь каждого раздела; у седьмой это два урока, в которых постановка задачи и есть сам предмет, урок о скоростях изменения и связанных скоростях и урок о задачах оптимизации.

Содержание

Курс состоит из пяти разделов. Первый и последний обрамляют весь путь; три промежуточных развивают содержание. Каждый из них открывается вводным уроком, который представляет его уроки, историческую предысторию его идей, задачу, из которой они родились, и их значение, и закрывается уроком обобщения, который восстанавливает дедуктивную цепь раздела, связывает её с остальным курсом и с курсами алгебры и геометрии и предлагает десять задач повышенной трудности, превосходящих по сложности задачи уроков.

Раздел 0. Знакомство с курсом

Он состоит из этого урока, который устанавливает цель, общие цели, содержание, трудоёмкость и устройство курса.

Раздел 1. Пределы и непрерывность

Его цель состоит в том, чтобы определить предел на языке эпсилон и дельта, доказать его свойства и вычислять его во всех его видах, конечный, односторонний, на бесконечности и бесконечный; определить с помощью пределов асимптоты; определить непрерывность и доказать её для элементарных функций, а также сравнивать функции с помощью эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших.

1. Пределы и непрерывность: введение.
2. Предел функции одной действительной переменной.
3. Арифметические свойства пределов.
4. Теорема о двух милиционерах и тригонометрические пределы.
5. Односторонние пределы.
6. Пределы при стремлении переменной к бесконечности.
7. Бесконечные пределы.
8. Асимптоты и методы построения графиков.
9. Предел и непрерывность.
10. Непрерывность элементарных функций и замечательные пределы.
11. Эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие.
12. Пределы и непрерывность: итоги и задачи повышенной трудности.

Раздел 2. Производные

Его цель состоит в том, чтобы определить производную как предел и охарактеризовать её через линейное приближение и через разложение Каратеодори; доказать правила дифференцирования и правило дифференцирования сложной функции; доказать теорему о промежуточном значении, из которой выводится непрерывность обратной функции, необходимая для её производной; дифференцировать элементарные функции, обратные к ним, неявно заданные функции и показательно-степенные функции и применять производные высших порядков, дифференциал и скорости изменения.

1. Производные: введение.
2. Производная как предел функции.
3. Правила дифференцирования.
4. Производные элементарных функций.
5. Правило дифференцирования сложной функции.
6. Теорема о промежуточном значении.
7. Производная обратной функции и дифференцирование неявной функции.
8. Переменная в показателе и логарифмическое дифференцирование.
9. Производные высших порядков и дифференциал.
10. Скорость изменения и связанные скорости.
11. Производные: итоги и задачи повышенной трудности.

Раздел 3. Приложения производной

Его цель состоит в том, чтобы доказать, исходя из аксиомы полноты, теоремы Вейерштрасса, Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши и вывести из них правило Лопиталя и признаки монотонности, экстремумов и выпуклости; изучить кривизну графика, решать задачи оптимизации и находить приближённо корни методом Ньютона-Рафсона.

1. Приложения производной: введение.
2. Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях.
3. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.
4. Правило Лопиталя.
5. Монотонность и признак экстремума по первой производной.
6. Максимумы и минимумы функции.
7. Выпуклость вверх и вниз, точки перегиба.
8. Кривизна и радиус кривизны.
9. Задачи оптимизации.
10. Метод Ньютона-Рафсона.
11. Приложения производной: итоги и задачи повышенной трудности.

Раздел 4. Завершение курса

Он состоит из урока Итоговый обзор курса «Математический анализ I», который напоминает семь общих целей, показывает на рисунке, к какой из них был отнесён каждый урок курса и каких конкретных целей достиг каждый раздел, и сводит по целям первую попытку итоговых проверок.

Трудоёмкость и кредиты

Трудоёмкость курса измеряется не часами изложения, которых в асинхронном курсе нет, а всей работой того, кто его изучает: чтением, разбором доказательств, решением задач и повторением. Оценка следует одному и тому же методу во всех курсах сайта: она учитывает время чтения текста каждого урока из расчёта сто слов в минуту, считая каждую формулу одним словом, двадцать минут на решённую задачу, тридцать пять на предложенную задачу, сорок пять на задачу повышенной трудности и двенадцать на входную или итоговую проверку и добавляет запас в одну десятую на повторение.

Результаты

Уроки разделов с 1 по 3 содержат в совокупности $140$ решённых задач, $140$ предложенных задач и $30$ задач повышенной трудности, а также шесть проверок разделов. Оценочная трудоёмкость по разделам, округлённая до часа, такова:

• Раздел 0, знакомство с курсом: меньше $1$ часа.
• Раздел 1, пределы и непрерывность: $66$ часов.
• Раздел 2, производные: $61$ час.
• Раздел 3, приложения производной: $63$ часа.
• Раздел 4, завершение курса: меньше $1$ часа.

Три содержательных раздела имеют сходную нагрузку: в разделе 1 больше уроков, а в разделе 3 уроки объёмнее. Всего получается около $191$ часа работы. Эту цифру стоит понимать как то, что она есть: оценку для того, кто изучает все доказательства и решает все задачи, включая задачи повышенной трудности. Тот, кто уже изучал математический анализ или ограничивается предложенными задачами, не берясь за задачи повышенной трудности, потратит заметно меньше; тот, кто изучает тему впервые и без привычки доказывать, может потратить больше, особенно в разделе 1, где учатся рассуждать на языке эпсилон и дельта.

Однако эта цифра номинальна: именно она определяет кредиты курса, и она предполагает чтение в постоянном темпе и три четверти часа на каждую задачу повышенной трудности. Пока она не измерена на реальных студентах, её стоит сопровождать реалистичным диапазоном. Если бы чтение шло вдвое медленнее предполагаемого темпа, как бывает, когда каждое доказательство переписывается на бумаге карандашом, и каждая задача повышенной трудности требовала семидесяти пяти минут вместо сорока пяти, тот же метод дал бы около $231$ часа. Следовательно, ожидаемая трудоёмкость лежит в пределах примерно от $191$ до $231$ часа. Верхняя граница является осторожной оценкой сверху, а не измерением; диапазон будет уточнён, когда станет известно время, которое тратят изучающие курс, а до тех пор кредиты вычисляются по номинальной цифре.

Рекомендуемый темп

Чтобы назвать темпы, этот план использует тот же критерий, что и остальные планы сайта: полная занятость соответствует учебному году в $60$ кредитов, около $1650$ часов, распределённых примерно на сорок недель, то есть около $40$ часов в неделю, а неполная занятость составляет половину, около $20$ часов в неделю. Отсюда следует рекомендуемый темп в один семестр из шестнадцати недель, примерно по $12$ часов занятий в неделю, меньше трети полной занятости; с учётом реалистичного диапазона, от $12$ до $14$ часов в неделю, он остаётся ниже неполной занятости. Таким образом, курс «Математический анализ I» может занять семестр, следующий за курсом «Алгебра и геометрия II», а курс «Математический анализ II» тот, что идёт после него.

Интенсивный темп, примерно по $24$ часа в неделю, немногим больше неполной занятости, позволяет пройти курс за восемь недель, что соответствует нагрузке того, кто не изучает в тот же период никакого другого трудного курса. Более свободный темп, примерно по $6$ часов в неделю, растягивает его на два семестра, которые можно распределить так: разделы с 0 по 2, пределы, непрерывность и производные, занимают около $128$ часов, а разделы 3 и 4, приложения производной и завершение, около $63$ часов.

Кредиты

Кредиты этого сайта измеряют всю работу, которой курс требует от того, кто его изучает (чтение, задачи, в том числе повышенной трудности, и повторение), а не часы занятий. Один кредит соответствует примерно $27{,}5$ часа работы, а год при полной занятости равен $60$ кредитам, то есть примерно $1650$ часам; это тот же критерий, по которому предыдущий пункт называет темпы занятий.

Однако если разделить $191$ оценочный час на $27{,}5$, получается 6,95, что округляется до $7$. Если допустить для кредита диапазон от $25$ до $30$ часов работы, то число $C$ кредитов курса ограничено пределами от 6,4 до 7,6:

Следовательно, курс имеет $7$ кредитов, немногим меньше восьмой доли учебного года полной занятости. Тот, кто хочет изучить лишь часть курса, может воспользоваться списком часов по разделам: разделы с 0 по 2, например, в сумме дают около $128$ часов, то есть около $5$ кредитов.

Их польза практическая: они позволяют сравнивать между собой нагрузку курсов сайта и решать, сколько из них стоит изучать одновременно, не превышая доступного времени. Например, при неполной занятости в течение семестра из шестнадцати недель, то есть примерно за $320$ часов, можно взяться за курсы, которые в сумме составляют около $12$ кредитов; при полной занятости в тот же семестр, около $23$.

Эти кредиты являются собственной мерой сайта для планирования учёбы: они не соответствуют никакой официальной системе кредитов и не означают академического признания со стороны какого-либо учреждения.

Устройство курса

Форма обучения

Курс является асинхронным, дистанционным и проходится в собственном темпе: у него нет дат, занятий в прямом эфире и сроков, и каждый студент продвигается со скоростью, которую позволяют его подготовка и его время. Он предлагается на четырнадцати языках сайта, с одной и той же математикой во всех: формулы и шаги доказательств одинаковы в каждой версии, а переводится только текст. Каждый урок указывает, какой урок стоит изучить прежде, а первые уроки отсылают к курсам алгебры и геометрии, так что рекомендуемый порядок задан явно и может быть проверен.

Устройство урока

Все тематические уроки построены одинаково. Они начинаются с краткого содержания и списка собственных учебных целей, сформулированных как наблюдаемые действия. Затем идёт теория, с определениями, точно сформулированными теоремами и их доказательствами, и примеры. Доказательства и примеры подаются как проигрыватели шагов: каждый шаг записывает строку рассуждения, подсвечивает задействованные в нём члены и, когда опирается на ранее полученный результат, возвращается к нему и подсвечивает его, пока он читается, так что память рассуждения остаётся перед глазами; многие сопровождаются рисунком, который меняется с каждым шагом. Завершают урок пять решённых задач с пошаговым решением и пять предложенных задач, каждая со свёрнутой подсказкой и затем окончательным ответом, чтобы студент мог проверить свой результат, не узнавая пути решения; некоторые предложенные задачи, прежде всего задачи на доказательство, добавляют, в свёрнутом виде после ответа, подробное решение, которое стоит открывать только после того, как написано собственное.

Вводные уроки и уроки обобщения устроены по-своему. Введение представляет раздел, его историю, задачу, из которой он родился, и его значение; обобщение восстанавливает на рисунке дедуктивную цепь раздела, с результатами, которые оно использует повторно, и звеньями, которые оно доказывает, связывает её с предшествующими разделами и с курсами алгебры и геометрии и предлагает десять задач повышенной трудности, каждая с подсказкой, окончательным ответом и свёрнутым подробным решением, которые сочетают несколько уроков и требуют больше изобретательности, чем предложенные задачи.

Озвучивание текста

Каждый урок можно прослушать вслух с помощью озвучивания на сайте, которое использует голоса самого устройства: текст читается так, как написан, а формулы произносятся словами. Это позволяет повторять урок вдали от экрана, следить за доказательством на слух, глядя на проигрыватель шагов, и заниматься при нарушениях зрения.

Проверка

Курс не выставляет отметок и не выдаёт сертификата: проверка усвоенного на сайте носит формирующий характер. Предложенные задачи позволяют проверить достижение целей каждого урока, а задачи повышенной трудности позволяют проверить достижение целей каждого раздела. Кроме того, у каждого из трёх содержательных разделов есть входная проверка во введении и итоговая проверка в обобщении, перед задачами повышенной трудности: это короткие самопроверки, которые проверяются в браузере без выставления отметок. Входная содержит девять или десять вопросов о разделе и ещё пять или шесть о том, что раздел считает известным из предшествующих разделов или из курсов алгебры и геометрии, а итоговая содержит одиннадцать или двенадцать; обе указывают, какой урок повторить при каждой ошибке, и сравниваются между собой, чтобы показать продвижение. Итоговый обзор сводит первую попытку каждой итоговой проверки в профиль по общим целям, который, как и они, хранится только в браузере студента. Подтверждение умений, имеющее силу сертификата, будет проводиться позднее и вне этого сайта, на другой платформе.

Для общих целей предлагаются, кроме того, такие свидетельства достижения, которые каждый студент может получить самостоятельно:

• Цель 1: написать, не заглядывая в урок, доказательство какой-либо теоремы курса, например правила дифференцирования сложной функции с помощью разложения Каратеодори или теоремы Лагранжа о среднем значении, и показать контрпримером, что ни одно из её условий не лишнее.
• Цель 2: вычислить неопределённый предел двумя способами, с помощью эквивалентных бесконечно малых и с помощью правила Лопиталя, и найти все асимптоты функции.
• Цель 3: доказать, что уравнение имеет ровно одно решение на промежутке, с помощью теоремы Больцано и монотонности, и найти образ отрезка при непрерывной функции.
• Цель 4: продифференцировать показательно-степенную функцию и неявно заданную функцию, уточняя, где существует каждая производная.
• Цель 5: исследовать монотонность, экстремумы, выпуклость и точки перегиба функции и построить с их помощью её график.
• Цель 6: найти приближённо методом Ньютона-Рафсона корень уравнения, которое не решается в явном виде, выбрать начальную точку и оценить погрешность полученного приближения.
• Цель 7: написать полное решение задачи оптимизации или задачи на связанные скорости изменения, с постановкой, областью определения, ходом решения, обоснованием экстремума, ответом и контролем правдоподобия, так чтобы другой человек мог проследить его без дополнительных объяснений.

Как изучать этот курс

Курс рассчитан на изучение по порядку. Каждый раздел предполагает предшествующие и оба курса алгебры и геометрии, и многие доказательства ссылаются на результаты прежних уроков; пропуск урока рано или поздно заставляет к нему вернуться. Особенно это относится к разделу 1: определения на языке эпсилон и дельта и леммы его первых уроков служат опорой для всех последующих доказательств.

В каждом разделе есть две контрольные точки. Входная проверка, в начале введения, является исходной точкой: на неё стоит ответить до изучения раздела, ничего не подглядывая, и отметить уроки, к которым отсылают ошибки, потому что именно они требуют наибольшего внимания. Итоговая проверка, в обобщении и перед задачами повышенной трудности, служит сопоставлением: на неё отвечают по окончании уроков, тоже ничего не подглядывая, и сравнивают её с входной, чтобы увидеть, что изменилось и какие уроки стоит повторить. В обеих засчитывается первая попытка: именно её сравнивают и именно её сводит профиль итогового обзора; дальнейшие делаются уже после того, как обратная связь просмотрена. Задачи повышенной трудности дополняют проверку знаний, потому что требуют сочетать и излагать письменно то, чего короткие вопросы лишь касаются. Отсюда следует, что тот, кто считает, что уже владеет разделом, не должен решать это по одному испытанию: если его итоговая проверка дала уверенный результат и он решает задачи повышенной трудности обобщения, он может перейти к очередному разделу; если нет, стоит пройти уроки, на которые указывают проверка и задачи.

В каждом уроке стоит сначала прочитать краткое содержание и цели, которые говорят, к чему он стремится; затем изучить теорию с бумагой и карандашом, стараясь предугадать каждый шаг доказательств прежде, чем его запишет проигрыватель; пытаться решить решённые задачи, прежде чем смотреть их решение, и решать предложенные задачи без помощи, открывая подсказку только тогда, когда попытка исчерпана, а ответ только в конце, для проверки. Задача, ответ на которую был подсмотрен до попытки, не решена, а прочитана. Кроме того, в курсе математического анализа стоит не доверять таблицам значений и графикам, построенным калькулятором: они подсказывают предел или экстремум, но не доказывают его, и в разделе 1 показаны таблицы, которые вводят в заблуждение.

Задачи повышенной трудности сложнее задач уроков, и это нормально, что некоторые из них требуют нескольких попыток в разные дни. Не стоит бесконечно задерживаться на одной: отметить её, продолжить двигаться вперёд и вернуться к ней позже часто оказывается самым коротким путём. Однако оценочная трудоёмкость предполагает, что за каждую из них берутся всерьёз, и в этом усилии во многом решается то, чему может научить курс.

Наконец, стоит писать. Изложить письменно доказательство или полное решение, с его посылками и выводами, есть единственный способ узнать, понято ли оно, и это также седьмая из целей курса. Тетрадь для занятий, в которой своими словами переписываются определения и теоремы каждого раздела, есть лучший материал для повторения, какой может оставить курс, и ещё больше она пригодится в курсе «Математический анализ II», который вернётся почти ко всему, что здесь доказывается.