微积分 I：课程计划

宗旨与对象

三个古老的问题引出了微积分：运动物体在某一瞬间的速度、曲线的切线的斜率和曲边图形的面积。在这三个问题中，直接代入都会得到 $\frac{0}{0}$ 或一个没有意义的和，而正确的答案是各次近似所趋近的那个值。本课程为这种趋近的想法给出一个精确的定义，即极限，并用它研究前两个问题，它们引出导数；第三个问题引出积分，那是微积分 II：积分学的内容。

它的宗旨是把一元实函数的微分学建立在极限的定义和完备性公理之上，并由它们出发，以完整的证明推出导数能让我们对函数的变化、形状和极值知道些什么。若是如此，本课程就不是一套求导法则的汇编，而是一座演绎的大厦：所用的每个结果都加以陈述和证明；若其证明属于另一门课程，则明确声明予以承认，例如保证隐函数存在的定理，以及牛顿-拉弗森方法收敛的快慢，它们都需要以后才学到的工具。定义写成带量词的陈述，用 ε 与 δ 的证明则加以编排，以便重复使用：关于极限运算法则的那一课中的三个引理支撑着极限的运算法则，而卡拉泰奥多里分解支撑着求导法则。

本课程面向学完代数与几何 II或通过其他途径掌握了其内容的人：理科、工科、经济学或数学教育专业的大学一年级学生，准备升入大学的中学最后几个年级的学生，以及任何想要严格地重建自己当初作为一套法则学到的微积分的人。

预备知识与先修课程

本课程的先修课程是代数与几何 II，而它又以代数与几何 I为前提。在这两门课程中，本课程主要用到：实数的完备性公理，连同上确界和下确界，以及不等式与绝对值的运算，它们由关于实数轴的那一课建立，波尔查诺定理、魏尔斯特拉斯定理和中值定理都以它们为基础；函数、它们的反函数、它们的变换和它们的符号表；实数指数的幂、数 $e$ 与自然指数函数、对数和双曲函数；归纳法和二项式定理；以及代数与几何 II 中的三角函数、它们的反函数、两角和公式与和差化积公式，还有不等式 $\sin x < x < \tan x$（其中 $0 < x < \frac{\pi}{2}$），正弦的导数就依赖于它。

然而，这些结果中有许多当时因为需要极限而未加证明就予以承认：有理函数和三角函数的连续性、渐近线以及介值定理。本课程逐一证明它们。对某项预备知识没有把握的人，可以回到代数与几何中相应单元的总结课；此外，每个单元的入门测评都包含关于本单元所预设知识的问题，并针对每个错误指出宜复习的那一课。

最后，本课程设计为可以与一门谓词逻辑课程，即本站计划开设的数理逻辑 II，同时学习：各课把定义写成带量词的陈述并处理它们的否定，而不依赖于那门课程。想先养成形式推演习惯的人，可以学习数理逻辑 I：命题逻辑。

通往何处

有两门课程以本课程为先修课程。微积分 II：积分学将把积分定义为矩形面积之和的极限，通过基本定理把它与导数联系起来，而基本定理的基础是这样一个推论：导数相同的两个函数相差一个常数；它还将反向走过各条求导法则：换元法反转链式法则，分部积分法反转乘积的求导法则。力学 I：力学基础将把速度和加速度看作位置的一阶导数和二阶导数。在微积分 II 之后，微积分 III：多元微积分将把极限、导数和极值推广到多元函数。

由此可知本课程有意留给其后各门课程的内容。留给微积分 II 的是一致连续性、原函数、数列（它们将引向定积分，最后引向级数），以及泰勒多项式，它将估计微分的误差并证明牛顿-拉弗森方法的二次收敛。留给微积分 III 的是参数曲线和隐函数定理，第 2 单元的隐函数求导以后者为前提。

本课程的结果也会在不以它为先修的课程中再次出现。在金融数学中，连续复利将是一个重要极限，而使一系列付款的现值等于给定金额的利率将用牛顿-拉弗森方法计算。在使用 R 进行数据分析中，各种增长模型将按其在无穷远处的行为加以区分，而一组数据的平均值将作为使平方和取最小值的那个数得出。在C++ 程序设计 I中，二分法依赖于介值定理，算法的代价用大 $\operatorname{O}$ 记号度量，而浮点运算解释了计算机用以欺骗数值表的舍入误差，就像第 1 单元中的那张表一样。

总体学习目标

下列目标描述了学完本课程的人应当能够做到的事情。每一项都表述为可观察的表现，以便能用一项具体任务加以检验；每一节课又各自声明自己的目标，而结课的那一课则逐课显示每节课被归入这七项目标中的哪一项。各项目标都编了号，以便在那一课中引用。

1. 目标 1。通过明确的演绎推理证明微分学的命题：把定义写成带量词的陈述并对其加以否定，构造重复使用已证引理的 ε-δ 论证，从完备性公理推出存在性定理，用反例说明某个条件不能去掉，并在每个证明中区分推出的内容和承认的内容。
2. 目标 2。定义并计算一元实函数的极限，包括有限极限、单侧极限、无穷远处的极限和无穷极限，用极限的运算法则、夹逼定理、重要极限、等价无穷小和洛必达法则处理不定式，并借此确定函数的渐近线和函数图像的画法。
3. 目标 3。判定函数的连续性并对其间断点分类，证明初等函数及其反函数的连续性，并运用以完备性公理为基础的波尔查诺定理、介值定理和魏尔斯特拉斯定理，证明解和最值的存在，以及求出区间的像。
4. 目标 4。把导数定义为差商的极限，并用线性近似和卡拉泰奥多里分解刻画导数，证明求导法则、链式法则和反函数的导数，并借此对初等函数、隐函数、幂指函数求导，以及求高阶导数，同时明确每个导数的定义域。
5. 目标 5。证明并应用费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，由它们推出单调性、极值与最值以及凹凸性的判别法，并用一阶导数和二阶导数研究函数图像的形状：增减、极值、凹凸、拐点和曲率。
6. 目标 6。用微分、二分法和牛顿-拉弗森方法求函数值和方程根的近似值，用中值定理、单调性或凹凸性估计每次近似的误差，并识别一种方法何时失效或收敛缓慢。
7. 目标 7。用导数为几何学、物理学和其他科学中的情境建立模型，如变化率、相关变化率和最优化问题，准确地确定变量、变量的单位和定义域，并以书面形式表达问题的建立、计算和证明，使用正确的记号（包括莱布尼茨记号），论证完整，并检查结果的合理性。

目标 2、4 和 5 大体上对应于三个内容单元：目标 2 对应研究极限的第 1 单元；目标 4 对应研究导数的第 2 单元；目标 5 对应应用中值定理的第 3 单元。洛必达法则虽然在第 3 单元中从柯西中值定理出发加以证明，但主要用来计算极限，因此属于目标 2。目标 3 和 6 是贯穿三个单元的线索。目标 3 的主要课是第 1 单元中关于极限与连续性的那一课、第 2 单元中关于介值定理的那一课和第 3 单元中关于魏尔斯特拉斯定理的那一课；后两课以完备性为基础，而第 1 单元在单调函数的极限中就已经用到完备性。近似出现在无穷小的主部、二分法、微分以及中值定理给出的界中，并以牛顿-拉弗森方法为其专门的一课。反之，第一项和第七项目标是贯穿性的：它们不属于某一个单元，而是在所有单元中都得到练习。由此可知，它们的达成不能归于某一节特定的课，宜在整个课程中加以培养。不过，两者也都有主要为其服务的课：第一项是三节总结课，其核心内容重建每个单元的演绎链；第七项是以建立问题本身为内容的两节课，即关于变化率与相关变化率的那一课和关于最优化问题的那一课。

内容

本课程分为五个单元。第一个和最后一个单元为整个历程提供框架；中间的三个单元展开内容。其中每个单元都以一节导言课开始，介绍本单元的各课、其思想的历史背景、催生它们的问题以及它们的意义；并以一节总结课结束，重建本单元的演绎链，把它与本课程的其余内容以及代数与几何联系起来，并提出十道难度高于各课问题的挑战题。

第 0 单元 课程介绍

本单元由这一课组成，它确定课程的宗旨、总体目标、内容、学习量和设计。

第 1 单元 极限与连续

它的目标是：用 ε 与 δ 定义极限，证明极限的运算法则，并计算各种形式的极限，即有限极限、单侧极限、无穷远处的极限和无穷极限；用极限定义渐近线；定义连续性并对初等函数加以证明；以及借助等价无穷小和等价无穷大比较函数。

1. 极限与连续：导言。
2. 实变量函数的极限。
3. 极限的运算法则。
4. 夹逼定理与三角函数的极限。
5. 单侧极限。
6. 自变量趋于无穷大时的极限。
7. 无穷极限。
8. 渐近线与函数作图技巧。
9. 极限与连续性。
10. 初等函数的连续性与重要极限。
11. 等价无穷小与等价无穷大。
12. 极限与连续：总结与挑战。

第 2 单元 导数

它的目标是：把导数定义为极限，并用线性近似和卡拉泰奥多里分解刻画导数；证明求导法则和链式法则；证明介值定理，由它推出反函数的导数所需要的反函数的连续性；对初等函数、它们的反函数、隐函数和幂指函数求导；以及应用高阶导数、微分和变化率。

1. 导数：导言。
2. 作为函数极限的导数。
3. 求导法则。
4. 初等函数的导数。
5. 复合函数求导的链式法则。
6. 介值定理。
7. 反函数的导数与隐函数求导。
8. 指数中的变量与对数求导法。
9. 高阶导数与微分。
10. 变化率与相关变化率。
11. 导数：总结与挑战。

第 3 单元 导数的应用

它的目标是：从完备性公理出发，证明魏尔斯特拉斯、费马、罗尔、拉格朗日和柯西的定理，并由它们推出洛必达法则以及单调性、极值和凹凸性的判别法；研究图像的曲率，解最优化问题，并用牛顿-拉弗森方法求根的近似值。

1. 导数的应用：导言。
2. 魏尔斯特拉斯最值定理。
3. 费马、罗尔、拉格朗日与柯西定理。
4. 洛必达法则。
5. 单调性与一阶导数判别法。
6. 函数的极值与最值。
7. 凹凸性与拐点。
8. 曲率与曲率半径。
9. 最优化问题。
10. 牛顿-拉弗森方法。
11. 导数的应用：总结与挑战。

第 4 单元 课程总结

本单元由微积分 I：最终回顾一课组成，这一课回顾七项总体目标，用一幅图显示本课程的每节课被归入哪一项目标、每个单元达到了哪些具体目标，并按目标汇集各次结业测评的第一次作答。

学习量与学分

一门课程的学习量不是用讲授的学时来衡量的（异步课程中并没有讲授学时），而是用学习者的全部工作来衡量：阅读、跟随证明、解题和复习。这一估计在本站所有课程中采用同一方法：按每分钟一百个词计入每节课正文的阅读时间，每个公式算作一个词，每道例题二十分钟，每道练习题三十五分钟，每道挑战题四十五分钟，每次入门测评或结业测评十二分钟，并另加十分之一的余量用于复习。

结果

第 1 至 3 单元的各课合计包含 $140$ 道例题、$140$ 道练习题和 $30$ 道挑战题，此外还有六次单元测评。各单元的估计学习量（按小时取整）如下：

• 第 0 单元，课程介绍：不到 $1$ 小时。
• 第 1 单元，极限与连续：$66$ 小时。
• 第 2 单元，导数：$61$ 小时。
• 第 3 单元，导数的应用：$63$ 小时。
• 第 4 单元，课程总结：不到 $1$ 小时。

三个内容单元的负担相近：第 1 单元的课较多，第 3 单元的课篇幅较长。总计约为 $191$ 小时的学习时间。这个数字应当按其本来面目来理解：它是对研读全部证明、做完全部问题和挑战题的人的估计。已经学过微积分的人，或者只做练习题而不碰挑战题的人，所需时间会少得多；初次学习这些内容、又没有证明习惯的人，可能需要更多时间，尤其是在学习用 ε 与 δ 推理的第 1 单元。

然而，这个数字是名义上的：课程的学分正是由它确定的，它假定以恒定的速度阅读，并且每道挑战题用四分之三小时。在用真实的学生测量之前，宜给它附加一个现实的区间。如果阅读的速度只有假定速度的一半（每个证明都用纸和笔重写一遍时就是如此），而每道挑战题需要七十五分钟而不是四十五分钟，同样的方法就会得到约 $231$ 小时。因此，可以预期的学习量约在 $191$ 至 $231$ 小时之间。上端是一个审慎的界限，而不是测量结果；等到知道学习本课程的人实际所用的时间，这个区间就会得到修正，在此之前，学分按名义数字计算。

建议节奏

为了给各种节奏命名，本计划采用与本站其他计划相同的标准：全日制学习相当于一个 $60$ 学分的学年，约 $1650$ 小时，分布在约四十周内，即每周约 $40$ 小时；半日制为其一半，即每周约 $20$ 小时。由此得出建议的节奏：一个十六周的学期，每周学习约 $12$ 小时，不到全日制的三分之一；按现实区间计算，每周 $12$ 至 $14$ 小时，仍低于半日制。这样，微积分 I 可以安排在代数与几何 II 之后的那个学期，微积分 II 则安排在再后一个学期。

集中的节奏，每周约 $24$ 小时，略多于半日制，可在八周内学完本课程，这相当于在同一时期不修读任何其他高要求课程的人的学习量。更宽松的节奏，每周约 $6$ 小时，把本课程分在两个学期学完，可以这样分配：第 0 至 2 单元，即极限、连续和导数，约占 $128$ 小时；第 3 和第 4 单元，即导数的应用和课程总结，约占 $63$ 小时。

学分

本站的学分衡量一门课程要求学习者付出的全部学习量（阅读、解题、挑战题和复习），而不是课堂学时。一个学分相当于约 $27.5$ 小时的学习，一年的全日制学习相当于 $60$ 学分，即约 $1650$ 小时；这与前面那一小节为各种学习节奏命名时所用的标准相同。

然而，把估计的 $191$ 小时除以 $27.5$，得到 6.95，取整为 $7$。若允许每学分在 $25$ 至 $30$ 小时的学习之间浮动，本课程的学分数 $C$ 介于 6.4 与 7.6 之间：

因此，本课程为 $7$ 学分，略少于一个全日制学年的八分之一。只想学习本课程中一部分的人，可以利用各单元的学时列表：例如，第 0 至 2 单元合计约 $128$ 小时，即约 $5$ 学分。

学分的用处是实际的：借助学分，可以比较本站各门课程的学习负担，并决定同时修读几门课程才不会超出可用的时间。例如，以半日制学习一个十六周的学期，即约有 $320$ 小时的人，可以修读合计约 $12$ 学分的课程；若同一学期全日制学习，则约 $23$ 学分。

这些学分是本站为规划学习而采用的自有计量：它们不对应任何官方学分体系，也不意味着任何机构的学术认可。

课程设计

学习形式

本课程是异步的、在线的、自定进度的：它没有日期、直播课和期限，每个学生都以自己的准备和时间所允许的速度前进。它以本站的十四种语言提供，各语言中的数学完全相同：每个版本中的公式和证明的步骤都一致，只翻译文字。每节课都声明事先宜学习哪一课，而最初的几课则指向代数与几何，因此推荐的顺序是明确的，并且可以核查。

一节课的结构

所有主题课都采用相同的结构。它们以摘要和一份自己的学习目标清单开始，目标表述为可观察的表现。接着是理论，包括定义、准确陈述的定理及其证明，以及示例。证明和示例以分步播放器的形式呈现：每一步写出推理的一行，突出显示所涉及的项，当它依据前面的某个结果时，就回到那个结果并在阅读时将其突出显示，使推理的记忆一直呈现在眼前；许多示例还配有随每一步变化的图。每节课最后是五道例题，附有逐步的解答，以及五道练习题，每道都附有折叠的提示，之后是最终答案，以便学生检验自己的结果而不被透露解题的途径；有些练习题，尤其是证明类的练习题，还在答案之后折叠附有一份详细解答，宜在写好自己的解答之后再打开。

导言课和总结课有各自的结构。导言介绍本单元、它的历史、催生它的问题以及它的意义；总结用一幅图重建本单元的演绎链，标出它所重用的结果和它所证明的环，把它与前面的单元以及代数与几何联系起来，并提出十道挑战题，每道都附有提示、最终答案和一份折叠的详细解答；这些挑战题综合了几节课的内容，比练习题要求更多的创造性。

语音朗读

每节课都可以用本站的朗读功能出声收听，它使用设备自身的语音：正文按书写的样子朗读，公式则用文字读出。这样就可以离开屏幕复习一节课，一边看着分步播放器一边听着跟随一个证明，也可以在视力受限的情况下学习。

评估

本课程不打分，也不提供认证：它在本站的检验是形成性的。练习题可用来检验每节课目标的达成，挑战题可用来检验每个单元目标的达成。此外，三个内容单元中的每一个都在导言中设有入门测评，在总结中、挑战题之前设有结业测评：这些都是简短的自我检查，在浏览器中批改，不打分。入门测评有关于本单元的九个或十个问题，另加五个或六个关于本单元从前面单元或代数与几何所预设的知识的问题，结业测评有十一个或十二个问题；两者都针对每个错误指出宜复习哪一课，并相互比较以显示进步。最终回顾把每次结业测评的第一次作答汇集为按总体目标划分的概况，它和这些测评一样，只保存在学生的浏览器中。具有认证效力的技能认定以后将在本站之外的另一个平台上进行。

对于总体目标，另建议以下的达成证据，每个学生都可以自己做出：

• 目标 1：不查阅课文，写出本课程中某个定理的证明，例如用卡拉泰奥多里分解证明的链式法则或拉格朗日中值定理，并用反例说明它的条件没有一个是多余的。
• 目标 2：用两种方法计算一个不定式的极限，即用等价无穷小和用洛必达法则，并求出一个函数的全部渐近线。
• 目标 3：用波尔查诺定理和单调性证明一个方程在某个区间内恰有一个解，并求出一个有界闭区间在连续函数下的像。
• 目标 4：对一个底数和指数都是变量的幂以及一个隐函数求导，并明确每个导数在何处存在。
• 目标 5：研究一个函数的单调性、极值、凹凸性和拐点，并据此画出它的图像。
• 目标 6：用牛顿-拉弗森方法求一个无法用代数方法解出的方程的根的近似值，选取初始点，并估计所得近似值的误差。
• 目标 7：写出一个最优化问题或相关变化率问题的完整解答，包括问题的建立、定义域、求解过程、极值的论证、答案和合理性检查，使另一个人无需额外解释就能看懂。

如何学习本课程

本课程是为按顺序学习而设计的。每个单元都以前面的单元和两门代数与几何课程为前提，许多证明引用前面各课的结果；跳过一节课，迟早不得不回头再学。这一点对第 1 单元尤其如此：用 ε 与 δ 给出的定义以及该单元最初几课中的引理，支撑着此后所有的证明。

每个单元都有两个检查点。入门测评在导言的开头，是起点：宜在学习本单元之前不查阅任何资料作答，并记下错误所指向的那些课，它们正是需要更加留心的课。结业测评在总结中、挑战题之前，是对照：在学完各课之后作答，同样不查阅资料，并与入门测评相比较，看看有什么变化、哪些课宜复习。两次测评都以第一次作答为准，被比较的是它，汇入最终回顾概况的也是它；之后的作答都是在看过反馈之后进行的。挑战题使检验更加完整，因为它们要求综合运用并书面表达那些简短问题只是触及的内容。由此可知，自认为已经掌握某个单元的人，不应凭一次测试就作出判断：如果结业测评的结果扎实，又能解出总结中的挑战题，就可以进入后面的单元；否则，宜学习两者所指出的那些课。

在每节课中，宜先读摘要和目标，它们说明要达到什么；然后用纸和笔研读理论，力求在播放器写出证明的每一步之前预先想到它；在看例题的解答之前先尝试自己解，并在没有帮助的情况下解练习题，只有在尝试已经穷尽时才打开提示，只有在最后才打开答案，用来检验。一道在尝试之前就查看了答案的题目并没有被解出，而只是被读过了。此外，在微积分课程中，宜对数值表和计算器画出的图像保持警惕：它们提示某个极限或某个极值，却不能证明它，第 1 单元就展示了会误导人的数值表。

挑战题比各课的问题更难，有些需要在不同的日子里尝试多次，这是正常的。不宜无休止地停留在某一道题上：把它记下来，继续往前学，以后再回到它，往往是最短的路。然而，估计的学习量假定每一道都认真尝试过，而本课程所能教给人的东西，很大一部分就取决于这种努力。

最后，宜动笔写。写出一个证明或一份完整的解答，连同其前提和结论，是知道自己是否真正理解的唯一方法，也是本课程的第七项目标。一本学习笔记，用自己的话重写每个单元的定义和定理，是本课程所能留下的最好的复习材料，到了微积分 II 更是如此，因为那门课程将回到这里所证明的几乎一切。