夹逼定理与三角函数的极限

法则无法求出的极限

在关于极限的运算法则的课中，每个 $\frac{0}{0}$ 型的不定式都是通过变形表达式直到约去一个公因子来解决的。商 $\frac{\sin x}{x}$，当 $x$ 趋于 $0$ 时，不能这样处理：正弦不是多项式，任何因式分解都不能在分子中造出因子 $x$。乘积法则也不能确定 $x \sin \frac{1}{x}$ 在 $0$ 处的极限，因为因子 $\sin \frac{1}{x}$ 没有极限，这正是在关于实变量函数的极限的课中练习题 3 要求证明的。

然而，在这两种情形中，函数都被困在另外两个更简单的函数之间：$x \sin \frac{1}{x}$ 的绝对值不超过 $\abs{x}$，而商 $\frac{\sin x}{x}$，如后面将看到的，介于 $\cos x$ 与 $1$ 之间。若是如此，就值得一劳永逸地证明：一个被困在两个趋于同一个数的函数之间的函数，也趋于这个数。本课的证明沿用前一课的思路：每个结果都归结为一个不等式，其余的由上界判别法或由它推出的工具完成。

沿用前一课的约定：$f$、$g$ 和 $h$ 是定义在同一个集合 $A$ 上的实函数，点 $a$ 是 $A$ 的聚点，而某事“在 $a$ 附近”成立，是指存在 $r > 0$，使得每个 $x$（属于 $A$ 且满足 $0 < \abs{x - a} < r$）都满足它。回顾三个引理那一节结尾得到的工具：若 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 且 $\lim_{x \to a} g(x) = M$，则每个函数 $F$，只要在 $a$ 附近满足如下形式的上界估计（其中 $C > 0$），就趋于 $K$。