सैंडविच प्रमेय और त्रिकोणमितीय सीमाएँ

वे सीमाएँ जिन तक नियम नहीं पहुँचते

सीमाओं का बीजगणित वाले पाठ में, प्रत्येक $\frac{0}{0}$ रूप को व्यंजक का रूपांतरण करके हल किया गया, जब तक कि कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड निरस्त न हो जाए। भागफल $\frac{\sin x}{x}$, जब $x$, $0$ की ओर अग्रसर होता है, इस उपचार को स्वीकार नहीं करता: ज्या बहुपद नहीं है, और कोई भी गुणनखंडन अंश में गुणनखंड $x$ प्रकट नहीं करता। गुणनफल नियम भी $x \sin \frac{1}{x}$ की $0$ पर सीमा का निर्णय नहीं करता, क्योंकि गुणनखंड $\sin \frac{1}{x}$ की कोई सीमा नहीं है, जैसा कि एक वास्तविक चर के फलनों की सीमा वाले पाठ के अभ्यास प्रश्न 3 में सिद्ध करने को कहा गया था।

परंतु दोनों स्थितियों में फलन दो अन्य, अधिक सरल फलनों के बीच फँसा रहता है: $x \sin \frac{1}{x}$ का निरपेक्ष मान $\abs{x}$ से अधिक नहीं होता, और भागफल $\frac{\sin x}{x}$, जैसा कि आगे देखा जाएगा, $\cos x$ और $1$ के बीच है। यदि ऐसा है, तो एक ही बार में यह सिद्ध कर लेना उचित है कि दो ऐसे फलनों के बीच फँसा फलन, जो एक ही संख्या की ओर अग्रसर होते हैं, स्वयं भी उसी की ओर अग्रसर होता है। इस पाठ की उपपत्तियाँ पिछले पाठ की योजना का अनुसरण करती हैं: प्रत्येक परिणाम एक असमिका पर आ जाता है, और परिबंध कसौटी, या उससे निगमित उपकरण, शेष कार्य कर देता है।

पिछले पाठ की परिपाटियाँ बनी रहती हैं: $f$, $g$ और $h$ वास्तविक फलन हैं जो एक ही समुच्चय $A$ पर परिभाषित हैं, बिंदु $a$, $A$ का संचय बिंदु है, और किसी बात का “$a$ के निकट” सत्य होना यह अर्थ रखता है कि एक $r > 0$ विद्यमान है जिसके लिए वह बात प्रत्येक $x$ के लिए सत्य है जो $A$ में है और जिसके लिए $0 < \abs{x - a} < r$। उस उपकरण को स्मरण कीजिए जिससे तीन प्रमेयिकाओं वाला भाग समाप्त हुआ था: यदि $\lim_{x \to a} f(x) = L$ और $\lim_{x \to a} g(x) = M$, तो प्रत्येक फलन $F$ जो $a$ के निकट निम्नलिखित जैसा परिबंध पूरा करता है, जहाँ $C > 0$, $K$ की ओर अग्रसर होता है।