Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Теорема о двух милиционерах и тригонометрические пределы

Краткое содержание

На этом занятии находятся пределы, недоступные правилам арифметических свойств пределов: функция сравнивается с другими, пределы которых известны. Сначала доказывается, что пределы сохраняют нестрогие неравенства; затем теорема о двух милиционерах, которая сводится к признаку оценки предыдущего занятия без какого-либо нового рассуждения с эпсилон и дельта, и её самый употребительный частный случай: произведение ограниченной функции на функцию, стремящуюся к нулю. С помощью оценки синуса, доказанной в курсе «Алгебра и геометрия II», доказывается, что синус и косинус имеют предел в каждой точке, равный их значению. Неравенство между синусом, дугой и тангенсом даёт тогда первый замечательный предел lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, из которого уже известные правила выводят остальные тригонометрические пределы. В задачах применяется теорема о двух милиционерах, вычисляются тригонометрические пределы с помощью замены переменной и находится предел arctan⁡yy\frac{\arctan y}{y}.

Цели обучения

  1. Доказывать сохранение неравенств с помощью сохранения знака, а с помощью признака оценки теорему о двух милиционерах и предел произведения ограниченной функции на функцию, стремящуюся к нулю.
  2. Доказывать, что синус и косинус имеют предел в каждой точке, равный их значению, и выводить отсюда предел тангенса.
  3. Доказывать первый замечательный предел lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 и выводить из него пределы tan⁡xx\frac{\tan x}{x}, sin⁡kxx\frac{\sin kx}{x}, 1−cos⁡xx2\frac{1 - \cos x}{x^2} и 1−cos⁡xx\frac{1 - \cos x}{x}.
  4. Вычислять пределы с помощью сравнения и тригонометрические пределы, обосновывая каждое действие теоремами занятия.

Пределы, недоступные правилам

На занятии об арифметических свойствах пределов всякая неопределённость 00\frac{0}{0} раскрывалась преобразованием выражения до сокращения общего множителя. Частное sin⁡xx\frac{\sin x}{x}, когда xx стремится к 00, такой обработке не поддаётся: синус не является многочленом, и никакое разложение на множители не выделяет множитель xx в числителе. Не решает вопрос о пределе xsin⁡1xx \sin \frac{1}{x} в точке 00 и правило произведения, потому что множитель sin⁡1x\sin \frac{1}{x} предела не имеет, что предлагалось доказать в задаче для самостоятельного решения 3 на занятии о пределе функции одной действительной переменной.

Однако в обоих случаях функция оказывается зажатой между двумя другими, более простыми: модуль xsin⁡1xx \sin \frac{1}{x} не превосходит ∣x∣\abs{x}, а частное sin⁡xx\frac{\sin x}{x} лежит, как будет показано, между cos⁡x\cos x и 11. Если это так, то стоит раз и навсегда доказать, что функция, зажатая между двумя функциями, стремящимися к одному и тому же числу, тоже стремится к нему. Доказательства этого занятия следуют плану предыдущего: каждый результат сводится к неравенству, а признак оценки или выведенный из него инструмент делает остальное.

Сохраняются соглашения предыдущего занятия: ff, gg и hh являются действительными функциями, определёнными на одном и том же множестве AA, точка aa является предельной точкой множества AA, а выражение «нечто выполняется вблизи aa» означает, что существует r>0r > 0, такое что это выполняется для всякого xx из AA с 0<∣x−a∣<r0 < \abs{x - a} < r. Напомним инструмент, которым завершился пункт о трёх леммах: если lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L и lim⁡x→ag(x)=M\lim_{x \to a} g(x) = M, то всякая функция FF, удовлетворяющая вблизи aa оценке вида, приведённого ниже, с C>0C > 0, стремится к KK.

∣F(x)−K∣≤C(∣f(x)−L∣+∣g(x)−M∣)\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)