Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Односторонние пределы

Краткое содержание

На этом занятии изучается поведение функции по каждую сторону от точки. Предел справа и предел слева определяются как обычные пределы сужения функции на одну из сторон, так что все теоремы предыдущих занятий верны для них без нового доказательства. С помощью ε и δ доказываются только два результата: что функция имеет предел тогда и только тогда, когда оба её односторонних предела существуют и совпадают, и что монотонная ограниченная функция имеет односторонний предел в конце промежутка, равный точной верхней или точной нижней грани её значений. Последний есть первая теорема курса, которая гарантирует существование предела, не зная заранее его значения. В задачах изучаются кусочно-заданные функции, целая часть и тригонометрические частные, стремящиеся с разных сторон к разным числам.

Цели обучения

  1. Определять с помощью ε и δ односторонние пределы как пределы сужения и применять к ним теоремы предыдущих занятий.
  2. Доказывать, что функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда оба её односторонних предела существуют и равны, и применять это для доказательства того, что предел не существует.
  3. Доказывать, что монотонная ограниченная функция имеет односторонние пределы в концах промежутка, равные точной верхней или точной нижней грани её значений.
  4. Вычислять односторонние пределы кусочно-заданных функций, целой части и тригонометрических частных и находить постоянные, при которых предел существует.

Скачки и края

На занятии о пределе функции одной действительной переменной было доказано, что функция знака, равная 11 на положительных числах и −1-1 на отрицательных (значение, которое ей приписывается в точке 00, не влияет на предел), не имеет предела в точке 00. И всё же её поведение вблизи 00 очень простое: справа от 00 она постоянно равна 11, а слева постоянно равна −1-1. Определение предела не различает сторон и поэтому не фиксирует эту информацию. То же происходит с целой частью, которая определяется ниже, в каждом целом числе.

В доказательстве плотности рациональных чисел, на занятии о числовой прямой, было доказано, что для всякого действительного tt существует целое mm с m−1≤t<mm - 1 \leq t < m. Это целое число единственно, потому что два различных целых числа отстоят друг от друга по меньшей мере на 11 и не помещаются оба в промежуток длины 11, открытый с одного конца. Целое число m−1m - 1 называется целой частью числа tt и обозначается ⌊t⌋\lfloor t \rfloor: это единственное целое число, удовлетворяющее следующему условию.

⌊t⌋∈Z,⌊t⌋≤t<⌊t⌋+1\lfloor t \rfloor \in \mathbb{Z}, \qquad \lfloor t \rfloor \leq t < \lfloor t \rfloor + 1

Например, ⌊2,7⌋=2\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2, ⌊3⌋=3\lfloor 3 \rfloor = 3 и ⌊−0,5⌋=−1\lfloor -0{,}5 \rfloor = -1. На промежутке [n,n+1)\ico{n}{n + 1}, где nn целое, целая часть постоянно равна nn; при достижении n+1n + 1 она скачком возрастает на единицу. Вблизи целого числа nn функция равна n−1n - 1 слева и nn справа.

На всём занятии ff есть действительная функция, определённая на множестве AA, и пишется A∩(a,∞)A \cap \ioo{a}{\infty} для точек множества AA, лежащих справа от aa, и A∩(−∞,a)A \cap \ioo{-\infty}{a} для лежащих слева от неё.