Limiti unilaterali · Topos Uranos

Riepilogo

Questa lezione studia il comportamento di una funzione da ciascun lato di un punto. Il limite destro e il limite sinistro si definiscono come limiti ordinari della restrizione della funzione a uno dei lati, cosicché tutti i teoremi delle lezioni che precedono valgono per essi senza una nuova dimostrazione. Con epsilon e delta si dimostrano solo due risultati: che una funzione ha limite se e solo se i suoi due limiti unilaterali esistono e coincidono, e che una funzione monotona e limitata ha limite unilaterale nell’estremo di un intervallo, uguale all’estremo superiore o all’estremo inferiore dei suoi valori. Quest’ultimo è il primo teorema del corso che assicura che un limite esiste senza conoscerne in anticipo il valore. I problemi studiano funzioni definite per casi, la parte intera e quozienti trigonometrici che tendono a numeri diversi da ciascun lato.

Obiettivi di apprendimento

Definire con epsilon e delta i limiti unilaterali come limiti di una restrizione, e applicare loro i teoremi delle lezioni che precedono.
Dimostrare che una funzione ha limite in un punto se e solo se i suoi due limiti unilaterali esistono e sono uguali, e usarlo per dimostrare che un limite non esiste.
Dimostrare che una funzione monotona e limitata ha limiti unilaterali negli estremi di un intervallo, uguali all’estremo superiore o all’estremo inferiore dei suoi valori.
Calcolare limiti unilaterali di funzioni definite per casi, della parte intera e di quozienti trigonometrici, e determinare costanti affinché un limite esista.

Salti e bordi

Nella lezione sul limite di funzioni di una variabile reale si è dimostrato che la funzione segno, che vale $1$ sui positivi e $-1$ sui negativi (il valore che le si assegna in $0$ non influisce sul limite), non ha limite in $0$ . Eppure il suo comportamento vicino a $0$ è molto semplice: a destra di $0$ vale costantemente $1$ , e a sinistra, costantemente $-1$ . La definizione di limite non distingue i lati, e per questo non registra tale informazione. Lo stesso accade con la parte intera, che si definisce qui sotto, in ogni numero intero.

Nella dimostrazione della densità dei razionali, nella lezione sulla retta reale, si è provato che per ogni reale $t$ esiste un intero $m$ con $m - 1 \leq t < m$ . Questo intero è unico, perché due interi distinti distano almeno $1$ e non stanno entrambi in un intervallo di lunghezza $1$ aperto da un lato. L’intero $m - 1$ si chiama parte intera di $t$ e si scrive $\lfloor t \rfloor$ : è l’unico intero che soddisfa la condizione seguente.

\lfloor t \rfloor \in \mathbb{Z}, \qquad \lfloor t \rfloor \leq t < \lfloor t \rfloor + 1

Per esempio, $\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2$ , $\lfloor 3 \rfloor = 3$ e $\lfloor -0{,}5 \rfloor = -1$ . Nell’intervallo $\ico{n}{n + 1}$ , con $n$ intero, la parte intera vale costantemente $n$ ; arrivando a $n + 1$ fa un salto di ampiezza uno. Vicino a un intero $n$ , la funzione vale $n - 1$ a sinistra e $n$ a destra.

In tutta la lezione, $f$ è una funzione reale definita in un insieme $A$ , e si scrive $A \cap \ioo{a}{\infty}$ per i punti di $A$ situati a destra di $a$ e $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ per quelli situati alla sua sinistra.