Limiti quando la variabile tende all’infinito

Riepilogo

Questa lezione studia il comportamento di una funzione quando la variabile cresce senza limitazioni, e lo distingue con cura da un’altra situazione che si scrive con lo stesso simbolo: quella di una funzione i cui valori crescono senza limitazioni. Si definisce con epsilon e una soglia $M$ il limite quando la variabile tende all’infinito, e si dimostra una sola volta che equivale a un limite unilaterale in $0$ mediante il cambio di variabile $t = \frac{1}{x}$ . Ne segue che tutti i teoremi delle lezioni che precedono valgono anche all’infinito, senza una nuova dimostrazione. Con essi si calcolano i limiti delle potenze e delle funzioni razionali, il che dimostra gli asintoti orizzontali e obliqui che Algebra e Geometria aveva ammesso; si applicano il teorema del confronto e quello delle funzioni monotone; e si riconosce quando il limite non esiste.

Obiettivi di apprendimento

Distinguere il limite quando la variabile tende all’infinito dal limite infinito, e scrivere entrambi con lo schema comune della sfida e della risposta.
Definire con epsilon e una soglia $M$ il limite quando la variabile tende all’infinito, e dimostrarne l’equivalenza con un limite unilaterale in $0$ .
Dimostrare i limiti delle potenze e delle funzioni razionali quando la variabile tende all’infinito, e dedurne gli asintoti orizzontali e obliqui.
Calcolare limiti all’infinito con il teorema del confronto, le funzioni monotone e i cambi di variabile, e dimostrare quando non esistono.

Due usi dell’infinito

La parola «infinito» compare nello studio dei limiti con due sensi distinti, che conviene separare fin dall’inizio. Nel primo, è la variabile che cresce senza limitazioni, mentre i valori della funzione si avvicinano a un numero. Nel secondo, è la funzione che cresce senza limitazioni, mentre la variabile si avvicina a un numero. Le tre affermazioni seguenti sono, pertanto, diverse.

$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ : la variabile cresce senza limitazioni e i valori di $f$ si avvicinano al numero $L$ . Per esempio, $\frac{1}{x}$ si avvicina a $0$ quando $x$ cresce. È l’oggetto di questa lezione.
$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ : la variabile si avvicina al numero $a$ e i valori di $f$ crescono senza limitazioni. Per esempio, $\frac{1}{x^2}$ cresce senza limitazioni quando $x$ si avvicina a $0$ . È l’oggetto della lezione sui limiti infiniti.
$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ : entrambe crescono senza limitazioni, come $x^2$ . Si studia anch’esso nella lezione sui limiti infiniti.

Il simbolo $\infty$ non è un numero reale, e le due situazioni non sono simmetriche. Nella prima, il limite esiste ed è un numero, $L$ , al quale si applicano l’unicità, l’algebra dei limiti e tutti i teoremi noti. Nella seconda, la funzione non ha limite nel senso della lezione sul limite di funzioni di una variabile reale: la scrittura $= \infty$ non nomina un limite, ma un modo preciso di non averlo. Per questo le regole dell’algebra dei limiti, che operano con numeri, non possono applicarsi a $\infty$ come se lo fosse.

Entrambe le situazioni rientrano, tuttavia, in uno stesso schema. Ogni definizione di limite dice: per ogni sfida sui valori esiste una risposta sulla variabile. L’unica cosa che cambia è che cosa significhi essere vicino a ciascuna cosa:

la variabile è vicina al numero $a$ se $0 < \abs{x - a} < \delta$ , e vicina a $\infty$ se $x > M$ ;
il valore è vicino al numero $L$ se $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ , e vicino a $\infty$ se $f(x) > N$ .

La definizione della lezione sul limite combina la prima forma di ciascuna riga; questa lezione, la seconda della prima riga con la prima della seconda; la lezione sui limiti infiniti, le restanti. La prima proposizione di questa lezione mostra i due usi con una stessa funzione.