Grenzwerte, wenn die Variable gegen unendlich strebt

Zusammenfassung

Diese Lektion untersucht das Verhalten einer Funktion, wenn die Variable unbeschränkt wächst, und unterscheidet es sorgfältig von einer anderen Situation, die mit demselben Symbol geschrieben wird: der einer Funktion, deren Werte unbeschränkt wachsen. Mit Epsilon und einer Schranke $M$ wird der Grenzwert definiert, wenn die Variable gegen unendlich strebt, und es wird ein einziges Mal bewiesen, dass er einem einseitigen Grenzwert an der Stelle $0$ gleichwertig ist, und zwar mittels der Substitution $t = \frac{1}{x}$ . Daraus folgt, dass alle Sätze der vorigen Lektionen auch im Unendlichen gelten, ohne neuen Beweis. Mit ihnen werden die Grenzwerte der Potenzen und der rationalen Funktionen berechnet, was die waagerechten und schiefen Asymptoten beweist, die Algebra und Geometrie angenommen hat; man wendet den Einschnürungssatz und den Satz über monotone Funktionen an; und man erkennt, wann der Grenzwert nicht existiert.

Lernziele

Den Grenzwert, wenn die Variable gegen unendlich strebt, vom uneigentlichen Grenzwert unterscheiden und beide mit dem gemeinsamen Schema von Herausforderung und Antwort schreiben.
Mit Epsilon und einer Schranke $M$ den Grenzwert definieren, wenn die Variable gegen unendlich strebt, und seine Gleichwertigkeit mit einem einseitigen Grenzwert an der Stelle $0$ beweisen.
Die Grenzwerte der Potenzen und der rationalen Funktionen, wenn die Variable gegen unendlich strebt, beweisen und aus ihnen die waagerechten und schiefen Asymptoten herleiten.
Grenzwerte im Unendlichen mit dem Einschnürungssatz, den monotonen Funktionen und Substitutionen berechnen und beweisen, wann sie nicht existieren.

Zwei Verwendungen des Unendlichen

Das Wort „unendlich“ tritt beim Studium der Grenzwerte in zwei verschiedenen Bedeutungen auf, die man von Anfang an trennen sollte. In der ersten ist es die Variable, die unbeschränkt wächst, während sich die Werte der Funktion einer Zahl nähern. In der zweiten ist es die Funktion, die unbeschränkt wächst, während sich die Variable einer Zahl nähert. Die drei folgenden Aussagen sind daher verschieden.

$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ : Die Variable wächst unbeschränkt, und die Werte von $f$ nähern sich der Zahl $L$ . Zum Beispiel nähert sich $\frac{1}{x}$ dem Wert $0$ , wenn $x$ wächst. Das ist der Gegenstand dieser Lektion.
$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ : Die Variable nähert sich der Zahl $a$ , und die Werte von $f$ wachsen unbeschränkt. Zum Beispiel wächst $\frac{1}{x^2}$ unbeschränkt, wenn sich $x$ der Stelle $0$ nähert. Das ist der Gegenstand der Lektion über die uneigentlichen Grenzwerte.
$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ : Beide wachsen unbeschränkt, wie $x^2$ . Das wird ebenfalls in der Lektion über die uneigentlichen Grenzwerte untersucht.

Das Symbol $\infty$ ist keine reelle Zahl, und die beiden Situationen sind nicht symmetrisch. In der ersten existiert der Grenzwert und ist eine Zahl, $L$ , auf die die Eindeutigkeit, die Rechenregeln für Grenzwerte und alle bekannten Sätze anwendbar sind. In der zweiten hat die Funktion keinen Grenzwert im Sinne der Lektion über den Grenzwert von Funktionen einer reellen Variablen: Die Schreibweise $= \infty$ benennt keinen Grenzwert, sondern eine präzise Weise, keinen zu haben. Deshalb lassen sich die Rechenregeln für Grenzwerte, die mit Zahlen operieren, nicht auf $\infty$ anwenden, als wäre es eine.

Beide Situationen passen jedoch in ein und dasselbe Schema. Jede Definition des Grenzwerts sagt: Zu jeder Herausforderung an die Werte gibt es eine Antwort über die Variable. Das Einzige, was sich ändert, ist, was es jeweils heißt, nahe zu sein:

die Variable ist nahe bei der Zahl $a$ , wenn $0 < \abs{x - a} < \delta$ gilt, und nahe bei $\infty$ , wenn $x > M$ gilt;
der Wert ist nahe bei der Zahl $L$ , wenn $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ gilt, und nahe bei $\infty$ , wenn $f(x) > N$ gilt.

Die Definition der Lektion über den Grenzwert kombiniert die erste Form jeder Zeile; diese Lektion die zweite der ersten Zeile mit der ersten der zweiten; die Lektion über die uneigentlichen Grenzwerte die übrigen. Die erste Proposition dieser Lektion zeigt die beiden Verwendungen an ein und derselben Funktion.