Limites quand la variable tend vers l’infini

Résumé

Cette leçon étudie le comportement d’une fonction quand la variable croît sans être majorée, et le distingue avec soin d’une autre situation qui s’écrit avec le même symbole : celle d’une fonction dont les valeurs croissent sans être majorées. On définit avec epsilon et un seuil $M$ la limite quand la variable tend vers l’infini, et l’on démontre une seule fois qu’elle équivaut à une limite à gauche ou à droite en $0$ au moyen du changement de variable $t = \frac{1}{x}$ . Il s’ensuit que tous les théorèmes des leçons qui précèdent valent aussi à l’infini, sans nouvelle démonstration. Avec eux, on calcule les limites des puissances et des fonctions rationnelles, ce qui démontre les asymptotes horizontales et obliques qu’Algèbre et géométrie avait admises ; on applique le théorème des gendarmes et celui des fonctions monotones ; et l’on reconnaît quand la limite n’existe pas.

Objectifs d’apprentissage

Distinguer la limite quand la variable tend vers l’infini de la limite infinie, et écrire l’une et l’autre selon le schéma commun du défi et de la réponse.
Définir avec epsilon et un seuil $M$ la limite quand la variable tend vers l’infini, et démontrer son équivalence avec une limite à gauche ou à droite en $0$ .
Démontrer les limites des puissances et des fonctions rationnelles quand la variable tend vers l’infini, et en déduire les asymptotes horizontales et obliques.
Calculer des limites à l’infini avec le théorème des gendarmes, les fonctions monotones et les changements de variable, et démontrer quand elles n’existent pas.

Deux usages de l’infini

Le mot « infini » apparaît dans l’étude des limites avec deux sens distincts, qu’il convient de séparer dès le début. Dans le premier, c’est la variable qui croît sans être majorée, tandis que les valeurs de la fonction s’approchent d’un nombre. Dans le second, c’est la fonction qui croît sans être majorée, tandis que la variable s’approche d’un nombre. Les trois affirmations que voici sont donc différentes.

$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ : la variable croît sans être majorée et les valeurs de $f$ s’approchent du nombre $L$ . Par exemple, $\frac{1}{x}$ s’approche de $0$ quand $x$ croît. C’est l’objet de cette leçon.
$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ : la variable s’approche du nombre $a$ et les valeurs de $f$ croissent sans être majorées. Par exemple, $\frac{1}{x^2}$ croît sans être majoré quand $x$ s’approche de $0$ . C’est l’objet de la leçon sur les limites infinies.
$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ : l’une et l’autre croissent sans être majorées, comme $x^2$ . Ce cas est étudié lui aussi dans la leçon sur les limites infinies.

Le symbole $\infty$ n’est pas un nombre réel, et les deux situations ne sont pas symétriques. Dans la première, la limite existe et c’est un nombre, $L$ , auquel s’appliquent l’unicité, les opérations sur les limites et tous les théorèmes connus. Dans la seconde, la fonction n’a pas de limite au sens de la leçon sur la limite des fonctions d’une variable réelle : l’écriture $= \infty$ ne nomme pas une limite, mais une manière précise de ne pas en avoir. C’est pourquoi les règles des opérations sur les limites, qui portent sur des nombres, ne peuvent pas s’appliquer à $\infty$ comme s’il en était un.

Les deux situations entrent pourtant dans un même schéma. Toute définition de limite dit : pour tout défi portant sur les valeurs, il existe une réponse portant sur la variable. La seule chose qui change est ce que signifie être proche de chaque chose :

la variable est proche du nombre $a$ si $0 < \abs{x - a} < \delta$ , et proche de $\infty$ si $x > M$ ;
la valeur est proche du nombre $L$ si $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ , et proche de $\infty$ si $f(x) > N$ .

La définition de la leçon sur la limite combine la première forme de chaque ligne ; cette leçon, la seconde de la première ligne avec la première de la seconde ; la leçon sur les limites infinies, les formes restantes. La première proposition de cette leçon montre les deux usages avec une même fonction.