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Topos Uranos
Français

Limites infinies

Résumé

Cette leçon étudie les fonctions dont les valeurs croissent sans être majorées ou décroissent sans être minorées. Elle complète le schéma commun des définitions de limite avec la case qui manquait, celle de la valeur au voisinage de ∞\infty, et elle distingue les limites infinies, qui sont une manière précise de ne pas avoir de limite, des autres formes de divergence. Un seul lemme, celui de l’inverse, ramène les limites infinies à des limites égales à zéro, de sorte que les règles pour la somme, le produit et le quotient se déduisent de celles des opérations sur les limites ; seuls la comparaison, le théorème des fonctions monotones non bornées et la composition demandent un argument propre. Avec eux se complètent deux résultats que les leçons qui précèdent avaient laissés en suspens : le quotient dont le dénominateur tend vers zéro et les fonctions rationnelles dont le numérateur est de plus haut degré. La leçon montre aussi pourquoi les formes indéterminées ne sont pas des règles, et se termine par la composition avec des limites infinies.

Objectifs d’apprentissage

  1. Définir avec le schéma du défi et de la réponse les limites infinies, en un point, d’un côté et à l’infini, et les distinguer des autres formes de divergence.
  2. Démontrer le lemme de l’inverse et en déduire, avec la comparaison, les règles pour la somme, le produit et le quotient avec des limites infinies.
  3. Reconnaître les formes indéterminées et montrer par des exemples qu’elles peuvent donner n’importe quel résultat.
  4. Calculer des limites infinies de polynômes, de fonctions rationnelles, de fonctions trigonométriques et de composées, et démontrer le théorème des fonctions monotones non bornées.

La case qui manquait

Dans la leçon sur les limites quand la variable tend vers l’infini, on a décrit un schéma commun : toute définition de limite est un défi sur les valeurs assorti d’une réponse sur la variable, et seul change ce que signifie être proche de chacune d’elles. Pour la variable, toutes les formes ont déjà servi : au voisinage d’un nombre aa, d’un côté de ce nombre, ou au voisinage de ±∞\pm\infty. Pour les valeurs, une seule : au voisinage d’un nombre LL. Cette leçon complète le schéma avec la forme restante, où la valeur est au voisinage de ∞\infty, c’est-à-dire f(x)>Nf(x) > N, ou au voisinage de −∞-\infty, c’est-à-dire f(x)<Nf(x) < N.

DéfinitionLimites infinies

Soit aa un point d’accumulation de l’ensemble de définition AA de ff. On dit que ff tend vers l’infini quand xx tend vers aa, et l’on écrit lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty, si pour tout réel NN il existe un δ>0\delta > 0 tel que f(x)>Nf(x) > N pour tout xx de AA tel que 0<∣x−a∣<δ0 < \abs{x - a} < \delta. De même, lim⁡x→af(x)=−∞\lim_{x \to a} f(x) = -\infty si pour tout NN il existe un δ>0\delta > 0 tel que f(x)<Nf(x) < N en ces xx.

Écrite avec des quantificateurs, la définition a la forme habituelle ; le défi est maintenant un demi-plan supérieur, celui des points d’ordonnée strictement supérieure à NN :

lim⁡x→af(x)=∞↔(∀N)(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−a∣<δ→f(x)>N)\lim_{x \to a} f(x) = \infty \leftrightarrow (\forall N)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow f(x) > N\right)

Les variantes s’obtiennent en changeant seulement la réponse, comme dans les leçons qui précèdent : lim⁡x→a+f(x)=∞\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty si la condition est vraie pour a<x<a+δa < x < a + \delta ; lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty s’il existe un MM tel qu’elle soit vraie pour x>Mx > M ; et ainsi de suite dans les autres cas. Dans la suite, PP désigne n’importe laquelle des cibles de la variable (aa, a+a^+, a−a^-, ∞\infty ou −∞-\infty), et « au voisinage de PP » signifie dans un intervalle épointé, d’un côté ou sur une demi-droite, selon le cas. Toutes les démonstrations de la leçon n’utilisent qu’une propriété commune : deux conditions vraies au voisinage de PP sont vraies simultanément au voisinage de PP, en prenant le plus petit de deux rayons ou le plus grand de deux seuils. Les théorèmes sur les limites finies que l’on cite en une cible PP quelconque (l’unicité, le caractère localement borné, la conservation du signe, les opérations sur les limites et les lemmes de la leçon sur les opérations sur les limites) valent en chacune d’elles grâce à la leçon sur les limites à gauche et à droite et au lemme d’inversion de la leçon qui précède, dont la correspondance δ=1M\delta = \frac{1}{M} entre le seuil et le rayon transporte de la même manière les limites infinies, parce qu’elle ne dépend pas de la forme du défi.

Il convient d’insister sur ce que dit l’écriture. Si lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty, la fonction n’a pas de limite en aa au sens de la leçon sur la limite des fonctions d’une variable réelle, parce qu’elle n’est pas bornée au voisinage de aa, et le caractère localement borné dit qu’une fonction qui a une limite l’est. L’égalité avec ∞\infty décrit une manière précise de ne pas avoir de limite. On dit que ff diverge en PP si elle n’y a pas de limite finie ; tendre vers ∞\infty ou vers −∞-\infty sont deux manières de diverger, mais non les seules. La fonction sin⁡1x\sin \frac{1}{x} diverge en 00 et est bornée ; la fonction 1xsin⁡1x\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x} diverge en 00, n’est pas bornée au voisinage de 00 et, pourtant, ne tend ni vers ∞\infty ni vers −∞-\infty, parce qu’elle s’annule en des points aussi proches de 00 que l’on veut.

PropositionLes inverses de x2x^2 et de xx en zéro

lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty. En revanche, lim⁡x→0+1x=∞\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty et lim⁡x→0−1x=−∞\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty, de sorte que 1x\frac{1}{x} ne tend ni vers ∞\infty ni vers −∞-\infty quand xx tend vers 00. La réponse au défi NN est la racine de l’inverse de NN. Sur la figure, le demi-plan supérieur est le défi ; la bande verticale contre 00, la réponse.

Démonstration

  1. δ=1N\delta = \dato{d}{\frac{1}{\sqrt{N}}}

    Soit NN un réel ; il suffit de considérer N>0N > 0, car répondre à un défi plus grand, c’est répondre à tous les plus petits. On prend comme réponse la racine carrée de son inverse.

  2. 0<x2<1N→1x2>N0 < x^2 < \frac{1}{N} \rightarrow \resaltar{\frac{1}{x^2} > N}

    Si 0<∣x∣<δ0 < \abs{x} < \delta, le carré de xx est strictement positif et strictement inférieur à 1N\frac{1}{N} ; par passage à l’inverse de nombres strictement positifs, l’inégalité change de sens.

  3. 0<x<1N→1x>N,−1N<x<0→1x<−N0 < x < \frac{1}{N} \rightarrow \frac{1}{x} > N, \qquad -\frac{1}{N} < x < 0 \rightarrow \frac{1}{x} < -N

    Pour 1x\frac{1}{x} à droite, la proposition sur l’inverse de la leçon qui précède donne la réponse δ=1N\delta = \frac{1}{N}. À gauche, 1x\frac{1}{x} est l’opposé de 1−x\frac{1}{-x}, et −x-x est à droite de 00 : les valeurs sont strictement inférieures à −N-N.

  4. lim⁡x→0+1x=∞≠−∞=lim⁡x→0−1x\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty \neq -\infty = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}

    Dans tout intervalle épointé de centre 00, il y a des valeurs de 1x\frac{1}{x} strictement supérieures à 11 et strictement inférieures à −1-1 : aucun δ\delta ne répond au défi N=1N = 1 pour ∞\infty, ni au défi N=−1N = -1 pour −∞-\infty.