انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

النهايات اللانهائية

ملخص

يدرس هذا الدرس الدوالَّ التي تتزايد قيمها أو تتناقص بلا حد. وهو يكمل المخطط المشترك لتعريفات النهاية بالخانة التي كانت ناقصة، خانة القيمة القريبة من ∞\infty، ويميّز النهايات اللانهائية، وهي طريقة دقيقة لعدم وجود النهاية، من سائر أشكال التباعد. وتوطئة واحدة، هي توطئة المقلوب، تُرجع النهايات اللانهائية إلى نهايات تساوي الصفر، بحيث تُستنتج قواعد المجموع والجداء وخارج القسمة من قواعد جبر النهايات؛ ولا يتطلب حجةً خاصة إلا المقارنة ومبرهنة الدوال الرتيبة غير المحدودة والتركيب. وبها تكتمل نتيجتان تركتهما الدروس الماضية ناقصتين: خارج القسمة الذي يؤول مقامه إلى الصفر، والدوال الكسرية التي درجة بسطها أكبر. ويبيّن الدرس أيضًا لماذا ليست حالات عدم التعيين قواعد، ويختم بالتركيب مع النهايات اللانهائية.

أهداف التعلم

  1. أن يعرّف بمخطط التحدي والرد النهاياتِ اللانهائية، عند نقطة ومن جهة واحدة وعند اللانهاية، وأن يميّزها من سائر أشكال التباعد.
  2. أن يبرهن توطئة المقلوب وأن يستنتج منها ومن المقارنة قواعد المجموع والجداء وخارج القسمة مع النهايات اللانهائية.
  3. أن يتعرّف حالات عدم التعيين وأن يبيّن بأمثلة أنها قد تعطي أي نتيجة.
  4. أن يحسب النهايات اللانهائية لكثيرات الحدود والدوال الكسرية والدوال المثلثية والتراكيب، وأن يبرهن مبرهنة الدوال الرتيبة غير المحدودة.

الخانة الناقصة

في الدرس عن النهايات عندما يؤول المتغير إلى اللانهاية وُصف مخطط مشترك: كل تعريف للنهاية تحدٍّ يخص القيم مع ردٍّ يخص المتغير، ولا يتغير إلا معنى القرب من كل منهما. أما المتغير فقد استُعملت له كل الأشكال: القرب من عدد aa، أو جهة واحدة منه، أو القرب من ±∞\pm\infty. وأما القيم فشكل واحد فقط: القرب من عدد LL. ويكمل هذا الدرس المخطط بالشكل الباقي، الذي تكون فيه القيمة قريبة من ∞\infty، أي f(x)>Nf(x) > N، أو قريبة من −∞-\infty، أي f(x)<Nf(x) < N.

تعريفالنهايات اللانهائية

لتكن aa نقطة تراكم لمجال التعريف AA للدالة ff. يقال إن ff تؤول إلى اللانهاية عندما يؤول xx إلى aa، ويُكتب lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty، إذا وُجد، لكل عدد حقيقي NN، عدد δ>0\delta > 0 بحيث f(x)>Nf(x) > N لكل xx من AA مع 0<∣x−a∣<δ0 < \abs{x - a} < \delta. وبالمثل، lim⁡x→af(x)=−∞\lim_{x \to a} f(x) = -\infty إذا وُجد، لكل NN، عدد δ>0\delta > 0 بحيث f(x)<Nf(x) < N عند قيم xx هذه.

مكتوبًا بالمكممات، يأخذ التعريف الشكل المعتاد؛ والتحدي الآن نصف مستوى علوي، هو نصف مستوى النقاط التي ترتيبها أكبر من NN:

lim⁡x→af(x)=∞↔(∀N)(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−a∣<δ→f(x)>N)\lim_{x \to a} f(x) = \infty \leftrightarrow (\forall N)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow f(x) > N\right)

تُحصل الصيغ الأخرى بتغيير الرد وحده، كما في الدروس الماضية: lim⁡x→a+f(x)=∞\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty إذا تحقق الشرط من أجل a<x<a+δa < x < a + \delta؛ lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty إذا وُجد MM بحيث يتحقق من أجل x>Mx > M؛ وهكذا في سائر الحالات. وفيما يأتي، يدل PP على أي مآل من مآلات المتغير (aa أو a+a^+ أو a−a^- أو ∞\infty أو −∞-\infty)، ويعني «قرب PP» في جوار مثقوب، أو من جهة واحدة، أو على نصف مستقيم، بحسب الحالة. وكل براهين الدرس لا تستعمل إلا خاصية مشتركة واحدة: الشرطان اللذان يتحققان قرب PP يتحققان معًا قرب PP، بأخذ أصغرِ نصفَي القطرين أو أكبرِ الحدّين. والمبرهنات عن النهايات المنتهية التي يُستشهد بها في مآل PP ما (الوحدانية، والمحدودية المحلية، وحفظ الإشارة، وجبر النهايات، وتوطئات الدرس عن جبر النهايات) صحيحة في جميعها بفضل الدرس عن النهايات من جهة واحدة وتوطئة التعاكس من الدرس الماضي، التي ينقل تقابلها δ=1M\delta = \frac{1}{M} بين الحدّ ونصف القطر النهاياتِ اللانهائية بالطريقة نفسها، لأنه لا يتوقف على شكل التحدي.

ومن المفيد التشديد على ما تقوله الكتابة. إذا كان lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty، فإن الدالة ليس لها نهاية عند aa بمعنى الدرس عن نهاية الدوال لمتغير حقيقي واحد، لأنها غير محدودة قرب aa، والمحدودية المحلية تقول إن الدالة التي لها نهاية محدودة. والمساواة بـ ∞\infty تصف طريقة دقيقة لعدم وجود النهاية. ويقال إن ff تتباعد عند PP إذا لم تكن لها نهاية منتهية عنده؛ والأيلولة إلى ∞\infty أو إلى −∞-\infty شكلان من أشكال التباعد، لكنهما ليسا الوحيدين. فالدالة sin⁡1x\sin \frac{1}{x} تتباعد عند 00 وهي محدودة؛ والدالة 1xsin⁡1x\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x} تتباعد عند 00، وهي غير محدودة قرب 00، ومع ذلك لا تؤول إلى ∞\infty ولا إلى −∞-\infty، لأنها تنعدم في نقاط قريبة من 00 قدر ما نشاء.

قضيةمقلوب x2x^2 ومقلوب xx عند الصفر

lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty. وفي المقابل، lim⁡x→0+1x=∞\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty وlim⁡x→0−1x=−∞\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty، ومن ثم فإن 1x\frac{1}{x} لا تؤول إلى ∞\infty ولا إلى −∞-\infty عندما يؤول xx إلى 00. الرد على التحدي NN هو جذر مقلوب NN. في الرسم، نصف المستوى العلوي هو التحدي؛ والشريط بجوار 00 هو الرد.

البرهان

  1. δ=1N\delta = \dato{d}{\frac{1}{\sqrt{N}}}

    ليكن NN عددًا حقيقيًا؛ يكفي النظر في N>0N > 0، لأن الرد على تحدٍّ أكبر يردّ على كل التحديات الأصغر. ويؤخذ ردًّا الجذرُ التربيعي لمقلوبه.

  2. 0<x2<1N→1x2>N0 < x^2 < \frac{1}{N} \rightarrow \resaltar{\frac{1}{x^2} > N}

    إذا كان 0<∣x∣<δ0 < \abs{x} < \delta، فإن مربع xx موجب وأصغر من 1N\frac{1}{N}؛ وعند أخذ مقلوبات أعداد موجبة تنعكس المتباينة.

  3. 0<x<1N→1x>N,−1N<x<0→1x<−N0 < x < \frac{1}{N} \rightarrow \frac{1}{x} > N, \qquad -\frac{1}{N} < x < 0 \rightarrow \frac{1}{x} < -N

    من أجل 1x\frac{1}{x} من اليمين، تعطي قضية المقلوب من الدرس الماضي الرد δ=1N\delta = \frac{1}{N}. ومن اليسار، 1x\frac{1}{x} هو معاكس 1−x\frac{1}{-x}، و−x-x يقع على يمين 00: القيم أصغر من −N-N.

  4. lim⁡x→0+1x=∞≠−∞=lim⁡x→0−1x\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty \neq -\infty = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}

    في كل جوار مثقوب مركزه 00 توجد قيم لـ 1x\frac{1}{x} أكبر من 11 وأصغر من −1-1: لا يردّ أي δ\delta على التحدي N=1N = 1 من أجل ∞\infty، ولا على التحدي N=−1N = -1 من أجل −∞-\infty.