अनंत सीमाएँ

छूटा हुआ खाना

चर के अनंत की ओर अग्रसर होने पर सीमाएँ वाले पाठ में एक साझा ढाँचा बताया गया था: सीमा की प्रत्येक परिभाषा मानों के बारे में एक चुनौती है जिसके साथ चर के बारे में एक प्रत्युत्तर है, और बदलता केवल यह है कि प्रत्येक वस्तु के निकट होने का क्या अर्थ है। चर के लिए सभी रूप पहले ही प्रयुक्त हो चुके हैं: किसी संख्या $a$ के निकट, उसके एक पक्ष में, या $\pm\infty$ के निकट। मानों के लिए केवल एक: किसी संख्या $L$ के निकट। यह पाठ ढाँचे को शेष रूप से पूरा करता है, जिसमें मान $\infty$ के निकट होता है, अर्थात $f(x) > N$, या $-\infty$ के निकट, अर्थात $f(x) < N$।

परिमाणकों से लिखने पर परिभाषा का रूप सदा जैसा ही है; चुनौती अब एक ऊपरी अर्धतल है, उन बिंदुओं का जिनकी कोटि $N$ से बड़ी है:

अन्य रूप केवल प्रत्युत्तर बदलकर प्राप्त होते हैं, जैसा पिछले पाठों में: $\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty$ यदि शर्त $a < x < a + \delta$ के लिए लागू हो; $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ यदि एक $M$ विद्यमान हो जिससे शर्त $x > M$ के लिए लागू हो; और इसी प्रकार शेष स्थितियों में। आगे, $P$ चर के गंतव्यों में से किसी को भी सूचित करता है ($a$, $a^+$, $a^-$, $\infty$ या $-\infty$), और “$P$ के निकट” का अर्थ है, स्थिति के अनुसार, किसी छिद्रित सामीप्य में, एक पक्ष में या किसी किरण पर। पाठ की सभी उपपत्तियाँ केवल एक साझा गुण का उपयोग करती हैं: $P$ के निकट लागू होने वाली दो शर्तें एक साथ $P$ के निकट लागू होती हैं, दो त्रिज्याओं में से छोटी या दो परिबंधों में से बड़ा लेकर। परिमित सीमाओं की जो प्रमेयें किसी भी गंतव्य $P$ पर उद्धृत की जाती हैं (अद्वितीयता, स्थानीय परिबद्धता, चिह्न का संरक्षण, सीमाओं का बीजगणित और सीमाओं के बीजगणित वाले पाठ की प्रमेयिकाएँ), वे इन सभी में लागू होती हैं, एकपक्षीय सीमाओं वाले पाठ के कारण और पिछले पाठ की प्रतिलोमन प्रमेयिका के कारण, जिसका परिबंध और त्रिज्या के बीच का संगति-संबंध $\delta = \frac{1}{M}$ अनंत सीमाओं को भी उसी प्रकार स्थानांतरित करता है, क्योंकि वह चुनौती के रूप पर निर्भर नहीं करता।

यह ज़ोर देना उचित है कि यह लेखन क्या कहता है। यदि $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$, तो फलन की $a$ पर कोई सीमा नहीं होती, एक वास्तविक चर के फलनों की सीमा वाले पाठ के अर्थ में, क्योंकि वह $a$ के निकट परिबद्ध नहीं है, और स्थानीय परिबद्धता कहती है कि सीमा वाला फलन परिबद्ध होता है। $\infty$ के साथ समता सीमा न होने का एक सटीक ढंग बताती है। कहा जाता है कि $f$, $P$ पर अपसरित होता है यदि वहाँ उसकी कोई परिमित सीमा नहीं है; $\infty$ या $-\infty$ की ओर अग्रसर होना अपसरण के दो रूप हैं, पर एकमात्र नहीं। फलन $\sin \frac{1}{x}$, $0$ पर अपसरित होता है और परिबद्ध है; फलन $\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$, $0$ पर अपसरित होता है, $0$ के निकट परिबद्ध नहीं है, और फिर भी न $\infty$ की ओर अग्रसर होता है न $-\infty$ की ओर, क्योंकि वह $0$ के इच्छानुसार निकट बिंदुओं पर शून्य हो जाता है।