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Topos Uranos
Português

Limites infinitos

Resumo

Esta aula estuda as funções cujos valores crescem ou decrescem ilimitadamente. Completa o esquema comum das definições de limite com a casa que faltava, a do valor perto de ∞\infty, e distingue os limites infinitos, que são uma maneira precisa de não ter limite, das demais formas de divergência. Um único lema, o do inverso, reduz os limites infinitos a limites iguais a zero, de modo que as regras para a soma, o produto e o quociente se deduzem das da álgebra dos limites; só a comparação, o teorema das funções monótonas ilimitadas e a composição exigem um argumento próprio. Com eles completam-se dois resultados que as aulas precedentes deixaram pela metade: o quociente com denominador que tende a zero e as funções racionais com numerador de grau maior. A aula mostra também por que as formas indeterminadas não são regras, e termina com a composição com limites infinitos.

Objetivos de aprendizagem

  1. Definir com o esquema do desafio e da resposta os limites infinitos, num ponto, de um lado e no infinito, e distingui-los das demais formas de divergência.
  2. Demonstrar o lema do inverso e deduzir dele e da comparação as regras para a soma, o produto e o quociente com limites infinitos.
  3. Reconhecer as formas indeterminadas e mostrar com exemplos que elas podem dar qualquer resultado.
  4. Calcular limites infinitos de polinômios, funções racionais, funções trigonométricas e composições, e demonstrar o teorema das funções monótonas ilimitadas.

A casa que faltava

Na aula sobre os limites quando a variável tende ao infinito descreveu-se um esquema comum: toda definição de limite é um desafio sobre os valores com uma resposta sobre a variável, e só muda o que significa estar perto de cada coisa. Para a variável, já se usaram todas as formas: perto de um número aa, de um lado dele, ou perto de ±∞\pm\infty. Para os valores, só uma: perto de um número LL. Esta aula completa o esquema com a forma restante, em que o valor está perto de ∞\infty, isto é, f(x)>Nf(x) > N, ou perto de −∞-\infty, isto é, f(x)<Nf(x) < N.

DefiniçãoLimites infinitos

Seja aa um ponto de acumulação do domínio AA de ff. Diz-se que ff tende ao infinito quando xx tende a aa, e escreve-se lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty, se para todo real NN existe um δ>0\delta > 0 tal que f(x)>Nf(x) > N para todo xx de AA com 0<∣x−a∣<δ0 < \abs{x - a} < \delta. Do mesmo modo, lim⁡x→af(x)=−∞\lim_{x \to a} f(x) = -\infty se para todo NN existe um δ>0\delta > 0 tal que f(x)<Nf(x) < N nesses xx.

Escrita com quantificadores, a definição tem a forma de sempre; o desafio é agora um semiplano superior, o dos pontos com ordenada maior que NN:

lim⁡x→af(x)=∞↔(∀N)(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−a∣<δ→f(x)>N)\lim_{x \to a} f(x) = \infty \leftrightarrow (\forall N)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow f(x) > N\right)

As variantes obtêm-se mudando só a resposta, como nas aulas precedentes: lim⁡x→a+f(x)=∞\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty se a condição vale para a<x<a+δa < x < a + \delta; lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty se existe um MM tal que ela vale para x>Mx > M; e assim nos demais casos. No que segue, PP designa qualquer um dos destinos da variável (aa, a+a^+, a−a^-, ∞\infty ou −∞-\infty), e «perto de PP» significa num intervalo perfurado, de um lado ou numa semirreta, conforme o caso. Todas as demonstrações da aula usam só uma propriedade comum: duas condições que valem perto de PP valem ao mesmo tempo perto de PP, tomando o menor de dois raios ou a maior de duas cotas. Os teoremas sobre limites finitos que se citam num destino PP qualquer (a unicidade, a limitação local, a conservação do sinal, a álgebra dos limites e os lemas da aula sobre a álgebra dos limites) valem em todos eles pela aula sobre os limites laterais e pelo lema da inversão da aula precedente, cuja correspondência δ=1M\delta = \frac{1}{M} entre a cota e o raio transporta do mesmo modo os limites infinitos, porque não depende da forma do desafio.

Convém insistir no que a escrita diz. Se lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty, a função não tem limite em aa no sentido da aula sobre o limite de funções de uma variável real, porque não é limitada perto de aa, e a limitação local diz que uma função com limite o é. A igualdade com ∞\infty descreve uma maneira precisa de não ter limite. Diz-se que ff diverge em PP se não tem limite finito nele; tender a ∞\infty ou a −∞-\infty são duas formas de divergir, mas não as únicas. A função sin⁡1x\sin \frac{1}{x} diverge em 00 e é limitada; a função 1xsin⁡1x\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x} diverge em 00, não é limitada perto de 00 e, no entanto, não tende nem a ∞\infty nem a −∞-\infty, porque se anula em pontos tão próximos de 00 quanto se queira.

ProposiçãoOs inversos de x2x^2 e de xx em zero

lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty. Em contrapartida, lim⁡x→0+1x=∞\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty e lim⁡x→0−1x=−∞\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty, de modo que 1x\frac{1}{x} não tende nem a ∞\infty nem a −∞-\infty quando xx tende a 00. A resposta ao desafio NN é a raiz do inverso de NN. Na figura, o semiplano superior é o desafio; a faixa vertical junto a 00, a resposta.

Demonstração

  1. δ=1N\delta = \dato{d}{\frac{1}{\sqrt{N}}}

    Seja NN um real; basta considerar N>0N > 0, porque responder a um desafio maior responde a todos os menores. Toma-se como resposta a raiz quadrada do seu inverso.

  2. 0<x2<1N→1x2>N0 < x^2 < \frac{1}{N} \rightarrow \resaltar{\frac{1}{x^2} > N}

    Se 0<∣x∣<δ0 < \abs{x} < \delta, o quadrado de xx é positivo e menor que 1N\frac{1}{N}; ao tomar inversos de números positivos, a desigualdade se inverte.

  3. 0<x<1N→1x>N,−1N<x<0→1x<−N0 < x < \frac{1}{N} \rightarrow \frac{1}{x} > N, \qquad -\frac{1}{N} < x < 0 \rightarrow \frac{1}{x} < -N

    Para 1x\frac{1}{x} pela direita, a proposição do inverso da aula precedente dá a resposta δ=1N\delta = \frac{1}{N}. Pela esquerda, 1x\frac{1}{x} é o oposto de 1−x\frac{1}{-x}, e −x-x está à direita de 00: os valores são menores que −N-N.

  4. lim⁡x→0+1x=∞≠−∞=lim⁡x→0−1x\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty \neq -\infty = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}

    Em todo intervalo perfurado de centro 00 há valores de 1x\frac{1}{x} maiores que 11 e menores que −1-1: nenhum δ\delta responde ao desafio N=1N = 1 para ∞\infty, nem ao desafio N=−1N = -1 para −∞-\infty.