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Topos Uranos
中文 (中国)

无穷极限

摘要

本课研究其值无界地增大或无界地减小的函数。本课用缺少的那一格，即值在 ∞\infty 附近的那一格，补全极限定义的共同模式，并把无穷极限（它是没有极限的一种精确方式）与其他形式的发散区分开来。唯一的一个引理，即倒数引理，把无穷极限归结为等于零的极限，从而和、积与商的法则可以由极限的运算法则推出；只有比较、无界单调函数定理和复合需要专门的论证。借助它们，前几课留下的两个未完成的结果得以补全：分母趋于零的商，以及分子次数较高的有理函数。本课还说明为什么不定式不是法则，最后讨论与无穷极限的复合。

学习目标

  1. 用挑战与回应的模式定义无穷极限（在一点处、单侧以及在无穷远处），并把它们与其他形式的发散区分开来。
  2. 证明倒数引理，并由它和比较推出含无穷极限的和、积与商的法则。
  3. 识别不定式，并举例说明它们可以得出任何结果。
  4. 计算多项式、有理函数、三角函数和复合函数的无穷极限，并证明无界单调函数定理。

缺少的那一格

在关于自变量趋于无穷大时的极限的那一课中，描述了一个共同模式：每个极限定义都是关于值的挑战与关于自变量的回应，变化的只是接近每一种对象意味着什么。对自变量，所有形式都已用过：在一个数 aa 附近，在它的一侧，或在 ±∞\pm\infty 附近。对值，只用过一种：在一个数 LL 附近。本课用剩下的形式补全这个模式，即值在 ∞\infty 附近，也就是 f(x)>Nf(x) > N，或在 −∞-\infty 附近，也就是 f(x)<Nf(x) < N。

定义无穷极限

设 aa 是集合 AA（函数 ff 的定义域）的聚点。称 ff 当 xx 趋于 aa 时趋于无穷大，并记作 lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty，如果对任意实数 NN，存在 δ>0\delta > 0，使得 f(x)>Nf(x) > N 对每个 xx（属于 AA 且满足 0<∣x−a∣<δ0 < \abs{x - a} < \delta）成立。同样，lim⁡x→af(x)=−∞\lim_{x \to a} f(x) = -\infty，如果对任意 NN 存在 δ>0\delta > 0，使得 f(x)<Nf(x) < N 在这些 xx 处成立。

用量词写出，定义具有通常的形式；挑战现在是一个上半平面，即纵坐标大于 NN 的点构成的上半平面：

lim⁡x→af(x)=∞↔(∀N)(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−a∣<δ→f(x)>N)\lim_{x \to a} f(x) = \infty \leftrightarrow (\forall N)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow f(x) > N\right)

各种变体只需改变回应即可得到，与前几课一样：lim⁡x→a+f(x)=∞\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty，如果条件在 a<x<a+δa < x < a + \delta 时成立；lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty，如果存在 MM 使条件在 x>Mx > M 时成立；其余情形依此类推。下文中，PP 表示自变量的任一趋向目标（aa、a+a^+、a−a^-、∞\infty 或 −∞-\infty），而“在 PP 附近”根据情形分别指在一个去心邻域中、在一侧或在一条射线上。本课的所有证明只用到一个共同的性质：在 PP 附近成立的两个条件同时在 PP 附近成立，只需取两个半径中较小者或两个界中较大者。在任意趋向目标 PP 下所引用的关于有限极限的定理（唯一性、局部有界性、局部保号性、极限的运算法则以及极限的运算法则那一课中的引理），由于单侧极限那一课以及前一课的反演引理，对所有这些趋向目标都成立；反演引理在界与半径之间的对应 δ=1M\delta = \frac{1}{M} 同样可以移用无穷极限，因为它不依赖于挑战的形式。

有必要强调这种写法所说的内容。若 lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty，则函数在 aa 处没有极限（按实变量函数的极限那一课的意义），因为它在 aa 附近无界，而局部有界性说明有极限的函数在那里有界。等式中出现 ∞\infty，描述的是没有极限的一种精确方式。若 ff 在 PP 处没有有限极限，则称它在那里发散；趋于 ∞\infty 或趋于 −∞-\infty 是两种发散形式，但不是仅有的形式。函数 sin⁡1x\sin \frac{1}{x} 在 00 处发散且有界；函数 1xsin⁡1x\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x} 在 00 处发散，在 00 附近无界，然而既不趋于 ∞\infty 也不趋于 −∞-\infty，因为它在任意接近 00 的点处为零。

命题x2x^2 与 xx 的倒数在零处

lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty。与此不同，lim⁡x→0+1x=∞\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty 且 lim⁡x→0−1x=−∞\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty，因此 1x\frac{1}{x} 既不趋于 ∞\infty 也不趋于 −∞-\infty（当 xx 趋于 00 时）。 对挑战 NN 的回应是 NN 的倒数的平方根。图中，上半平面是挑战；00 旁边的带形区域是回应。

证明

  1. δ=1N\delta = \dato{d}{\frac{1}{\sqrt{N}}}

    设 NN 为实数；只需考虑 N>0N > 0，因为回应较大挑战的也回应所有较小的挑战。取其倒数的平方根作为回应。

  2. 0<x2<1N→1x2>N0 < x^2 < \frac{1}{N} \rightarrow \resaltar{\frac{1}{x^2} > N}

    若 0<∣x∣<δ0 < \abs{x} < \delta，则 xx 的平方为正且小于 1N\frac{1}{N}；对正数取倒数时，不等式反向。

  3. 0<x<1N→1x>N,−1N<x<0→1x<−N0 < x < \frac{1}{N} \rightarrow \frac{1}{x} > N, \qquad -\frac{1}{N} < x < 0 \rightarrow \frac{1}{x} < -N

    对右侧的 1x\frac{1}{x}，前一课关于倒数的命题给出回应 δ=1N\delta = \frac{1}{N}。在左侧，1x\frac{1}{x} 是 1−x\frac{1}{-x} 的相反数，而 −x-x 在 00 的右侧：函数值小于 −N-N。

  4. lim⁡x→0+1x=∞≠−∞=lim⁡x→0−1x\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty \neq -\infty = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}

    在每个以 00 为中心的去心邻域中，1x\frac{1}{x} 都有大于 11 的值和小于 −1-1 的值：任何 δ\delta 都既不能回应挑战 N=1N = 1（对于 ∞\infty），也不能回应挑战 N=−1N = -1（对于 −∞-\infty）。