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Topos Uranos
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Límites infinitos

Resumen

Esta clase estudia las funciones cuyos valores crecen o decrecen sin cota. Completa el esquema común de las definiciones de límite con la casilla que faltaba, la del valor cerca de ∞\infty, y distingue los límites infinitos, que son una manera precisa de no tener límite, de las demás formas de divergencia. Un solo lema, el del recíproco, reduce los límites infinitos a límites iguales a cero, de modo que las reglas para la suma, el producto y el cociente se deducen de las del álgebra de límites; solo la comparación y el teorema de las funciones monótonas no acotadas requieren un argumento propio. Con ellos se completan dos resultados que las clases anteriores dejaron a medias: el cociente con denominador que tiende a cero y las funciones racionales con numerador de grado mayor. La clase muestra también por qué las formas indeterminadas no son reglas, y termina con la composición con límites infinitos.

Objetivos de aprendizaje

  1. Definir con el esquema del desafío y la respuesta los límites infinitos, en un punto, a un lado y en el infinito, y distinguirlos de las demás formas de divergencia.
  2. Demostrar el lema del recíproco y deducir de él y de la comparación las reglas para la suma, el producto y el cociente con límites infinitos.
  3. Reconocer las formas indeterminadas y mostrar con ejemplos que pueden dar cualquier resultado.
  4. Calcular límites infinitos de polinomios, funciones racionales, funciones trigonométricas y composiciones, y demostrar el teorema de las funciones monótonas no acotadas.

La casilla que faltaba

En la clase sobre los límites cuando la variable tiende a infinito se describió un esquema común: toda definición de límite es un desafío sobre los valores con una respuesta sobre la variable, y solo cambia qué significa estar cerca de cada cosa. Para la variable, ya se usaron todas las formas: cerca de un número aa, a un lado de él, o cerca de ±∞\pm\infty. Para los valores, solo una: cerca de un número LL. Esta clase completa el esquema con la forma restante, en que el valor está cerca de ∞\infty, es decir, f(x)>Nf(x) > N, o cerca de −∞-\infty, es decir, f(x)<Nf(x) < N.

DefiniciónLímites infinitos

Sea aa un punto de acumulación del dominio AA de ff. Se dice que ff tiende a infinito cuando xx tiende a aa, y se escribe lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty, si para todo real NN existe un δ>0\delta > 0 tal que f(x)>Nf(x) > N para todo xx de AA con 0<∣x−a∣<δ0 < \abs{x - a} < \delta. Del mismo modo, lim⁡x→af(x)=−∞\lim_{x \to a} f(x) = -\infty si para todo NN existe un δ>0\delta > 0 tal que f(x)<Nf(x) < N en esos xx.

Escrita con cuantificadores, la definición tiene la forma de siempre; el desafío es ahora un semiplano superior, el de los puntos con ordenada mayor que NN:

lim⁡x→af(x)=∞↔(∀N)(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−a∣<δ→f(x)>N)\lim_{x \to a} f(x) = \infty \leftrightarrow (\forall N)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow f(x) > N\right)

Las variantes se obtienen cambiando solo la respuesta, como en las clases anteriores: lim⁡x→a+f(x)=∞\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty si la condición vale para a<x<a+δa < x < a + \delta; lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty si existe un MM tal que vale para x>Mx > M; y así en los demás casos. En lo que sigue, PP designa cualquiera de los destinos de la variable (aa, a+a^+, a−a^-, ∞\infty o −∞-\infty), y «cerca de PP» significa en un intervalo reducido, a un lado o en una semirrecta, según el caso. Todas las demostraciones de la clase usan solo una propiedad común: dos condiciones que valen cerca de PP valen a la vez cerca de PP, tomando el menor de dos radios o la mayor de dos cotas.

Conviene insistir en lo que la escritura dice. Si lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty, la función no tiene límite en aa en el sentido de la clase sobre el límite, porque no está acotada cerca de aa, y la acotación local dice que una función con límite lo está. La igualdad con ∞\infty describe una manera precisa de no tener límite. Se dice que ff diverge en PP si no tiene límite finito en él; tender a ∞\infty o a −∞-\infty son dos formas de diverger, pero no las únicas. La función sin⁡1x\sin \frac{1}{x} diverge en 00 y está acotada; la función 1xsin⁡1x\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x} diverge en 00, no está acotada cerca de 00 y, sin embargo, no tiende ni a ∞\infty ni a −∞-\infty, porque se anula en puntos tan cercanos a 00 como se quiera.

ProposiciónLos recíprocos de x2x^2 y de xx en cero

lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty. En cambio, lim⁡x→0+1x=∞\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty y lim⁡x→0−1x=−∞\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty, de modo que 1x\frac{1}{x} no tiende ni a ∞\infty ni a −∞-\infty cuando xx tiende a 00. La respuesta al desafío NN es la raíz del recíproco de NN. En la figura, el semiplano superior es el desafío; la franja junto a 00, la respuesta.

Demostración

  1. δ=1N\delta = \dato{d}{\frac{1}{\sqrt{N}}}

    Sea NN un real; basta considerar N>0N > 0, porque responder a un desafío mayor responde a todos los menores. Se toma como respuesta la raíz cuadrada de su recíproco.

  2. 0<x2<1N→1x2>N0 < x^2 < \frac{1}{N} \rightarrow \resaltar{\frac{1}{x^2} > N}

    Si 0<∣x∣<δ0 < \abs{x} < \delta, el cuadrado de xx es positivo y menor que 1N\frac{1}{N}; al tomar recíprocos de números positivos, la desigualdad se invierte.

  3. 0<x<1N→1x>N,−1N<x<0→1x<−N0 < x < \frac{1}{N} \rightarrow \frac{1}{x} > N, \qquad -\frac{1}{N} < x < 0 \rightarrow \frac{1}{x} < -N

    Para 1x\frac{1}{x} por la derecha, la proposición del recíproco de la clase anterior da la respuesta δ=1N\delta = \frac{1}{N}. Por la izquierda, 1x\frac{1}{x} es el opuesto de 1−x\frac{1}{-x}, y −x-x está a la derecha de 00: los valores son menores que −N-N.

  4. lim⁡x→0+1x=∞≠−∞=lim⁡x→0−1x\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty \neq -\infty = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}

    En todo intervalo reducido de centro 00 hay valores de 1x\frac{1}{x} mayores que 11 y menores que −1-1: ningún δ\delta responde al desafío N=1N = 1 para ∞\infty, ni al desafío N=−1N = -1 para −∞-\infty.