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Topos Uranos
Español

Asíntotas y técnicas de representación gráfica

Resumen

Esta clase cierra el estudio de los límites de esta unidad con su primera aplicación geométrica: las asíntotas. En Álgebra y Geometría, las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las funciones racionales y de las funciones con raíces se obtuvieron con la tabla de signos y la división de polinomios, y su comportamiento junto a ellas se admitió como un hecho intuitivo. Aquí se definen con los límites laterales, los límites en el infinito y los límites infinitos, y esos hechos admitidos se demuestran. Se prueba que una recta es asíntota exactamente cuando la distancia de la curva a ella tiende a cero, se obtiene la fórmula de la pendiente y de la ordenada de la asíntota oblicua, y se deduce que en cada extremo hay a lo sumo una. La clase corrige además una creencia común, la de que una curva no puede cortar su asíntota, propone un método para representar una función sin derivadas, y lo aplica a funciones de Álgebra y Geometría, cuyas tablas de signos y divisiones de polinomios se completan ahora con límites.

Objetivos de aprendizaje

  1. Definir con límites las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, y relacionarlas con la distancia de la curva a una recta.
  2. Demostrar las fórmulas de la pendiente y de la ordenada de la asíntota oblicua, y la unicidad de la asíntota no vertical en cada extremo.
  3. Demostrar los hechos admitidos en Álgebra y Geometría sobre el comportamiento de una función racional junto a un cero de su denominador, y decidir la posición de una curva respecto de su asíntota.
  4. Representar funciones algebraicas y trigonométricas reuniendo el dominio, las simetrías, los cortes, la tabla de signos y las asíntotas.

Definición

En la clase sobre las funciones racionales de Álgebra y Geometría, una asíntota era una recta a la que la curva se acerca cada vez más al alejarse por alguna de sus ramas. Con los límites de esta unidad, esa idea se escribe con precisión. Hay dos maneras de alejarse: la variable se acerca a un número mientras los valores crecen sin cota, o la variable crece sin cota. A la primera corresponden las asíntotas verticales; a la segunda, las demás.

DefiniciónAsíntotas

Sea ff una función con dominio AA.

  • La recta x=ax = a es una asíntota vertical del gráfico de ff si al menos uno de los límites laterales de ff en aa es ∞\infty o −∞-\infty.
  • Si AA no está acotado superiormente, la recta y=mx+by = mx + b es una asíntota del gráfico de ff en ∞\infty si lim⁡x→∞(f(x)−(mx+b))=0\lim_{x \to \infty} \left(f(x) - (mx + b)\right) = 0. Se llama horizontal si m=0m = 0 y oblicua si m≠0m \neq 0. Del mismo modo se define la asíntota en −∞-\infty.

Tres observaciones precisan la definición. Primera: la asíntota horizontal y=Ly = L en ∞\infty es simplemente la afirmación lim⁡x→∞f(x)=L\lim_{x \to \infty} f(x) = L, de la clase sobre los límites cuando la variable tiende a infinito. Segunda: las asíntotas no verticales se definen en cada extremo por separado, y pueden ser distintas en ∞\infty y en −∞-\infty, como las rectas y=π2y = \frac{\pi}{2} e y=−π2y = -\frac{\pi}{2} del arcotangente. Tercera: si f(x)−g(x)f(x) - g(x) tiende a 00 para una función gg que no es de primer grado, como el polinomio cociente de una división cuando el grado del numerador excede en dos o más al del denominador, se dice que la curva y=g(x)y = g(x) es una asíntota curvilínea; todo lo que sigue sobre las asíntotas oblicuas vale para ella, salvo las fórmulas de la pendiente y de la ordenada.

La definición mide la diferencia de las ordenadas, es decir, la distancia vertical entre la curva y la recta. La idea intuitiva habla, en cambio, de la distancia de la curva a la recta, que se mide sobre la perpendicular. La proposición siguiente muestra que ambas tienden a cero a la vez.

ProposiciónLa distancia a la asíntota

Sea Px=(x,f(x))P_x = (x, f(x)) el punto del gráfico de abscisa xx, y sea rr la recta y=mx+by = mx + b. Entonces rr es asíntota del gráfico de ff en ∞\infty si y solo si lim⁡x→∞d⁡(Px,r)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{d}(P_x, r) = 0. La distancia a la recta es la distancia vertical multiplicada por una constante positiva. En la figura, la curva es f(x)=x2+1+1x−1f(x) = \frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{x - 1}, cuya asíntota es la recta y=x2+1y = \frac{x}{2} + 1.

Demostración

  1. d⁡(Px,r)=∣mx−f(x)+b∣m2+1=∣f(x)−(mx+b)∣m2+1\operatorname{d}(P_x, r) = \frac{\abs{mx - f(x) + b}}{\sqrt{m^2 + 1}} = \resaltar{\frac{\abs{f(x) - (mx + b)}}{\sqrt{m^2 + 1}}}

    La recta rr tiene la ecuación mx−y+b=0mx - y + b = 0. Por la fórmula de la distancia de un punto a una recta de la clase sobre los vectores en el plano, la distancia de PxP_x a rr es la distancia vertical dividida por m2+1\sqrt{m^2 + 1}, que no depende de xx.

  2. f(x)−(mx+b)→0⇔d⁡(Px,r)→0f(x) - (mx + b) \to 0 \Leftrightarrow \resaltar{\operatorname{d}(P_x, r) \to 0}

    Por el lema del límite como distancia que tiende a cero de la clase sobre el álgebra de límites, trasladado al infinito, f(x)−(mx+b)f(x) - (mx + b) tiende a 00 si y solo si su valor absoluto tiende a 00; y este tiende a 00 si y solo si lo hace su producto por la constante positiva 1m2+1\frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}}, por la regla de la combinación lineal.