Límite y continuidad · Topos Uranos

Resumen

Esta clase lleva los límites a su primera consecuencia estructural, la continuidad, que la clase siguiente extiende a todas las funciones elementales. Una función es continua en un punto cuando su valor allí es el que anuncian los valores cercanos; con los límites de las clases anteriores, esa idea se escribe como el desafío y la respuesta de siempre, con una sola diferencia: el punto mismo ya no se excluye. De ello se sigue que la continuidad en un punto de acumulación equivale a que el límite exista y sea igual al valor, y que casi todos sus teoremas se heredan del álgebra de límites sin demostración nueva. Se clasifican las discontinuidades en evitables, de salto y esenciales, y se reparan las evitables con la extensión por continuidad. El único argumento nuevo es el de la composición, donde la continuidad hace más que el límite: elimina la hipótesis que exigía el teorema de la composición de límites, y permite introducir el límite dentro de una función continua.

Objetivos de aprendizaje

Definir la continuidad en un punto, a un lado y en un intervalo, y relacionarla con el límite.
Clasificar las discontinuidades en evitables, de salto y esenciales, y extender por continuidad una función con una discontinuidad evitable.
Demostrar la continuidad de las sumas, los productos, los cocientes, las raíces y las composiciones de funciones continuas, y deducir la de los polinomios, las funciones racionales y las funciones trigonométricas.
Calcular límites introduciéndolos en una función continua, y estudiar funciones continuas en un solo punto o en ninguno.

Definición

En la clase sobre el límite de funciones de una variable real, la definición excluía deliberadamente el punto $a$ : el límite describe lo que ocurre cerca de $a$ , no en $a$ , y la función puede no estar definida allí. La continuidad compara ambas cosas: lo que ocurre cerca y lo que ocurre en el punto.

DefiniciónFunción continua en un punto

Sean $f$ una función definida en un conjunto $A$ y $a$ un elemento de $A$ . Se dice que $f$ es continua en $a$ si para todo $\varepsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que todo $x$ de $A$ que cumple $\abs{x - a} < \delta$ cumple también $\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon$ :

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)

Si $f$ no es continua en $a$ , se dice que es discontinua en $a$ . Si es continua en todos los puntos de un conjunto $S$ contenido en $A$ , se dice que es continua en $S$ ; y si lo es en todo su dominio, simplemente que es continua.

La definición difiere de la del límite en tres puntos. El número al que deben acercarse los valores no es un $L$ cualquiera, sino $f(a)$ ; por eso $a$ debe ser del dominio. La respuesta $\abs{x - a} < \delta$ no excluye $x = a$ , aunque incluirlo no cuesta nada, porque $\abs{f(a) - f(a)} = 0$ . Y no se exige que $a$ sea punto de acumulación de $A$ . La negación se obtiene como en la clase sobre el límite: $f$ es discontinua en $a$ si existe un $\varepsilon > 0$ tal que, para todo $\delta > 0$ , hay un $x$ de $A$ con $\abs{x - a} < \delta$ y $\abs{f(x) - f(a)} \geq \varepsilon$ .

ProposiciónContinuidad y límite

Sean $f$ una función definida en $A$ y $a$ un elemento de $A$ . Si $a$ es punto de acumulación de $A$ , entonces $f$ es continua en $a$ si y solo si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Si $a$ es un punto aislado de $A$ , entonces $f$ es continua en $a$ . Las dos definiciones piden lo mismo salvo en el punto $a$ , donde la continuidad se cumple sola. En la figura, la banda rodea el valor $f(a)$ , que ahora es un punto lleno del gráfico; al final, un punto aislado del dominio.

Demostración

$0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon}$
Si $f$ es continua en $a$ , la respuesta $\delta$ a cada desafío $\varepsilon$ vale en particular para los $x$ con $0 < \abs{x - a} < \delta$ : es una respuesta para el límite, con $L = f(a)$ .
$x = a \rightarrow \abs{f(a) - f(a)} = \resaltar{0} < \varepsilon$
Recíprocamente, si el límite es $f(a)$ , la respuesta del límite cubre los $x$ distintos de $a$ , y en $x = a$ la condición se cumple siempre: es una respuesta para la continuidad.
$\abs{x - a} < \delta \wedge x \in A \rightarrow x = a \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} = 0 < \varepsilon$
Si $a$ es un punto aislado, existe un $\delta > 0$ tal que el único elemento de $A$ con $\abs{x - a} < \delta$ es el propio $a$ . Ese $\delta$ responde a todos los desafíos a la vez.

Por tanto, en un punto de acumulación del dominio, la continuidad consiste en tres cosas: que $f$ esté definida en $a$ , que tenga límite en $a$ , y que ese límite sea $f(a)$ . Cada una puede fallar por separado, y de ello sale la clasificación de las discontinuidades. Por ejemplo, la función que vale $1$ en todo $x \neq 0$ y $0$ en $x = 0$ , del contraejemplo de la composición en la clase sobre el álgebra de límites, tiene límite $1$ en $0$ , distinto de su valor: es discontinua en $0$ .

En el resto de esta clase

Continuidad lateral y continuidad en un intervalo
Clasificación de las discontinuidades
Operaciones con funciones continuas
Composición
Propiedades locales
Problemas resueltos
Dos tramos que se unen
Tres discontinuidades distintas
Una oscilación amortiguada y otra que no lo está
Límites dentro de funciones continuas
Una función continua en un solo punto
Problemas propuestos
Tres tramos
El valor absoluto de una función continua
El máximo de dos funciones continuas
Una función aditiva
La función de Thomae