渐近线与函数作图技巧

摘要

本课以极限的第一个几何应用，即渐近线，结束本单元对极限的研究。在代数与几何中，有理函数和含根式的函数的垂直、水平和斜渐近线是借助符号表和多项式除法求出的，而函数在渐近线附近的性态被当作直观事实接受下来。这里用单侧极限、无穷远处的极限和无穷极限来定义渐近线，并证明那些被接受的事实。我们证明：一条直线是渐近线，当且仅当曲线到它的距离趋于零；求出斜渐近线的斜率和截距的公式；并推出在每一端至多有一条渐近线。本课还纠正一个常见的看法，即曲线不能与其渐近线相交；提出一种不用导数作函数图像的方法，并把它应用于代数与几何中的函数，这些函数的符号表和多项式除法现在用极限来补全。

学习目标

用极限定义垂直、水平和斜渐近线，并把它们与曲线到直线的距离联系起来。
证明斜渐近线的斜率和截距的公式，以及每一端非垂直渐近线的唯一性。
证明代数与几何中所承认的、关于有理函数在其分母零点附近的性态的事实，并判定曲线相对于其渐近线的位置。
综合定义域、对称性、与坐标轴的交点、符号表和渐近线，作出代数函数和三角函数的图像。

定义

在代数与几何中关于有理函数的那一课里，渐近线是这样一条直线：曲线沿着它的某一分支远离时，越来越接近这条直线。有了本单元的极限，这一想法可以精确地写出来。远离的方式有两种：自变量趋近一个数而函数值无限增大，或者自变量无限增大。前者对应垂直渐近线；后者对应其余的渐近线。

定义渐近线

设 $f$ 是定义域为 $A$ 的函数。

直线 $x = a$ 称为 $f$ 的图像的垂直渐近线，如果 $f$ 在 $a$ 处的单侧极限中至少有一个是 $\infty$ 或 $-\infty$ 。
若 $A$ 无上界，直线 $y = mx + b$ 称为 $f$ 的图像在 $\infty$ 处的渐近线，如果 $\lim_{x \to \infty} \left(f(x) - (mx + b)\right) = 0$ 。当 $m = 0$ 时称它为水平渐近线，当 $m \neq 0$ 时称它为斜渐近线。同样可定义在 $-\infty$ 处的渐近线。

三点说明使定义更加精确。第一：水平渐近线 $y = L$ （在 $\infty$ 处）不过就是命题 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ ，见关于自变量趋于无穷大时的极限的那一课。第二：非垂直渐近线在每一端分别定义，在 $\infty$ 处和在 $-\infty$ 处可以不同，如反正切的直线 $y = \frac{\pi}{2}$ 和 $y = -\frac{\pi}{2}$ 。第三：若 $f(x) - g(x)$ 趋于 $0$ ，其中 $g$ 是一个非一次的函数（例如分子次数比分母次数高出二或更多时，除法所得的商多项式），则称曲线 $y = g(x)$ 为曲线渐近线；后文关于斜渐近线所说的一切对它也成立，只有斜率和截距的公式除外。

定义度量的是纵坐标之差，即曲线与直线之间的竖直距离。而直观的想法说的是曲线到直线的距离，它沿垂线度量。下面的命题表明，两者同时趋于零。

命题到渐近线的距离

设 $P_x = (x, f(x))$ 是图像上横坐标为 $x$ 的点， $r$ 是直线 $y = mx + b$ 。则 $r$ 是 $f$ 的图像在 $\infty$ 处的渐近线，当且仅当 $\lim_{x \to \infty} \operatorname{d}(P_x, r) = 0$ 。到直线的距离等于竖直距离乘以一个正常数。图中的曲线是 $f(x) = \frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{x - 1}$ ，其渐近线是直线 $y = \frac{x}{2} + 1$ 。

证明

$\operatorname{d}(P_x, r) = \frac{\abs{mx - f(x) + b}}{\sqrt{m^2 + 1}} = \resaltar{\frac{\abs{f(x) - (mx + b)}}{\sqrt{m^2 + 1}}}$
直线 $r$ 的方程为 $mx - y + b = 0$ 。由关于平面向量的那一课中点到直线的距离公式， $P_x$ 到 $r$ 的距离等于竖直距离除以 $\sqrt{m^2 + 1}$ ，它与 $x$ 无关。
$f(x) - (mx + b) \to 0 \Leftrightarrow \resaltar{\operatorname{d}(P_x, r) \to 0}$
由关于极限的运算法则的那一课中的引理“作为趋于零的距离的极限”，推广到无穷远处， $f(x) - (mx + b)$ 趋于 $0$ 当且仅当其绝对值趋于 $0$ ；而绝对值趋于 $0$ ，当且仅当它与正常数 $\frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}}$ 的乘积也是如此，这由线性组合法则得出。