Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Ασύμπτωτες και τεχνικές γραφικής παράστασης

Περίληψη

Αυτό το μάθημα κλείνει τη μελέτη των ορίων αυτής της ενότητας με την πρώτη γεωμετρική εφαρμογή τους: τις ασύμπτωτες. Στην Άλγεβρα και γεωμετρία, οι κατακόρυφες, οριζόντιες και πλάγιες ασύμπτωτες των ρητών συναρτήσεων και των συναρτήσεων με ρίζες βρέθηκαν με τον πίνακα προσήμων και τη διαίρεση πολυωνύμων, και η συμπεριφορά των συναρτήσεων κοντά σε αυτές έγινε δεκτή ως διαισθητικό γεγονός. Εδώ ορίζονται με τα πλευρικά όρια, τα όρια στο άπειρο και τα άπειρα όρια, και τα γεγονότα που είχαν γίνει δεκτά αποδεικνύονται. Αποδεικνύεται ότι μια ευθεία είναι ασύμπτωτη ακριβώς όταν η απόσταση της καμπύλης από αυτήν τείνει στο μηδέν, βρίσκεται ο τύπος της κλίσης και της τεταγμένης επί την αρχή της πλάγιας ασύμπτωτης, και συνάγεται ότι σε κάθε άκρο υπάρχει το πολύ μία. Το μάθημα διορθώνει επίσης μια κοινή πεποίθηση, ότι μια καμπύλη δεν μπορεί να τέμνει την ασύμπτωτή της, προτείνει μια μέθοδο για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης χωρίς παραγώγους, και την εφαρμόζει σε συναρτήσεις της Άλγεβρας και γεωμετρίας, των οποίων οι πίνακες προσήμων και οι διαιρέσεις πολυωνύμων συμπληρώνονται τώρα με όρια.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να ορίζει με όρια τις κατακόρυφες, οριζόντιες και πλάγιες ασύμπτωτες και να τις συνδέει με την απόσταση της καμπύλης από μια ευθεία.
  2. Να αποδεικνύει τους τύπους της κλίσης και της τεταγμένης επί την αρχή της πλάγιας ασύμπτωτης, καθώς και τη μοναδικότητα της μη κατακόρυφης ασύμπτωτης σε κάθε άκρο.
  3. Να αποδεικνύει τα γεγονότα που η Άλγεβρα και γεωμετρία δέχτηκε για τη συμπεριφορά μιας ρητής συνάρτησης κοντά σε μια ρίζα του παρονομαστή της, και να αποφασίζει τη θέση μιας καμπύλης ως προς την ασύμπτωτή της.
  4. Να σχεδιάζει τη γραφική παράσταση αλγεβρικών και τριγωνομετρικών συναρτήσεων συνδυάζοντας το πεδίο ορισμού, τις συμμετρίες, τα σημεία τομής με τους άξονες, τον πίνακα προσήμων και τις ασύμπτωτες.

Ορισμός

Στο μάθημα για τις ρητές συναρτήσεις της Άλγεβρας και γεωμετρίας, ασύμπτωτη ήταν μια ευθεία την οποία η καμπύλη πλησιάζει όλο και περισσότερο καθώς απομακρύνεται κατά μήκος κάποιου κλάδου της. Με τα όρια αυτής της ενότητας, η ιδέα αυτή γράφεται με ακρίβεια. Υπάρχουν δύο τρόποι απομάκρυνσης: η μεταβλητή πλησιάζει έναν αριθμό ενώ οι τιμές αυξάνονται απεριόριστα, ή η μεταβλητή αυξάνεται απεριόριστα. Στον πρώτο αντιστοιχούν οι κατακόρυφες ασύμπτωτες· στον δεύτερο, οι υπόλοιπες.

ΟρισμόςΑσύμπτωτες

Έστω ff μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού AA.

  • Η ευθεία x=ax = a είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της ff αν τουλάχιστον ένα από τα πλευρικά όρια της ff στο aa είναι ∞\infty ή −∞-\infty.
  • Αν το AA δεν είναι άνω φραγμένο, η ευθεία y=mx+by = mx + b είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της ff στο ∞\infty αν lim⁡x→∞(f(x)−(mx+b))=0\lim_{x \to \infty} \left(f(x) - (mx + b)\right) = 0. Λέγεται οριζόντια αν m=0m = 0 και πλάγια αν m≠0m \neq 0. Με τον ίδιο τρόπο ορίζεται η ασύμπτωτη στο −∞-\infty.

Τρεις παρατηρήσεις διευκρινίζουν τον ορισμό. Πρώτη: η οριζόντια ασύμπτωτη y=Ly = L στο ∞\infty είναι απλώς ο ισχυρισμός lim⁡x→∞f(x)=L\lim_{x \to \infty} f(x) = L, του μαθήματος για τα όρια όταν η μεταβλητή τείνει στο άπειρο. Δεύτερη: οι μη κατακόρυφες ασύμπτωτες ορίζονται σε κάθε άκρο χωριστά, και μπορεί να είναι διαφορετικές στο ∞\infty και στο −∞-\infty, όπως οι ευθείες y=π2y = \frac{\pi}{2} και y=−π2y = -\frac{\pi}{2} της τοξοεφαπτομένης. Τρίτη: αν το f(x)−g(x)f(x) - g(x) τείνει στο 00 για μια συνάρτηση gg που δεν είναι πρώτου βαθμού, όπως το πολυώνυμο πηλίκο μιας διαίρεσης όταν ο βαθμός του αριθμητή υπερβαίνει κατά δύο ή περισσότερο τον βαθμό του παρονομαστή, λέμε ότι η καμπύλη y=g(x)y = g(x) είναι καμπυλόγραμμη ασύμπτωτη· ό,τι λέγεται στη συνέχεια για τις πλάγιες ασύμπτωτες ισχύει και γι' αυτήν, εκτός από τους τύπους της κλίσης και της τεταγμένης επί την αρχή.

Ο ορισμός μετρά τη διαφορά των τεταγμένων, δηλαδή την κατακόρυφη απόσταση ανάμεσα στην καμπύλη και την ευθεία. Η διαισθητική ιδέα μιλά, αντίθετα, για την απόσταση της καμπύλης από την ευθεία, που μετριέται πάνω στην κάθετο. Η πρόταση που ακολουθεί δείχνει ότι και οι δύο τείνουν στο μηδέν ταυτόχρονα.

ΠρότασηΗ απόσταση από την ασύμπτωτη

Έστω Px=(x,f(x))P_x = (x, f(x)) το σημείο της γραφικής παράστασης με τετμημένη xx, και έστω rr η ευθεία y=mx+by = mx + b. Τότε η rr είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της ff στο ∞\infty αν και μόνο αν lim⁡x→∞d⁡(Px,r)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{d}(P_x, r) = 0. Η απόσταση από την ευθεία είναι η κατακόρυφη απόσταση πολλαπλασιασμένη με μια θετική σταθερά. Στο σχήμα, η καμπύλη είναι η f(x)=x2+1+1x−1f(x) = \frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{x - 1}, της οποίας ασύμπτωτη είναι η ευθεία y=x2+1y = \frac{x}{2} + 1.

Απόδειξη

  1. d⁡(Px,r)=∣mx−f(x)+b∣m2+1=∣f(x)−(mx+b)∣m2+1\operatorname{d}(P_x, r) = \frac{\abs{mx - f(x) + b}}{\sqrt{m^2 + 1}} = \resaltar{\frac{\abs{f(x) - (mx + b)}}{\sqrt{m^2 + 1}}}

    Η ευθεία rr έχει εξίσωση mx−y+b=0mx - y + b = 0. Από τον τύπο της απόστασης σημείου από ευθεία του μαθήματος για τα διανύσματα στο επίπεδο, η απόσταση του PxP_x από την rr είναι η κατακόρυφη απόσταση διαιρεμένη με m2+1\sqrt{m^2 + 1}, που δεν εξαρτάται από το xx.

  2. f(x)−(mx+b)→0⇔d⁡(Px,r)→0f(x) - (mx + b) \to 0 \Leftrightarrow \resaltar{\operatorname{d}(P_x, r) \to 0}

    Από το λήμμα του ορίου ως απόστασης που τείνει στο μηδέν του μαθήματος για την άλγεβρα των ορίων, μεταφερμένο στο άπειρο, το f(x)−(mx+b)f(x) - (mx + b) τείνει στο 00 αν και μόνο αν η απόλυτη τιμή του τείνει στο 00· και αυτή τείνει στο 00 αν και μόνο αν τείνει εκεί και το γινόμενό της με τη θετική σταθερά 1m2+1\frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}}, από τον κανόνα του γραμμικού συνδυασμού.