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Topos Uranos
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Asintoti e tecniche di rappresentazione grafica

Riepilogo

Questa lezione chiude lo studio dei limiti di questa unità con la loro prima applicazione geometrica: gli asintoti. In Algebra e Geometria, gli asintoti verticali, orizzontali e obliqui delle funzioni razionali e delle funzioni con radicali si sono ottenuti con la tabella dei segni e la divisione tra polinomi, e il comportamento della curva vicino a essi è stato ammesso come un fatto intuitivo. Qui li si definisce con i limiti unilaterali, i limiti all’infinito e i limiti infiniti, e quei fatti ammessi vengono dimostrati. Si dimostra che una retta è un asintoto esattamente quando la distanza della curva da essa tende a zero, si ottiene la formula del coefficiente angolare e dell’ordinata all’origine dell’asintoto obliquo, e si deduce che a ciascun estremo ce n’è al più uno. La lezione corregge inoltre una credenza diffusa, quella secondo cui una curva non può tagliare il proprio asintoto, propone un metodo per rappresentare una funzione senza derivate e lo applica a funzioni di Algebra e Geometria, le cui tabelle dei segni e divisioni tra polinomi si completano ora con i limiti.

Obiettivi di apprendimento

  1. Definire con i limiti gli asintoti verticali, orizzontali e obliqui, e metterli in relazione con la distanza della curva da una retta.
  2. Dimostrare le formule del coefficiente angolare e dell’ordinata all’origine dell’asintoto obliquo, e l’unicità dell’asintoto non verticale a ciascun estremo.
  3. Dimostrare i fatti ammessi in Algebra e Geometria sul comportamento di una funzione razionale vicino a uno zero del suo denominatore, e stabilire la posizione di una curva rispetto al suo asintoto.
  4. Rappresentare funzioni algebriche e trigonometriche riunendo il dominio, le simmetrie, le intersezioni con gli assi, la tabella dei segni e gli asintoti.

Definizione

Nella lezione sulle funzioni razionali di Algebra e Geometria, un asintoto era una retta a cui la curva si avvicina sempre di più allontanandosi lungo uno dei suoi rami. Con i limiti di questa unità, quest’idea si scrive con precisione. Ci sono due modi di allontanarsi: la variabile si avvicina a un numero mentre i valori crescono senza limitazioni, oppure la variabile cresce senza limitazioni. Al primo corrispondono gli asintoti verticali; al secondo, gli altri.

DefinizioneAsintoti

Sia ff una funzione con dominio AA.

  • La retta x=ax = a è un asintoto verticale del grafico di ff se almeno uno dei limiti unilaterali di ff in aa è ∞\infty o −∞-\infty.
  • Se AA non è limitato superiormente, la retta y=mx+by = mx + b è un asintoto del grafico di ff in ∞\infty se lim⁡x→∞(f(x)−(mx+b))=0\lim_{x \to \infty} \left(f(x) - (mx + b)\right) = 0. Si dice orizzontale se m=0m = 0 e obliquo se m≠0m \neq 0. Allo stesso modo si definisce l’asintoto in −∞-\infty.

Tre osservazioni precisano la definizione. Prima: l’asintoto orizzontale y=Ly = L in ∞\infty è semplicemente l’affermazione lim⁡x→∞f(x)=L\lim_{x \to \infty} f(x) = L, della lezione sui limiti quando la variabile tende all’infinito. Seconda: gli asintoti non verticali si definiscono a ciascun estremo separatamente, e possono essere diversi in ∞\infty e in −∞-\infty, come le rette y=π2y = \frac{\pi}{2} e y=−π2y = -\frac{\pi}{2} dell’arcotangente. Terza: se f(x)−g(x)f(x) - g(x) tende a 00 per una funzione gg che non è di primo grado, come il polinomio quoziente di una divisione quando il grado del numeratore supera di due o più quello del denominatore, si dice che la curva y=g(x)y = g(x) è un asintoto curvilineo; tutto ciò che segue sugli asintoti obliqui vale per esso, tranne le formule del coefficiente angolare e dell’ordinata all’origine.

La definizione misura la differenza delle ordinate, cioè la distanza verticale tra la curva e la retta. L’idea intuitiva parla invece della distanza della curva dalla retta, che si misura sulla perpendicolare. La proposizione seguente mostra che entrambe tendono a zero insieme.

ProposizioneLa distanza dall’asintoto

Sia Px=(x,f(x))P_x = (x, f(x)) il punto del grafico di ascissa xx, e sia rr la retta y=mx+by = mx + b. Allora rr è un asintoto del grafico di ff in ∞\infty se e solo se lim⁡x→∞d⁡(Px,r)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{d}(P_x, r) = 0. La distanza dalla retta è la distanza verticale moltiplicata per una costante positiva. Nella figura, la curva è f(x)=x2+1+1x−1f(x) = \frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{x - 1}, il cui asintoto è la retta y=x2+1y = \frac{x}{2} + 1.

Dimostrazione

  1. d⁡(Px,r)=∣mx−f(x)+b∣m2+1=∣f(x)−(mx+b)∣m2+1\operatorname{d}(P_x, r) = \frac{\abs{mx - f(x) + b}}{\sqrt{m^2 + 1}} = \resaltar{\frac{\abs{f(x) - (mx + b)}}{\sqrt{m^2 + 1}}}

    La retta rr ha equazione mx−y+b=0mx - y + b = 0. Per la formula della distanza di un punto da una retta della lezione sui vettori nel piano, la distanza di PxP_x da rr è la distanza verticale divisa per m2+1\sqrt{m^2 + 1}, che non dipende da xx.

  2. f(x)−(mx+b)→0⇔d⁡(Px,r)→0f(x) - (mx + b) \to 0 \Leftrightarrow \resaltar{\operatorname{d}(P_x, r) \to 0}

    Per il lemma del limite come distanza che tende a zero della lezione sull’algebra dei limiti, trasportato all’infinito, f(x)−(mx+b)f(x) - (mx + b) tende a 00 se e solo se il suo valore assoluto tende a 00; e questo tende a 00 se e solo se vi tende il suo prodotto per la costante positiva 1m2+1\frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}}, per la regola della combinazione lineare.