Limiti infiniti

La casella che mancava

Nella lezione sui limiti quando la variabile tende all’infinito si è descritto uno schema comune: ogni definizione di limite è una sfida sui valori con una risposta sulla variabile, e cambia soltanto che cosa significhi essere vicino a ciascuna delle due cose. Per la variabile si sono già usate tutte le forme: vicino a un numero $a$, da un lato di esso, o vicino a $\pm\infty$. Per i valori, una sola: vicino a un numero $L$. Questa lezione completa lo schema con la forma restante, in cui il valore è vicino a $\infty$, cioè $f(x) > N$, o vicino a $-\infty$, cioè $f(x) < N$.

Scritta con i quantificatori, la definizione ha la forma di sempre; la sfida è ora un semipiano superiore, quello dei punti con ordinata maggiore di $N$:

Le varianti si ottengono cambiando soltanto la risposta, come nelle lezioni che precedono: $\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty$ se la condizione vale per $a < x < a + \delta$; $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ se esiste un $M$ tale che essa vale per $x > M$; e così negli altri casi. In ciò che segue, $P$ indica una qualsiasi delle destinazioni della variabile ($a$, $a^+$, $a^-$, $\infty$ o $-\infty$), e «vicino a $P$» significa in un intorno bucato, da un lato o in una semiretta, secondo il caso. Tutte le dimostrazioni della lezione usano una sola proprietà comune: due condizioni che valgono vicino a $P$ valgono insieme vicino a $P$, prendendo il minore di due raggi o la maggiore di due soglie. I teoremi sui limiti finiti che si citano in una destinazione $P$ qualsiasi (l’unicità, la limitatezza locale, la permanenza del segno, l’algebra dei limiti e i lemmi della lezione sull’algebra dei limiti) valgono in tutte grazie alla lezione sui limiti unilaterali e al lemma di inversione della lezione che precede, la cui corrispondenza $\delta = \frac{1}{M}$ tra la soglia e il raggio trasporta allo stesso modo i limiti infiniti, perché non dipende dalla forma della sfida.

Conviene insistere su ciò che la scrittura dice. Se $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$, la funzione non ha limite in $a$ nel senso della lezione sul limite di funzioni di una variabile reale, perché non è limitata vicino ad $a$, e la limitatezza locale dice che una funzione che ha limite lo è. L’uguaglianza con $\infty$ descrive un modo preciso di non avere limite. Si dice che $f$ diverge in $P$ se non vi ha limite finito; tendere a $\infty$ o a $-\infty$ sono due modi di divergere, ma non gli unici. La funzione $\sin \frac{1}{x}$ diverge in $0$ ed è limitata; la funzione $\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$ diverge in $0$, non è limitata vicino a $0$ e, tuttavia, non tende né a $\infty$ né a $-\infty$, perché si annulla in punti vicini a $0$ quanto si vuole.