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Topos Uranos
日本語

漸近線とグラフの描き方

要約

この課は、極限の最初の幾何学的応用である漸近線によって、この単元の極限の学習を締めくくる。代数と幾何では、有理関数と根号を含む関数の鉛直・水平・斜め漸近線は符号表と多項式の割り算によって求められ、その近くでの関数の振る舞いは直観的な事実として認められていた。ここでは漸近線を片側極限、無限遠における極限、無限大の極限によって定義し、認められていた事実を証明する。直線が漸近線であるのは曲線からその直線までの距離がゼロに近づくときに限ることを証明し、斜め漸近線の傾きと切片の公式を求め、各端において漸近線は高々一本であることを導く。さらにこの課は、曲線はその漸近線と交わりえないというよくある思い込みを正し、導関数を使わずに関数のグラフをかく方法を示し、それを代数と幾何の関数に適用する。それらの関数の符号表と多項式の割り算は、いまや極限によって補われる。

学習目標

  1. 鉛直・水平・斜め漸近線を極限によって定義し、それらを曲線から直線までの距離と関係づける。
  2. 斜め漸近線の傾きと切片の公式、および各端における鉛直でない漸近線の一意性を証明する。
  3. 有理関数の分母の零点の近くでの振る舞いについて代数と幾何で認めた事実を証明し、曲線のその漸近線に対する位置を判定する。
  4. 定義域、対称性、座標軸との交点、符号表、漸近線をまとめて、代数関数と三角関数のグラフをかく。

定義

代数と幾何の有理関数の課では、漸近線とは、曲線がその枝の一つに沿って遠ざかるにつれてしだいに近づいていく直線のことであった。この単元の極限を使えば、この考えを正確に書き表せる。遠ざかり方は二通りある。変数がある数に近づき値が限りなく大きくなる場合と、変数が限りなく大きくなる場合である。前者に対応するのが鉛直漸近線であり、後者に対応するのがそれ以外の漸近線である。

定義漸近線

ff を定義域が AA である関数とする。

  • 直線 x=ax = a が ff のグラフの鉛直漸近線であるとは、ff の aa における片側極限の少なくとも一方が ∞\infty または −∞-\infty であることをいう。
  • AA が上に有界でないとき、直線 y=mx+by = mx + b が ff のグラフの ∞\infty における漸近線であるとは、lim⁡x→∞(f(x)−(mx+b))=0\lim_{x \to \infty} \left(f(x) - (mx + b)\right) = 0 が成り立つことをいう。m=0m = 0 のとき水平、m≠0m \neq 0 のとき斜めという。同様にして −∞-\infty における漸近線も定義される。

三つの注意で定義を補足する。第一に、水平漸近線 y=Ly = L（∞\infty における）は、主張 lim⁡x→∞f(x)=L\lim_{x \to \infty} f(x) = L にほかならない。これは変数が無限大に近づくときの極限の課で扱った。第二に、鉛直でない漸近線は各端で別々に定義され、∞\infty と −∞-\infty とで異なりうる。逆正接の直線 y=π2y = \frac{\pi}{2} と y=−π2y = -\frac{\pi}{2} がその例である。第三に、f(x)−g(x)f(x) - g(x) が 00 に近づき、しかも gg が一次でない関数であるとき（たとえば分子の次数が分母の次数を二以上上回るときの割り算の商の多項式）、曲線 y=g(x)y = g(x) を曲線の漸近線という。以下で斜め漸近線について述べることはすべて、傾きと切片の公式を除いて、これにも成り立つ。

定義が測っているのは縦座標の差、すなわち曲線と直線の間の鉛直方向の距離である。一方、直観的な考えは曲線から直線までの距離について語っており、それは垂線に沿って測られる。以下の命題は、両者が同時にゼロに近づくことを示す。

命題漸近線までの距離

Px=(x,f(x))P_x = (x, f(x)) を横座標が xx であるグラフ上の点とし、rr を直線 y=mx+by = mx + b とする。このとき、rr が ff のグラフの ∞\infty における漸近線であるための必要十分条件は lim⁡x→∞d⁡(Px,r)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{d}(P_x, r) = 0 である。 直線までの距離は、鉛直方向の距離に正の定数を掛けたものである。図の曲線は f(x)=x2+1+1x−1f(x) = \frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{x - 1} であり、その漸近線は直線 y=x2+1y = \frac{x}{2} + 1 である。

証明

  1. d⁡(Px,r)=∣mx−f(x)+b∣m2+1=∣f(x)−(mx+b)∣m2+1\operatorname{d}(P_x, r) = \frac{\abs{mx - f(x) + b}}{\sqrt{m^2 + 1}} = \resaltar{\frac{\abs{f(x) - (mx + b)}}{\sqrt{m^2 + 1}}}

    直線 rr の方程式は mx−y+b=0mx - y + b = 0 である。平面ベクトルの課の点と直線の距離の公式により、PxP_x と rr の距離は鉛直方向の距離を m2+1\sqrt{m^2 + 1} で割ったものであり、これは xx によらない。

  2. f(x)−(mx+b)→0⇔d⁡(Px,r)→0f(x) - (mx + b) \to 0 \Leftrightarrow \resaltar{\operatorname{d}(P_x, r) \to 0}

    極限の演算法則の課の「ゼロに近づく距離としての極限」の補題を無限遠に移して用いると、f(x)−(mx+b)f(x) - (mx + b) が 00 に近づくのは、その絶対値が 00 に近づくときに限る。そして絶対値が 00 に近づくのは、正の定数 1m2+1\frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}} との積がそうなるときに限る。これは一次結合の法則による。