अनंतस्पर्शी रेखाएँ और आलेखीय निरूपण की तकनीकें

परिभाषा

बीजगणित और ज्यामिति के परिमेय फलनों वाले पाठ में अनंतस्पर्शी एक ऐसी रेखा थी जिसके निकट वक्र अपनी किसी शाखा के अनुदिश दूर जाते हुए अधिकाधिक आता है। इस इकाई की सीमाओं से यह विचार सटीक रूप से लिखा जा सकता है। दूर जाने के दो ढंग हैं: चर किसी संख्या के निकट आता है जबकि मान असीम रूप से बढ़ते हैं, या चर असीम रूप से बढ़ता है। पहले ढंग के संगत ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी रेखाएँ हैं; दूसरे के संगत शेष।

तीन टिप्पणियाँ परिभाषा को स्पष्ट करती हैं। पहली: क्षैतिज अनंतस्पर्शी $y = L$, जो $\infty$ पर है, केवल कथन $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ है, जो चर के अनंत की ओर अग्रसर होने पर सीमाएँ वाले पाठ का है। दूसरी: गैर-ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी रेखाएँ प्रत्येक छोर पर अलग-अलग परिभाषित होती हैं, और $\infty$ पर तथा $-\infty$ पर अलग हो सकती हैं, जैसे प्रतिलोम स्पर्शज्या की रेखाएँ $y = \frac{\pi}{2}$ और $y = -\frac{\pi}{2}$। तीसरी: यदि $f(x) - g(x)$, $0$ की ओर अग्रसर हो, जहाँ $g$ एक ऐसा फलन है जो प्रथम घात का नहीं है, जैसे विभाजन का भागफल बहुपद जब अंश की घात हर की घात से दो या अधिक बड़ी हो, तो कहा जाता है कि वक्र $y = g(x)$ एक वक्र अनंतस्पर्शी है; तिर्यक अनंतस्पर्शी रेखाओं के बारे में आगे कही गई हर बात उस पर भी लागू होती है, प्रवणता और अंतःखंड के सूत्रों को छोड़कर।

परिभाषा कोटियों का अंतर मापती है, अर्थात वक्र और रेखा के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी। दूसरी ओर, अंतर्ज्ञानात्मक विचार वक्र से रेखा की दूरी की बात करता है, जो लंब के अनुदिश मापी जाती है। नीचे दिया गया साध्य दिखाता है कि दोनों दूरियाँ एक साथ शून्य की ओर अग्रसर होती हैं।