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Topos Uranos
日本語

無限大の極限

要約

この課では、値が限りなく大きくなる、または限りなく小さくなる関数を学ぶ。極限の定義の共通の図式を、欠けていた欄、すなわち値が ∞\infty の近くにあるという欄で補い、無限大の極限（極限をもたないことの一つの精密な形である）を、それ以外の発散の形から区別する。ただ一つの補題、すなわち逆数の補題が、無限大の極限をゼロに等しい極限に帰着させるので、和・積・商の法則は極限の演算法則から導かれる。固有の議論を必要とするのは、比較、有界でない単調関数の定理、そして合成だけである。これらによって、これまでの課が途中で残した二つの結果、すなわち分母が 0 に近づく商と、分子の次数が大きい有理関数が完成する。この課ではまた、不定形がなぜ法則ではないかを示し、最後に無限大の極限との合成を扱う。

学習目標

  1. 挑戦と応答の図式によって、一点における、片側からの、および無限遠における無限大の極限を定義し、それらをほかの発散の形から区別する。
  2. 逆数の補題を証明し、それと比較から、無限大の極限を含む和・積・商の法則を導く。
  3. 不定形を見分け、それがどんな結果にもなりうることを例で示す。
  4. 多項式、有理関数、三角関数および合成関数の無限大の極限を計算し、有界でない単調関数の定理を証明する。

欠けていた欄

変数が無限大に近づくときの極限についての課では、共通の図式が述べられた。極限の定義はどれも、値についての挑戦と変数についての応答からなり、変わるのはそれぞれのものに近いとは何を意味するかだけである。変数については、すでにすべての形が使われた。数 aa の近く、その片側、あるいは ±∞\pm\infty の近くである。値については一つだけである。数 LL の近くである。この課では残りの形でこの図式を補う。それは値が ∞\infty の近くにある、すなわち f(x)>Nf(x) > N である場合、または −∞-\infty の近くにある、すなわち f(x)<Nf(x) < N である場合である。

定義無限大の極限

aa を集合 AA（ff の定義域）の集積点とする。ff は xx が aa に近づくとき無限大に発散するといい、lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty と書く。その条件は、すべての実数 NN に対してある δ>0\delta > 0 が存在して、f(x)>Nf(x) > N がすべての xx（AA の元で 0<∣x−a∣<δ0 < \abs{x - a} < \delta を満たすもの）に対して成り立つことである。同様に、lim⁡x→af(x)=−∞\lim_{x \to a} f(x) = -\infty であるとは、すべての NN に対してある δ>0\delta > 0 が存在して、f(x)<Nf(x) < N がそれらの xx で成り立つことである。

量化子を用いて書くと、定義はいつもの形になる。挑戦は今度は上半平面、すなわち縦座標が NN より大きい点全体の上半平面である：

lim⁡x→af(x)=∞↔(∀N)(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−a∣<δ→f(x)>N)\lim_{x \to a} f(x) = \infty \leftrightarrow (\forall N)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow f(x) > N\right)

変形は、これまでの課と同様に、応答だけを変えることで得られる。lim⁡x→a+f(x)=∞\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty であるとは、条件が a<x<a+δa < x < a + \delta で成り立つことであり、lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty であるとは、ある MM が存在して条件が x>Mx > M で成り立つことである。ほかの場合も同様である。以下では、PP は変数の向かう先（aa、a+a^+、a−a^-、∞\infty または −∞-\infty）のどれかを表し、「PP の近くで」は、場合に応じて、穴あき近傍において、片側において、または半直線上において、という意味である。この課のすべての証明は、ただ一つの共通の性質しか用いない。PP の近くで成り立つ二つの条件は、二つの半径のうち小さいほう、または二つのしきい値のうち大きいほうをとれば、同時に PP の近くで成り立つ。任意の向かう先 PP において引用される有限の極限についての定理（一意性、局所有界性、符号の保存、極限の演算法則、および極限の演算法則の課の補題）は、片側極限の課と前の課の反転の補題によって、それらすべてにおいて成り立つ。反転の補題のしきい値と半径との対応 δ=1M\delta = \frac{1}{M} は、挑戦の形によらないので、無限大の極限も同じように移す。

この書き方が何を言っているかを強調しておこう。lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty ならば、関数は aa において、実変数関数の極限の課の意味で極限をもたない。aa の近くで有界でないからであり、局所有界性によれば、極限をもつ関数は有界である。∞\infty との等式は、極限をもたないことの一つの精密な形を表す。ff は PP において有限の極限をもたないとき、そこで発散するという。∞\infty または −∞-\infty に発散することは発散の二つの形であるが、唯一の形ではない。関数 sin⁡1x\sin \frac{1}{x} は 00 で発散し、有界である。関数 1xsin⁡1x\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x} は 00 で発散し、00 の近くで有界でないが、それでも ∞\infty にも −∞-\infty にも発散しない。00 にいくらでも近い点で値がゼロになるからである。

命題ゼロにおける x2x^2 と xx の逆数

lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty。これに対して、lim⁡x→0+1x=∞\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty かつ lim⁡x→0−1x=−∞\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty であり、したがって 1x\frac{1}{x} は ∞\infty にも −∞-\infty にも発散しない（xx が 00 に近づくとき）。 挑戦 NN への応答は NN の逆数の平方根である。図では、上半平面が挑戦であり、00 のそばの帯状の領域が応答である。

証明

  1. δ=1N\delta = \dato{d}{\frac{1}{\sqrt{N}}}

    NN を実数とする。N>0N > 0 を考えれば十分である。大きいほうの挑戦に応じる応答は、それより小さいすべての挑戦にも応じるからである。応答として、その逆数の平方根をとる。

  2. 0<x2<1N→1x2>N0 < x^2 < \frac{1}{N} \rightarrow \resaltar{\frac{1}{x^2} > N}

    0<∣x∣<δ0 < \abs{x} < \delta ならば、xx の平方は正で 1N\frac{1}{N} より小さい。正の数の逆数をとると、不等号の向きが逆になる。

  3. 0<x<1N→1x>N,−1N<x<0→1x<−N0 < x < \frac{1}{N} \rightarrow \frac{1}{x} > N, \qquad -\frac{1}{N} < x < 0 \rightarrow \frac{1}{x} < -N

    右側からの 1x\frac{1}{x} については、前の課の逆数の命題が応答 δ=1N\delta = \frac{1}{N} を与える。左側からは、1x\frac{1}{x} は 1−x\frac{1}{-x} の反数であり、−x-x は 00 の右側にある。値は −N-N より小さい。

  4. lim⁡x→0+1x=∞≠−∞=lim⁡x→0−1x\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty \neq -\infty = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}

    00 を中心とするどの穴あき近傍にも、1x\frac{1}{x} の値で 11 より大きいものと −1-1 より小さいものがある。どの δ\delta も、挑戦 N=1N = 1（∞\infty に対する）にも、挑戦 N=−1N = -1（−∞-\infty に対する）にも応じない。