Limite e continuità · Topos Uranos

Riepilogo

Questa lezione porta i limiti alla loro prima conseguenza strutturale, la continuità, che la lezione che segue estende a tutte le funzioni elementari. Una funzione è continua in un punto quando il suo valore in quel punto è quello che annunciano i valori vicini; con i limiti delle lezioni che precedono, questa idea si scrive come la sfida e la risposta di sempre, con una sola differenza: il punto stesso non è più escluso. Ne segue che la continuità in un punto di accumulazione equivale al fatto che il limite esista e sia uguale al valore, e che quasi tutti i suoi teoremi si ereditano dall’algebra dei limiti senza una nuova dimostrazione. Si classificano le discontinuità in eliminabili, di salto ed essenziali, e si riparano le eliminabili con il prolungamento per continuità. L’unico argomento nuovo è quello della composizione, dove la continuità fa più del limite: elimina l’ipotesi che il teorema del limite di una composizione richiedeva, e permette di portare il limite dentro una funzione continua.

Obiettivi di apprendimento

Definire la continuità in un punto, da un lato e in un intervallo, e metterla in relazione con il limite.
Classificare le discontinuità in eliminabili, di salto ed essenziali, e prolungare per continuità una funzione con una discontinuità eliminabile.
Dimostrare la continuità delle somme, dei prodotti, dei quozienti, delle radici e delle composizioni di funzioni continue, e dedurne quella dei polinomi, delle funzioni razionali e delle funzioni trigonometriche.
Calcolare limiti portandoli dentro una funzione continua, e studiare funzioni continue in un solo punto o in nessuno.

Definizione

Nella lezione sul limite di funzioni di una variabile reale, la definizione escludeva deliberatamente il punto $a$ : il limite descrive ciò che accade vicino ad $a$ , non in $a$ , e la funzione può non essere definita lì. La continuità confronta le due cose: ciò che accade vicino e ciò che accade nel punto.

DefinizioneFunzione continua in un punto

Siano $f$ una funzione definita in un insieme $A$ ed $a$ un elemento di $A$ . Si dice che $f$ è continua in $a$ se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un $\delta > 0$ tale che ogni $x$ di $A$ che soddisfa $\abs{x - a} < \delta$ soddisfa anche $\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon$ :

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)

Se $f$ non è continua in $a$ , si dice che è discontinua in $a$ . Se è continua in tutti i punti di un insieme $S$ contenuto in $A$ , si dice che è continua in $S$ ; e se lo è in tutto il suo dominio, si dice semplicemente che è continua.

La definizione differisce da quella del limite in tre punti. Il numero a cui devono avvicinarsi i valori non è un $L$ qualsiasi, ma $f(a)$ ; per questo $a$ deve appartenere al dominio. La risposta $\abs{x - a} < \delta$ non esclude $x = a$ , sebbene includerlo non costi nulla, perché $\abs{f(a) - f(a)} = 0$ . E non si richiede che $a$ sia punto di accumulazione di $A$ . La negazione si ottiene come nella lezione sul limite: $f$ è discontinua in $a$ se esiste un $\varepsilon > 0$ tale che, per ogni $\delta > 0$ , c’è un $x$ di $A$ con $\abs{x - a} < \delta$ e $\abs{f(x) - f(a)} \geq \varepsilon$ .

ProposizioneContinuità e limite

Siano $f$ una funzione definita in $A$ ed $a$ un elemento di $A$ . Se $a$ è punto di accumulazione di $A$ , allora $f$ è continua in $a$ se e solo se $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Se $a$ è un punto isolato di $A$ , allora $f$ è continua in $a$ . Le due definizioni chiedono la stessa cosa tranne che nel punto $a$ , dove la continuità vale da sé. Nella figura, la striscia circonda il valore $f(a)$ , che ora è un punto pieno del grafico; alla fine, un punto isolato del dominio.

Dimostrazione

$0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon}$
Se $f$ è continua in $a$ , la risposta $\delta$ a ogni sfida $\varepsilon$ vale in particolare per gli $x$ con $0 < \abs{x - a} < \delta$ : è una risposta per il limite, con $L = f(a)$ .
$x = a \rightarrow \abs{f(a) - f(a)} = \resaltar{0} < \varepsilon$
Viceversa, se il limite è $f(a)$ , la risposta del limite copre gli $x$ diversi da $a$ , e in $x = a$ la condizione vale sempre: è una risposta per la continuità.
$\abs{x - a} < \delta \wedge x \in A \rightarrow x = a \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} = 0 < \varepsilon$
Se $a$ è un punto isolato, esiste un $\delta > 0$ tale che l’unico elemento di $A$ con $\abs{x - a} < \delta$ è proprio $a$ . Quel $\delta$ risponde a tutte le sfide in una volta.

Pertanto, in un punto di accumulazione del dominio, la continuità consiste in tre cose: che $f$ sia definita in $a$ , che abbia limite in $a$ , e che tale limite sia $f(a)$ . Ciascuna può venire meno separatamente, e da ciò nasce la classificazione delle discontinuità. Per esempio, la funzione che vale $1$ in ogni $x \neq 0$ e $0$ in $x = 0$ , del controesempio della composizione nella lezione sull’algebra dei limiti, ha limite $1$ in $0$ , diverso dal suo valore: è discontinua in $0$ .

Nel resto di questa lezione

Continuità unilaterale e continuità in un intervallo
Classificazione delle discontinuità
Operazioni con funzioni continue
Composizione
Proprietà locali
Problemi risolti
Due casi che si raccordano
Tre discontinuità diverse
Un’oscillazione smorzata e un’altra che non lo è
Limiti dentro funzioni continue
Una funzione continua in un solo punto
Problemi proposti
Tre casi
Il valore assoluto di una funzione continua
Il massimo di due funzioni continue
Una funzione additiva
La funzione di Thomae