Предел и непрерывность

Краткое содержание

На этом занятии пределы доводятся до их первого структурного следствия, непрерывности, которую последующее занятие распространяет на все элементарные функции. Функция непрерывна в точке, когда её значение там совпадает с тем, что предвещают близкие значения; с пределами предыдущих занятий эта идея записывается как привычные вызов и ответный ход, с единственным отличием: сама точка больше не исключается. Отсюда следует, что непрерывность в предельной точке области определения равносильна тому, что предел существует и равен значению, и что почти все её теоремы наследуются из арифметических свойств пределов без нового доказательства. Разрывы классифицируются на устранимые, разрывы типа скачка и существенные, а устранимые исправляются доопределением по непрерывности. Единственное новое рассуждение касается композиции, где непрерывность даёт больше, чем предел: она снимает условие, которого требовала теорема о пределе композиции, и позволяет вносить предел под знак непрерывной функции.

Цели обучения

Определять непрерывность в точке, с одной стороны и на промежутке и связывать её с пределом.
Классифицировать разрывы на устранимые, разрывы типа скачка и существенные и доопределять по непрерывности функцию с устранимым разрывом.
Доказывать непрерывность сумм, произведений, частных, корней и композиций непрерывных функций и выводить отсюда непрерывность многочленов, рациональных функций и тригонометрических функций.
Вычислять пределы, внося их под знак непрерывной функции, и исследовать функции, непрерывные лишь в одной точке или ни в одной.

Определение

На занятии о пределе функции одной действительной переменной определение намеренно исключало точку $a$ : предел описывает то, что происходит вблизи $a$ , а не в $a$ , и функция может быть там не определена. Непрерывность сравнивает и то и другое: то, что происходит вблизи, и то, что происходит в самой точке.

ОпределениеФункция, непрерывная в точке

Пусть функция $f$ определена на множестве $A$ , и $a$ есть элемент $A$ . Говорят, что $f$ непрерывна в точке $a$ , если для всякого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ , такое что всякий $x$ из $A$ , удовлетворяющий $\abs{x - a} < \delta$ , удовлетворяет также $\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon$ :

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)

Если $f$ не является непрерывной в точке $a$ , говорят, что она разрывна в точке $a$ . Если она непрерывна во всех точках множества $S$ , содержащегося в $A$ , говорят, что она непрерывна на $S$ ; а если она непрерывна во всей своей области определения, говорят просто, что она непрерывна.

Это определение отличается от определения предела в трёх отношениях. Число, к которому должны приближаться значения, есть не какое угодно $L$ , а $f(a)$ ; поэтому $a$ должна принадлежать области определения. Ответный ход $\abs{x - a} < \delta$ не исключает $x = a$ , хотя его включение ничего не стоит, поскольку $\abs{f(a) - f(a)} = 0$ . И не требуется, чтобы $a$ была предельной точкой множества $A$ . Отрицание получается, как на занятии о пределе: $f$ разрывна в точке $a$ , если существует $\varepsilon > 0$ , такое что для всякого $\delta > 0$ найдётся $x$ из $A$ с $\abs{x - a} < \delta$ и $\abs{f(x) - f(a)} \geq \varepsilon$ .

УтверждениеНепрерывность и предел

Пусть функция $f$ определена на $A$ , и $a$ есть элемент $A$ . Если $a$ есть предельная точка множества $A$ , то $f$ непрерывна в точке $a$ тогда и только тогда, когда $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Если $a$ есть изолированная точка множества $A$ , то $f$ непрерывна в точке $a$ . Оба определения требуют одного и того же, кроме точки $a$ , где непрерывность выполняется сама собой. На рисунке полоса окружает значение $f(a)$ , которое теперь является закрашенной точкой графика; в конце показана изолированная точка области определения.

Доказательство

$0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon}$
Если $f$ непрерывна в точке $a$ , ответный ход $\delta$ на каждый вызов $\varepsilon$ годится, в частности, для $x$ с $0 < \abs{x - a} < \delta$ : это ответный ход для предела, с $L = f(a)$ .
$x = a \rightarrow \abs{f(a) - f(a)} = \resaltar{0} < \varepsilon$
Обратно, если предел равен $f(a)$ , ответный ход для предела охватывает $x$ , отличные от $a$ , а при $x = a$ условие выполняется всегда: это ответный ход для непрерывности.
$\abs{x - a} < \delta \wedge x \in A \rightarrow x = a \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} = 0 < \varepsilon$
Если $a$ есть изолированная точка, существует $\delta > 0$ , такое что единственный элемент $A$ с $\abs{x - a} < \delta$ есть сама точка $a$ . Это $\delta$ отвечает на все вызовы сразу.

Итак, в предельной точке области определения непрерывность состоит из трёх условий: чтобы $f$ была определена в $a$ , имела предел в $a$ и чтобы этот предел был равен $f(a)$ . Каждое из них может нарушаться по отдельности, и отсюда возникает классификация разрывов. Например, функция, равная $1$ при всяком $x \neq 0$ и $0$ при $x = 0$ , из контрпримера к теореме о композиции на занятии об арифметических свойствах пределов, имеет предел $1$ в точке $0$ , отличный от её значения: она разрывна в $0$ .

Далее в этом уроке

Односторонняя непрерывность и непрерывность на промежутке
Классификация разрывов
Операции над непрерывными функциями
Композиция
Локальные свойства
Решённые задачи
Две ветви, которые соединяются
Три различных разрыва
Затухающее колебание и незатухающее
Пределы внутри непрерывных функций
Функция, непрерывная лишь в одной точке
Задачи для самостоятельного решения
Три ветви
Модуль непрерывной функции
Максимум двух непрерывных функций
Аддитивная функция
Функция Тома