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Topos Uranos
Português

Limite e continuidade

Resumo

Esta aula leva os limites à sua primeira consequência estrutural, a continuidade, que a próxima aula estende a todas as funções elementares. Uma função é contínua num ponto quando o seu valor ali é o que anunciam os valores próximos; com os limites das aulas precedentes, essa ideia escreve-se como o desafio e a resposta de sempre, com uma única diferença: o próprio ponto já não é excluído. Daí segue-se que a continuidade num ponto de acumulação equivale a que o limite exista e seja igual ao valor, e que quase todos os seus teoremas se herdam da álgebra dos limites sem demonstração nova. Classificam-se as descontinuidades em removíveis, de salto e essenciais, e reparam-se as removíveis com a extensão por continuidade. O único argumento novo é o da composição, onde a continuidade faz mais do que o limite: elimina a hipótese que o teorema do limite de uma composição exigia e permite introduzir o limite dentro de uma função contínua.

Objetivos de aprendizagem

  1. Definir a continuidade num ponto, de um lado e num intervalo, e relacioná-la com o limite.
  2. Classificar as descontinuidades em removíveis, de salto e essenciais, e estender por continuidade uma função com uma descontinuidade removível.
  3. Demonstrar a continuidade das somas, dos produtos, dos quocientes, das raízes e das composições de funções contínuas, e deduzir a dos polinômios, das funções racionais e das funções trigonométricas.
  4. Calcular limites introduzindo-os numa função contínua, e estudar funções contínuas num só ponto ou em nenhum.

Definição

Na aula sobre o limite de funções de uma variável real, a definição excluía deliberadamente o ponto aa: o limite descreve o que ocorre perto de aa, não em aa, e a função pode não estar definida ali. A continuidade compara ambas as coisas: o que ocorre perto e o que ocorre no ponto.

DefiniçãoFunção contínua num ponto

Sejam ff uma função definida num conjunto AA e aa um elemento de AA. Diz-se que ff é contínua em aa se para todo ε>0\varepsilon > 0 existe um δ>0\delta > 0 tal que todo xx de AA que cumpre ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta cumpre também ∣f(x)−f(a)∣<ε\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon:

(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−a∣<δ→∣f(x)−f(a)∣<ε)(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)

Se ff não é contínua em aa, diz-se que é descontínua em aa. Se é contínua em todos os pontos de um conjunto SS contido em AA, diz-se que é contínua em SS; e, se o é em todo o seu domínio, simplesmente que é contínua.

A definição difere da do limite em três pontos. O número de que os valores devem aproximar-se não é um LL qualquer, mas f(a)f(a); por isso aa deve pertencer ao domínio. A resposta ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta não exclui x=ax = a, embora incluí-lo não custe nada, porque ∣f(a)−f(a)∣=0\abs{f(a) - f(a)} = 0. E não se exige que aa seja ponto de acumulação de AA. A negação obtém-se como na aula sobre o limite: ff é descontínua em aa se existe um ε>0\varepsilon > 0 tal que, para todo δ>0\delta > 0, há um xx de AA com ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta e ∣f(x)−f(a)∣≥ε\abs{f(x) - f(a)} \geq \varepsilon.

ProposiçãoContinuidade e limite

Sejam ff uma função definida em AA e aa um elemento de AA. Se aa é ponto de acumulação de AA, então ff é contínua em aa se e somente se lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a). Se aa é um ponto isolado de AA, então ff é contínua em aa. As duas definições pedem o mesmo, exceto no ponto aa, onde a continuidade se cumpre sozinha. Na figura, a faixa rodeia o valor f(a)f(a), que agora é um ponto cheio do gráfico; no fim, um ponto isolado do domínio.

Demonstração

  1. 0<∣x−a∣<δ→∣x−a∣<δ→∣f(x)−f(a)∣<ε0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon}

    Se ff é contínua em aa, a resposta δ\delta a cada desafio ε\varepsilon vale em particular para os xx com 0<∣x−a∣<δ0 < \abs{x - a} < \delta: é uma resposta para o limite, com L=f(a)L = f(a).

  2. x=a→∣f(a)−f(a)∣=0<εx = a \rightarrow \abs{f(a) - f(a)} = \resaltar{0} < \varepsilon

    Reciprocamente, se o limite é f(a)f(a), a resposta do limite cobre os xx distintos de aa, e em x=ax = a a condição cumpre-se sempre: é uma resposta para a continuidade.

  3. ∣x−a∣<δ∧x∈A→x=a→∣f(x)−f(a)∣=0<ε\abs{x - a} < \delta \wedge x \in A \rightarrow x = a \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} = 0 < \varepsilon

    Se aa é um ponto isolado, existe um δ>0\delta > 0 tal que o único elemento de AA com ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta é o próprio aa. Esse δ\delta responde a todos os desafios de uma vez.

Portanto, num ponto de acumulação do domínio, a continuidade consiste em três coisas: que ff esteja definida em aa, que tenha limite em aa e que esse limite seja f(a)f(a). Cada uma pode falhar separadamente, e daí sai a classificação das descontinuidades. Por exemplo, a função que vale 11 em todo x≠0x \neq 0 e 00 em x=0x = 0, do contraexemplo da composição na aula sobre a álgebra dos limites, tem limite 11 em 00, distinto do seu valor: é descontínua em 00.