Continuidade das funções elementares e limites notáveis

Resumo

Esta aula demonstra que as funções elementares que faltavam, a exponencial, o logaritmo, as potências de expoente real, as trigonométricas inversas e as hiperbólicas, são contínuas, com um único argumento: uma função monótona cujos valores preenchem um intervalo não pode saltar. Com essa continuidade e a desigualdade fundamental da exponencial demonstram-se os limites notáveis da exponencial e do logaritmo, e obtém-se o número $e$ como limite de $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ . A aula resolve também a forma indeterminada $1^\infty$ e compara a exponencial, as potências e o logaritmo no infinito.

Objetivos de aprendizagem

Demonstrar que uma função monótona cuja imagem é um intervalo é contínua, e deduzir daí a continuidade da inversa e das funções elementares.
Demonstrar os limites notáveis da exponencial, do logaritmo e das potências.
Obter o número $e$ como limite e resolver a forma indeterminada $1^\infty$ .
Comparar a exponencial, as potências e o logaritmo no infinito e perto de zero.

Funções monótonas sem saltos

A aula sobre limite e continuidade demonstrou que os polinômios, as raízes, o valor absoluto e as funções trigonométricas são contínuos, e deixou pendentes a exponencial, o logaritmo e as trigonométricas inversas. Para elas não há uma cota tão simples como $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ . Há, em contrapartida, um argumento comum: todas são monótonas, e os seus valores preenchem um intervalo sem deixar lacunas. Uma função monótona só pode ser descontínua por meio de um salto, e um salto deixa uma lacuna entre os valores.

TeoremaFunções monótonas cuja imagem é um intervalo

Seja $f$ uma função definida num intervalo $I$ e monótona nele, e suponhamos que a sua imagem $f(I) = \left\{ f(x) : x \in I \right\}$ seja um intervalo. Então $f$ é contínua em $I$ . Pela aula sobre os limites laterais, de cada lado de um ponto a função monótona tem limite; se esse limite não fosse o valor, ficaria uma lacuna na imagem. A figura mostra uma função crescente com um salto e a lacuna que ele deixa.

Demonstração

$\lim_{x \to a^-} f(x) = \dato{l}{L \leq f(a)}, \qquad f(c) \leq L$
Basta o caso crescente: se $f$ é decrescente, $-f$ é crescente e a sua imagem também é um intervalo. Seja $a$ um ponto de $I$ distinto do seu extremo esquerdo, e seja $c < a$ em $I$ . Em $\ioo{c}{a}$ , a função é crescente e limitada por $f(a)$ ; pelo teorema do limite de uma função monótona, o limite à esquerda existe e é o supremo desses valores.
$x < a \rightarrow f(x) \leq L < y, \qquad x \geq a \rightarrow f(x) \geq f(a) > y$
Suponhamos que $L < f(a)$ . O ponto médio $y$ entre $L$ e $f(a)$ está entre os valores $f(c)$ e $f(a)$ , de modo que pertence à imagem, que é um intervalo. Mas nenhum $x$ de $I$ o alcança: se $x < a$ , o valor não ultrapassa $L$ , e se $x \geq a$ , não desce abaixo de $f(a)$ . É uma contradição.
$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = \resaltar{f(a)}$
Portanto, $L = f(a)$ . Do mesmo modo, com o ínfimo e o corolário do extremo esquerdo da mesma aula, o limite à direita vale $f(a)$ em todo $a$ de $I$ distinto do seu extremo direito. Os dois limites laterais coincidem com o valor, e $f$ é contínua em $a$ ; num extremo de $I$ basta o único lado que existe.

A hipótese sobre a imagem é necessária: a parte inteira é monótona e descontínua em cada inteiro, e a sua imagem, os inteiros, não é um intervalo. Do teorema segue-se de imediato a continuidade das funções inversas.

CorolárioContinuidade da inversa

Seja $f$ uma função definida num intervalo $I$ e estritamente monótona nele, e suponhamos que a sua imagem $J = f(I)$ seja um intervalo. Então a inversa $f^{-1} \colon J \to I$ é contínua em $J$ . A inversa é monótona no mesmo sentido, e a sua imagem é o intervalo $I$ .

Demonstração

$f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y') \rightarrow y \geq y', \qquad f^{-1}(J) = \resaltar{I}$
Se $f$ é crescente e $y < y'$ em $J$ , a inversa não pode inverter a ordem: se fosse $f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y')$ , ao aplicar $f$ obter-se-ia $y \geq y'$ . Portanto, $f^{-1}$ é crescente, e a sua imagem é $I$ ; o teorema dá a continuidade. O caso decrescente é igual.