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Topos Uranos
中文 (中国)

初等函数的连续性与重要极限

摘要

本课证明，此前尚缺的初等函数，即指数函数、对数函数、实数指数幂、反三角函数与双曲函数，都是连续的，而且只用一个论证：值充满一个区间的单调函数不可能跳跃。利用这种连续性和指数函数的基本不等式，可以证明指数函数与对数函数的重要极限，并把数 ee 作为 (1+x)1x(1 + x)^{\frac{1}{x}} 的极限得到。本课还解决 1∞1^\infty 型不定式，并在无穷远处比较指数函数、幂与对数函数。

学习目标

  1. 证明像为区间的单调函数是连续的，并由此推出反函数的连续性和初等函数的连续性。
  2. 证明指数函数、对数函数与幂的重要极限。
  3. 把数 ee 作为极限得到，并解决 1∞1^\infty 型不定式。
  4. 在无穷远处和零附近比较指数函数、幂与对数函数。

没有跳跃的单调函数

关于极限与连续性的课证明了多项式、根式、绝对值和三角函数是连续的，而把指数函数、对数函数和反三角函数留待以后。对它们来说，没有像 ∣sin⁡x−sin⁡a∣≤∣x−a∣\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a} 那样简单的界。不过，有一个共同的论证：它们都是单调的，而且它们的值充满一个区间，不留空隙。单调函数只能通过跳跃而间断，而跳跃会在值之间留下空隙。

定理像为区间的单调函数

设 ff 是定义在区间 II 上且在其上单调的函数，并设它的像 f(I)={f(x):x∈I}f(I) = \left\{ f(x) : x \in I \right\} 是一个区间。那么 ff 在 II 上连续。 由关于单侧极限的课，单调函数在一点的每一侧都有极限；如果这个极限不是函数值，像中就会留下空隙。图中展示一个有跳跃的递增函数以及它留下的空隙。

证明

  1. lim⁡x→a−f(x)=L≤f(a),f(c)≤L\lim_{x \to a^-} f(x) = \dato{l}{L \leq f(a)}, \qquad f(c) \leq L

    只需考虑递增的情形：若 ff 递减，则 −f-f 递增，并且它的像也是区间。设 aa 是 II 中不同于其左端点的点，并设 c<ac < a（两点都在 II 中）。在 (c,a)\ioo{c}{a} 上，函数递增且以 f(a)f(a) 为上界；由单调函数的极限定理，左极限存在，且等于这些值的上确界。

  2. x<a→f(x)≤L<y,x≥a→f(x)≥f(a)>yx < a \rightarrow f(x) \leq L < y, \qquad x \geq a \rightarrow f(x) \geq f(a) > y

    假设 L<f(a)L < f(a)。中点 yy（介于 LL 与 f(a)f(a) 之间）位于值 f(c)f(c) 与 f(a)f(a) 之间，因此属于像，而像是一个区间。但是没有任何 xx（属于 II）能取到它：若 x<ax < a，则函数值不超过 LL；若 x≥ax \geq a，则函数值不小于 f(a)f(a)。这是矛盾。

  3. lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = \resaltar{f(a)}

    因此，L=f(a)L = f(a)。同理，利用下确界和同一课中关于左端点的推论，右极限等于 f(a)f(a)，这对每个 aa（属于 II 且不同于其右端点）成立。两个单侧极限都与函数值一致，于是 ff 在 aa 处连续；在 II 的端点处，只需考虑存在的那一侧。

关于像的假设是必要的：整数部分函数是单调的，并且在每个整数处间断，而它的像，即全体整数，不是区间。由定理立即推出反函数的连续性。

推论反函数的连续性

设 ff 是定义在区间 II 上且在其上严格单调的函数，并设它的像 J=f(I)J = f(I) 是一个区间。那么反函数 f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I 在 JJ 上连续。 反函数的单调方向相同，它的像是区间 II。

证明

  1. f−1(y)≥f−1(y′)→y≥y′,f−1(J)=If^{-1}(y) \geq f^{-1}(y') \rightarrow y \geq y', \qquad f^{-1}(J) = \resaltar{I}

    若 ff 递增，且 y<y′y < y'（两点都在 JJ 中），则反函数不能颠倒顺序：如果 f−1(y)≥f−1(y′)f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y')，那么作用 ff 后就会得到 y≥y′y \geq y'。因此 f−1f^{-1} 递增，并且它的像是 II；定理给出连续性。递减的情形相同。