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Topos Uranos
Français

Continuité des fonctions élémentaires et limites remarquables

Résumé

Cette leçon démontre que les fonctions élémentaires qui manquaient, les exponentielles, les logarithmes, les puissances à exposant réel, les fonctions trigonométriques réciproques et les fonctions hyperboliques, sont continues, par un seul argument : une fonction monotone dont les valeurs remplissent un intervalle ne peut sauter. Avec cette continuité et l’inégalité fondamentale de l’exponentielle, on démontre les limites remarquables de l’exponentielle et du logarithme, et l’on obtient le nombre ee comme limite de (1+x)1x(1 + x)^{\frac{1}{x}}. La leçon résout aussi la forme indéterminée 1∞1^\infty et compare les exponentielles, les puissances et les logarithmes à l’infini.

Objectifs d’apprentissage

  1. Démontrer qu’une fonction monotone dont l’image est un intervalle est continue, et en déduire la continuité de la réciproque et des fonctions élémentaires.
  2. Démontrer les limites remarquables de l’exponentielle, du logarithme et des puissances.
  3. Obtenir le nombre ee comme limite et résoudre la forme indéterminée 1∞1^\infty.
  4. Comparer les exponentielles, les puissances et les logarithmes à l’infini et au voisinage de zéro.

Fonctions monotones sans sauts

La leçon sur la limite et la continuité a démontré que les polynômes, les racines, la valeur absolue et les fonctions trigonométriques sont continus, et a laissé en suspens les exponentielles, les logarithmes et les fonctions trigonométriques réciproques. Pour elles, il n’existe aucune majoration aussi simple que ∣sin⁡x−sin⁡a∣≤∣x−a∣\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}. Il y a, en revanche, un argument commun : toutes sont monotones, et leurs valeurs remplissent un intervalle sans laisser de trous. Une fonction monotone ne peut être discontinue que par un saut, et un saut laisse un trou entre les valeurs.

ThéorèmeFonctions monotones dont l’image est un intervalle

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et monotone sur cet intervalle, et supposons que son image f(I)={f(x):x∈I}f(I) = \left\{ f(x) : x \in I \right\} soit un intervalle. Alors ff est continue sur II. D’après la leçon sur les limites à gauche et à droite, de chaque côté d’un point la fonction monotone a une limite ; si cette limite n’était pas la valeur, il resterait un trou dans l’image. La figure montre une fonction croissante avec un saut et le trou qu’il laisse.

Démonstration

  1. lim⁡x→a−f(x)=L≤f(a),f(c)≤L\lim_{x \to a^-} f(x) = \dato{l}{L \leq f(a)}, \qquad f(c) \leq L

    Il suffit de traiter le cas croissant : si ff est décroissante, −f-f est croissante et son image est aussi un intervalle. Soit aa un point de II distinct de sa borne gauche, et soit c<ac < a dans II. Sur (c,a)\ioo{c}{a}, la fonction est croissante et majorée par f(a)f(a) ; d’après le théorème de la limite d’une fonction monotone, la limite à gauche existe et est la borne supérieure de ces valeurs.

  2. x<a→f(x)≤L<y,x≥a→f(x)≥f(a)>yx < a \rightarrow f(x) \leq L < y, \qquad x \geq a \rightarrow f(x) \geq f(a) > y

    Supposons que L<f(a)L < f(a). Le milieu yy de LL et f(a)f(a) est compris entre les valeurs f(c)f(c) et f(a)f(a), de sorte qu’il appartient à l’image, qui est un intervalle. Mais aucun xx de II ne l’atteint : si x<ax < a, la valeur ne dépasse pas LL, et si x≥ax \geq a, elle ne descend pas au-dessous de f(a)f(a). C’est une contradiction.

  3. lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = \resaltar{f(a)}

    Par conséquent, L=f(a)L = f(a). De même, avec la borne inférieure et le corollaire de la borne gauche de la même leçon, la limite à droite vaut f(a)f(a) en tout point aa de II distinct de sa borne droite. Les limites à gauche et à droite coïncident avec la valeur, et ff est continue en aa ; en une borne de II, le seul côté qui existe suffit.

L’hypothèse sur l’image est nécessaire : la partie entière est monotone et discontinue en chaque entier, et son image, l’ensemble des entiers, n’est pas un intervalle. Du théorème découle immédiatement la continuité des fonctions réciproques.

CorollaireContinuité de la réciproque

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et strictement monotone sur cet intervalle, et supposons que son image J=f(I)J = f(I) soit un intervalle. Alors la réciproque f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I est continue sur JJ. La réciproque est monotone dans le même sens, et son image est l’intervalle II.

Démonstration

  1. f−1(y)≥f−1(y′)→y≥y′,f−1(J)=If^{-1}(y) \geq f^{-1}(y') \rightarrow y \geq y', \qquad f^{-1}(J) = \resaltar{I}

    Si ff est croissante et y<y′y < y' dans JJ, la réciproque ne peut renverser l’ordre : si l’on avait f−1(y)≥f−1(y′)f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y'), en appliquant ff on obtiendrait y≥y′y \geq y'. Par conséquent, f−1f^{-1} est croissante, et son image est II ; le théorème donne la continuité. Le cas décroissant est identique.