Continuidad de las funciones elementales y límites notables

Resumen

Esta clase demuestra que las funciones elementales que faltaban, la exponencial, el logaritmo, las potencias de exponente real, las trigonométricas inversas y las hiperbólicas, son continuas, con un solo argumento: una función monótona cuyos valores llenan un intervalo no puede saltar. Con esa continuidad y la desigualdad fundamental de la exponencial se demuestran los límites notables de la exponencial y del logaritmo, y se obtiene el número $e$ como límite de $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ . La clase resuelve también la forma indeterminada $1^\infty$ y compara la exponencial, las potencias y el logaritmo en el infinito.

Objetivos de aprendizaje

Demostrar que una función monótona cuya imagen es un intervalo es continua, y deducir de ello la continuidad de la inversa y de las funciones elementales.
Demostrar los límites notables de la exponencial, del logaritmo y de las potencias.
Obtener el número $e$ como límite y resolver la forma indeterminada $1^\infty$ .
Comparar la exponencial, las potencias y el logaritmo en el infinito y cerca de cero.

Funciones monótonas sin saltos

La clase sobre límite y continuidad demostró que los polinomios, las raíces, el valor absoluto y las funciones trigonométricas son continuos, y dejó pendientes la exponencial, el logaritmo y las trigonométricas inversas. Para ellas no hay una cota tan simple como $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ . Hay, en cambio, un argumento común: todas son monótonas, y sus valores llenan un intervalo sin dejar huecos. Una función monótona solo puede ser discontinua mediante un salto, y un salto deja un hueco entre los valores.

TeoremaFunciones monótonas cuya imagen es un intervalo

Sea $f$ una función definida en un intervalo $I$ y monótona en él, y supongamos que su imagen $f(I) = \left\{ f(x) : x \in I \right\}$ es un intervalo. Entonces $f$ es continua en $I$ . Por la clase sobre los límites laterales, a cada lado de un punto la función monótona tiene límite; si ese límite no fuera el valor, quedaría un hueco en la imagen. La figura muestra una función creciente con un salto y el hueco que deja.

Demostración

$\lim_{x \to a^-} f(x) = \dato{l}{L \leq f(a)}, \qquad f(c) \leq L$
Basta el caso creciente: si $f$ es decreciente, $-f$ es creciente y su imagen también es un intervalo. Sea $a$ de $I$ distinto de su extremo izquierdo, y sea $c < a$ en $I$ . En $\ioo{c}{a}$ , la función es creciente y está acotada por $f(a)$ ; por el teorema del límite de una función monótona, el límite por la izquierda existe y es el supremo de esos valores.
$x < a \rightarrow f(x) \leq L < y, \qquad x \geq a \rightarrow f(x) \geq f(a) > y$
Supongamos que $L < f(a)$ . El punto medio $y$ entre $L$ y $f(a)$ está entre los valores $f(c)$ y $f(a)$ , de modo que pertenece a la imagen, que es un intervalo. Pero ningún $x$ de $I$ lo alcanza: si $x < a$ , el valor no supera $L$ , y si $x \geq a$ , no baja de $f(a)$ . Es una contradicción.
$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = \resaltar{f(a)}$
Por tanto, $L = f(a)$ . Del mismo modo, con el ínfimo y el corolario del extremo izquierdo de la misma clase, el límite por la derecha vale $f(a)$ en todo $a$ de $I$ distinto de su extremo derecho. Los dos límites laterales coinciden con el valor, y $f$ es continua en $a$ ; en un extremo de $I$ basta el único lado que existe.

La hipótesis sobre la imagen es necesaria: la parte entera es monótona y discontinua en cada entero, y su imagen, los enteros, no es un intervalo. Del teorema se sigue de inmediato la continuidad de las funciones inversas.

CorolarioContinuidad de la inversa

Sea $f$ una función definida en un intervalo $I$ y estrictamente monótona en él, y supongamos que su imagen $J = f(I)$ es un intervalo. Entonces la inversa $f^{-1} \colon J \to I$ es continua en $J$ . La inversa es monótona en el mismo sentido, y su imagen es el intervalo $I$ .

Demostración

$f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y') \rightarrow y \geq y', \qquad f^{-1}(J) = \resaltar{I}$
Si $f$ es creciente y $y < y'$ en $J$ , la inversa no puede invertir el orden: si fuera $f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y')$ , al aplicar $f$ se obtendría $y \geq y'$ . Por tanto, $f^{-1}$ es creciente, y su imagen es $I$ ; el teorema da la continuidad. El caso decreciente es igual.