Infinitésimos e infinitos equivalentes

Resumen

Esta clase cierra la unidad de los límites con una técnica de cálculo que reúne casi todo lo anterior: la comparación de funciones que tienden a cero o a infinito. Se definen la $o$ pequeña, la $O$ grande, el mismo orden y la equivalencia, y se demuestra que, en un producto o un cociente, cada factor puede sustituirse por otro equivalente sin alterar el límite. Los límites trigonométricos, los de la exponencial, el logaritmo y las potencias, y los de los polinomios, demostrados en las clases anteriores, se reúnen en una tabla de equivalentes, que permite calcular de un vistazo límites que antes exigían varias transformaciones. La clase muestra también el error más común con esta técnica, sustituir dentro de una suma, cuándo una suma sí puede sustituirse, y cómo se comparan las potencias cerca de cero y lejos del origen.

Objetivos de aprendizaje

Definir la $o$ pequeña, la $O$ grande, el mismo orden y la equivalencia de funciones en un punto, a un lado o en el infinito, y demostrar sus propiedades.
Demostrar el teorema de sustitución de equivalentes en productos y cocientes, y reconocer por qué no vale en las sumas.
Demostrar la tabla de equivalentes en cero y usarla, con la composición, para calcular límites y determinar el orden y la parte principal de un infinitésimo.
Comparar infinitos e infinitésimos potenciales, y distinguir la equivalencia de la existencia de una asíntota.

Comparar funciones

Las clases sobre el teorema del sándwich y sobre los límites infinitos mostraron que las formas $\frac{0}{0}$ y $\frac{\infty}{\infty}$ no tienen un resultado fijo: el límite de un cociente de dos funciones que tienden a cero depende de con qué rapidez lo hacen. La idea de esta clase es medir esa rapidez comparando cada función con otra más sencilla. Como en la clase sobre los límites infinitos, $P$ designa el destino de la variable ( $a$ , $a^+$ , $a^-$ , $\infty$ o $-\infty$ ), y «cerca de $P$ » significa en un intervalo reducido, a un lado o en una semirrecta.

DefiniciónComparación de funciones

Sean $f$ y $g$ funciones definidas cerca de $P$ , con $g(x) \neq 0$ cerca de $P$ .

$f$ es despreciable frente a $g$ en $P$ , y se escribe $f = \operatorname{o}(g)$ , que se lee « $f$ es o pequeña de $g$ », si $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ .
$f$ está acotada por $g$ en $P$ , y se escribe $f = \operatorname{O}(g)$ , que se lee « $f$ es O grande de $g$ », si existe $C > 0$ tal que $\abs{f(x)} \leq C\abs{g(x)}$ cerca de $P$ ; es decir, si el cociente $\frac{f(x)}{g(x)}$ está acotado cerca de $P$ .
$f$ y $g$ son del mismo orden en $P$ si $\frac{f(x)}{g(x)}$ tiende a un número distinto de cero.
$f$ y $g$ son equivalentes en $P$ , y se escribe $f \sim g$ , si $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ .

Una función que tiende a $0$ en $P$ se llama un infinitésimo en $P$ , y una que tiende a $\infty$ o a $-\infty$ , un infinito. Un infinitésimo en $0$ tiene orden $k > 0$ si es del mismo orden que $x^k$ (en $0^+$ , si $x^k$ solo está definida para $x > 0$ ), y entonces, si $\frac{f(x)}{x^k}$ tiende a $c$ , la función $c\,x^k$ es su parte principal: $f \sim c\,x^k$ .

La palabra «infinitésimo» no designa un número muy pequeño, sino una función que tiende a cero; la escritura $\operatorname{o}(g)$ no designa una función concreta, sino cualquiera de las que son despreciables frente a $g$ . Por ejemplo, $x^2 = \operatorname{o}(x)$ en $0$ , porque $\frac{x^2}{x} = x$ tiende a $0$ ; en cambio, $x = \operatorname{o}(x^2)$ en $\infty$ , porque $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$ tiende a $0$ . Una misma pareja de funciones se compara de manera opuesta según el destino. Las dos comparaciones son, en el fondo, una sola: si $f$ y $g$ son del mismo orden con cociente que tiende a $c$ , entonces $f \sim c\,g$ .

ProposiciónPropiedades de la comparación

En un mismo destino $P$ :

la equivalencia es reflexiva, simétrica y transitiva: $f \sim f$ ; si $f \sim g$ , entonces $g \sim f$ ; y si $f \sim g$ y $g \sim h$ , entonces $f \sim h$ ;
$f \sim g$ si y solo si $f - g = \operatorname{o}(g)$ ; en particular, si $h = \operatorname{o}(g)$ , entonces $g + h \sim g$ ;
si $f = \operatorname{o}(h)$ y $g = \operatorname{o}(h)$ , entonces $f + g = \operatorname{o}(h)$ y $c\,f = \operatorname{o}(h)$ para todo real $c$ .

Cada afirmación es una regla del álgebra de límites aplicada a un cociente.

Demostración

$\frac{g}{f} = \frac{1}{\frac{f}{g}} \to 1, \qquad \frac{f}{h} = \frac{f}{g} \cdot \frac{g}{h} \to 1 \cdot 1 = \resaltar{1}$
El cociente de $f$ por sí misma vale $1$ . Si $\frac{f}{g}$ tiende a $1$ , su recíproco tiende a $\frac{1}{1} = 1$ , por la regla del recíproco. Si $\frac{f}{g}$ y $\frac{g}{h}$ tienden a $1$ , su producto también, por la regla del producto.
$\frac{f - g}{g} = \frac{f}{g} - 1 \to 0 \Leftrightarrow \frac{f}{g} \to \resaltar{1}$
El cociente de $f - g$ por $g$ es $\frac{f}{g} - 1$ , que tiende a $0$ si y solo si $\frac{f}{g}$ tiende a $1$ . Con $f = g + h$ , la diferencia es $h$ .
$\frac{f + g}{h} = \frac{f}{h} + \frac{g}{h} \to 0 + 0 = \resaltar{0}$
Si $\frac{f}{h}$ y $\frac{g}{h}$ tienden a $0$ , también su suma y el producto de cada uno por una constante, por la regla de la combinación lineal.

La $O$ grande no exige que el cociente tenga límite, sino solo que no crezca sin control. Por ejemplo, $\sin x = \operatorname{O}(1)$ en $\infty$ , aunque $\sin x$ no tenga límite allí, y $x \sin \frac{1}{x} = \operatorname{O}(x)$ en $0$ , porque $\abs{x \sin \frac{1}{x}} \leq \abs{x}$ . Para calcular límites basta la $o$ pequeña; la $O$ grande servirá para medir errores de aproximación, como el del polinomio de Taylor, que se estudiará en Cálculo II. Sus reglas son las siguientes.

ProposiciónReglas de la O grande

En un mismo destino $P$ :

si $\frac{f}{g}$ tiene límite finito en $P$ , entonces $f = \operatorname{O}(g)$ ; en particular, si $f = \operatorname{o}(g)$ o si $f \sim g$ ;
si $f = \operatorname{O}(h)$ y $g = \operatorname{O}(h)$ , entonces $f + g = \operatorname{O}(h)$ y $c\,f = \operatorname{O}(h)$ para todo real $c$ ;
si $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ y $f_2 = \operatorname{O}(g_2)$ , entonces $f_1 f_2 = \operatorname{O}(g_1 g_2)$ ;
si $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ y $f_2 = \operatorname{o}(g_2)$ , entonces $f_1 f_2 = \operatorname{o}(g_1 g_2)$ .

Cada regla es una desigualdad entre valores absolutos; la última combina una cota con un cociente que tiende a cero.

Demostración

$\abs{\frac{f(x)}{g(x)}} \leq \abs{\frac{f(x)}{g(x)} - L} + \abs{L} < \resaltar{\abs{L} + 1}$
Si $\frac{f}{g}$ tiende a $L$ , el desafío $\varepsilon = 1$ tiene respuesta: cerca de $P$ , el cociente dista de $L$ menos que $1$ , y por la desigualdad triangular su valor absoluto no supera $\abs{L} + 1$ .
$\abs{f(x) + g(x)} \leq C_1\abs{h(x)} + C_2\abs{h(x)} = \resaltar{(C_1 + C_2)\abs{h(x)}}$
Las cotas $C_1$ de $f$ y $C_2$ de $g$ valen a la vez cerca de $P$ , en la parte común de los dos entornos. La desigualdad triangular acota la suma; el múltiplo tiene la cota $\abs{c}\,C_1$ .
$\abs{f_1(x) f_2(x)} \leq C_1\abs{g_1(x)} \cdot C_2\abs{g_2(x)} = \resaltar{C_1 C_2 \abs{g_1(x) g_2(x)}}$
Las cotas de los dos factores se multiplican.
$0 \leq \abs{\frac{f_1(x) f_2(x)}{g_1(x) g_2(x)}} \leq C_1 \abs{\frac{f_2(x)}{g_2(x)}} \to \resaltar{0}$
El cociente del producto por $g_1 g_2$ es el producto de un cociente acotado por $C_1$ y otro que tiende a $0$ ; por el teorema del sándwich, tiende a $0$ .