El teorema del sándwich y los límites trigonométricos

Resumen

Esta clase obtiene límites que las reglas del álgebra de límites no alcanzan, comparando la función con otras cuyo límite se conoce. Primero se demuestra que los límites conservan las desigualdades no estrictas; después, el teorema del sándwich, que se reduce al criterio de la cota de la clase anterior sin ningún argumento nuevo con épsilon y delta, y su caso más usado: el producto de una función acotada por otra que tiende a cero. Con la cota del seno, demostrada en Álgebra y Geometría II, se prueba que el seno y el coseno tienen límite en todo punto, igual a su valor. La desigualdad entre el seno, el arco y la tangente da entonces el límite fundamental $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , del que las reglas ya conocidas deducen los demás límites trigonométricos. Los problemas aplican el teorema del sándwich, calculan límites trigonométricos con cambios de variable y obtienen el límite de $\frac{\arctan y}{y}$ .

Objetivos de aprendizaje

Demostrar con el criterio de la cota la conservación de las desigualdades, el teorema del sándwich y el límite del producto de una función acotada por otra que tiende a cero.
Demostrar que el seno y el coseno tienen límite en todo punto, igual a su valor, y deducir el de la tangente.
Demostrar el límite fundamental $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ y deducir de él los límites de $\frac{\tan x}{x}$ , $\frac{\sin kx}{x}$ , $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ y $\frac{1 - \cos x}{x}$ .
Calcular límites por comparación y límites trigonométricos, justificando cada paso con los teoremas de la clase.

Límites que las reglas no alcanzan

En la clase sobre el álgebra de límites, toda forma $\frac{0}{0}$ se resolvió transformando la expresión hasta simplificar un factor común. El cociente $\frac{\sin x}{x}$ , cuando $x$ tiende a $0$ , no admite ese tratamiento: el seno no es un polinomio, y ninguna factorización hace aparecer el factor $x$ en el numerador. Tampoco la regla del producto decide el límite de $x \sin \frac{1}{x}$ en $0$ , porque el factor $\sin \frac{1}{x}$ no tiene límite, como se pidió demostrar en el problema propuesto 3 de la clase sobre el límite de funciones de una variable real.

Ahora bien, en ambos casos la función queda atrapada entre otras dos más sencillas: el valor absoluto de $x \sin \frac{1}{x}$ no excede $\abs{x}$ , y el cociente $\frac{\sin x}{x}$ está, como se verá, entre $\cos x$ y $1$ . Si esto es así, conviene demostrar una sola vez que una función atrapada entre dos que tienden al mismo número tiende también a él. Las demostraciones de esta clase siguen el plan de la anterior: cada resultado se reduce a una desigualdad, y el criterio de la cota, o la herramienta que de él se dedujo, hace el resto.

Se mantienen las convenciones de la clase anterior: $f$ , $g$ y $h$ son funciones reales definidas en un mismo conjunto $A$ , el punto $a$ es de acumulación de $A$ , y que algo se cumpla «cerca de $a$ » significa que existe un $r > 0$ tal que lo cumple todo $x$ de $A$ con $0 < \abs{x - a} < r$ . Recuérdese la herramienta con que terminó la sección de los tres lemas: si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ y $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , toda función $F$ que cumpla cerca de $a$ una cota como la siguiente, con $C > 0$ , tiende a $K$ .

\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)