Límites laterales · Topos Uranos

Resumen

Esta clase estudia el comportamiento de una función a cada lado de un punto. El límite por la derecha y el límite por la izquierda se definen como límites ordinarios de la restricción de la función a uno de los lados, de modo que todos los teoremas de las clases anteriores valen para ellos sin una demostración nueva. Con épsilon y delta se demuestran solo dos resultados: que una función tiene límite si y solo si sus dos límites laterales existen y coinciden, y que una función monótona y acotada tiene límite lateral en el extremo de un intervalo, igual al supremo o al ínfimo de sus valores. Este último es el primer teorema del curso que asegura que un límite existe sin conocer de antemano su valor. Los problemas estudian funciones definidas por tramos, la parte entera y cocientes trigonométricos que tienden a números distintos a cada lado.

Objetivos de aprendizaje

Definir con épsilon y delta los límites laterales como límites de una restricción, y aplicarles los teoremas de las clases anteriores.
Demostrar que una función tiene límite en un punto si y solo si sus dos límites laterales existen y son iguales, y usarlo para demostrar que un límite no existe.
Demostrar que una función monótona y acotada tiene límites laterales en los extremos de un intervalo, iguales al supremo o al ínfimo de sus valores.
Calcular límites laterales de funciones definidas por tramos, de la parte entera y de cocientes trigonométricos, y determinar constantes para que un límite exista.

Saltos y bordes

En la clase sobre el límite de funciones de una variable real se demostró que la función signo, que vale $1$ en los positivos, $-1$ en los negativos y $0$ en $0$ , no tiene límite en $0$ . Y sin embargo su comportamiento cerca de $0$ es muy sencillo: a la derecha de $0$ vale constantemente $1$ , y a la izquierda, constantemente $-1$ . La definición de límite no distingue los lados, y por eso no registra esa información. Lo mismo ocurre con la parte entera, que se define a continuación, en cada número entero.

En la demostración de la densidad de los racionales, en la clase sobre la recta real, se probó que para todo real $t$ existe un entero $m$ con $m - 1 \leq t < m$ . Ese entero es único, porque dos enteros distintos distan al menos $1$ y no caben ambos en un intervalo de longitud $1$ abierto por un extremo. El entero $m - 1$ se llama parte entera de $t$ y se escribe $\lfloor t \rfloor$ : es el único entero que cumple la condición siguiente.

\lfloor t \rfloor \in \mathbb{Z}, \qquad \lfloor t \rfloor \leq t < \lfloor t \rfloor + 1

Por ejemplo, $\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2$ , $\lfloor 3 \rfloor = 3$ y $\lfloor -0{,}5 \rfloor = -1$ . En el intervalo $\ico{n}{n + 1}$ , con $n$ entero, la parte entera vale constantemente $n$ ; al llegar a $n + 1$ salta una unidad. Cerca de un entero $n$ , la función vale $n - 1$ a la izquierda y $n$ a la derecha.

En toda la clase, $f$ es una función real definida en un conjunto $A$ , y se escribe $A \cap \ioo{a}{\infty}$ para los puntos de $A$ situados a la derecha de $a$ y $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ para los situados a su izquierda.