Límites y continuidad: síntesis y desafíos

Resumen

Esta clase cierra la unidad sobre los límites y la continuidad. Reúne en una sola cadena deductiva lo que las diez clases de la unidad demostraron: la definición del límite con épsilon y delta y sus propiedades locales, las reglas del álgebra de límites reducidas a tres lemas, el teorema del sándwich y los límites trigonométricos; los límites laterales, en el infinito e infinitos, que heredan esas reglas por restricción, por inversión y por el recíproco, junto con las asíntotas; y la continuidad, la de las funciones elementales, los límites notables y la comparación de funciones mediante infinitésimos equivalentes. Explica cómo la unidad se apoya en Álgebra y Geometría I y II, cuyos hechos admitidos sobre las asíntotas y la continuidad convierte en teoremas, y cómo prepara el estudio de las derivadas y de sus aplicaciones. Termina con una evaluación de salida, paralela a la de entrada, y con diez desafíos, más difíciles que los problemas de las clases, cada uno de los cuales combina resultados de varias de ellas.

Objetivos de aprendizaje

Exponer en orden lógico las definiciones y los teoremas principales de la unidad, indicando de qué resultados anteriores depende cada uno y qué argumentos con épsilon y delta se reutilizan.
Distinguir lo que la unidad admite de lo que demuestra, y reconocer las hipótesis de cada resultado, como la del límite de una composición o la de la sustitución de equivalentes.
Relacionar los resultados de la unidad con Álgebra y Geometría I y II y con el estudio de las derivadas y de sus aplicaciones.
Resolver problemas no rutinarios que combinan el álgebra de límites, los límites laterales, en el infinito e infinitos, las asíntotas, la continuidad, los límites notables y los infinitésimos equivalentes.

Lo logrado en la unidad

La unidad partió de una pregunta y de una exigencia. La pregunta: qué significa que los valores de una función se acerquen a un número cuando la variable se acerca a un punto. La exigencia: que la respuesta permita demostrar, y no solo calcular, y que cada argumento con épsilon y delta se haga una sola vez y se reutilice. La respuesta fue una única definición, enunciada en la clase sobre el límite de funciones de una variable real: si $a$ es punto de acumulación del dominio $A$ de $f$ , que el límite de $f$ en $a$ sea $L$ significa lo siguiente.

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)

Todo lo demás se obtuvo de ella, por reducción: las reglas de cálculo, a una desigualdad; los límites laterales, a límites de restricciones; los límites en el infinito, a límites laterales en cero; los límites infinitos, a límites nulos de los recíprocos; y la continuidad, al límite igual al valor.

La definición y el álgebra del límite

La primera clase leyó la definición como un juego de desafío y respuesta, la escribió como enunciado cuantificado y obtuvo su negación cuantificador por cuantificador. Con la exigencia de que $a$ sea punto de acumulación del dominio demostró la unicidad del límite; y con desafíos elegidos de antemano, que el límite solo depende de los valores cercanos al punto, que obliga a la función a quedar acotada cerca de él y que, si no es cero, le impone su signo. La clase sobre el álgebra de límites ordenó las demostraciones para reutilizarlas: tres lemas, demostrados con épsilon y delta, prueban que toda función $F$ que cumpla cerca de $a$ una cota de la forma $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ tiende a $K$ , y cada regla se redujo a encontrar esa cota: la de la combinación lineal sale de la desigualdad triangular, la del producto de la acotación local y la del recíproco de la conservación del signo, con un lema que asegura que restringir el dominio no hace perder el límite. De ahí se siguieron la sustitución directa en los polinomios y las funciones racionales, los límites de las raíces y de las potencias de exponente racional, y el teorema de la composición, que justifica el cambio de variable con una hipótesis que un contraejemplo muestra necesaria: que la función interior no tome el valor de su límite cerca del punto. La clase sobre el teorema del sándwich demostró que los límites conservan las desigualdades no estrictas, que una función encerrada entre dos que tienden al mismo número tiende también a él, y que el producto de una función acotada por otra que tiende a cero tiende a cero; con la cota $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ y la desigualdad entre el seno, el arco y la tangente, obtuvo el límite fundamental $\frac{\sin x}{x} \to 1$ y sus consecuencias.

Los lados, el infinito y las asíntotas

La clase sobre los límites laterales los definió como límites de la restricción de la función a un lado del punto. Esa decisión ahorró todo el trabajo restante: los teoremas anteriores valen para ellos sin demostración nueva, y el límite existe si y solo si existen los dos laterales y son iguales. La misma clase demostró, por primera vez sin calcular el valor, que un límite existe: una función creciente y acotada superiormente en un intervalo tiende, en su extremo derecho, al supremo de sus valores, y lo garantiza la completitud. La clase sobre los límites cuando la variable tiende a infinito redujo cada uno de ellos, con el lema de inversión, a un límite lateral en cero, y obtuvo así el comportamiento de las funciones racionales lejos del origen. La clase sobre los límites infinitos completó el esquema con el caso en que los valores crecen sin cota: el lema del recíproco los traduce en límites nulos, de modo que las reglas que se resumen como « $\infty + c = \infty$ » o « $c \cdot \infty = \infty$ » son teoremas con hipótesis, y las cuatro formas indeterminadas son avisos, no resultados. Por último, la clase sobre las asíntotas las definió con límites, halló la pendiente y la ordenada de una asíntota no vertical como dos límites, de donde hay a lo sumo una en cada extremo, demostró las asíntotas verticales de las funciones racionales y ordenó el esbozo de un gráfico sin derivadas; también mostró que una curva puede cortar su asíntota.

La continuidad y la comparación de funciones

La clase sobre límite y continuidad definió la continuidad en un punto del dominio, demostró que en un punto de acumulación equivale a que el límite sea el valor, y clasificó las discontinuidades en evitables, de salto y esenciales. Las reglas del álgebra de límites dieron la continuidad de las operaciones, y la composición de funciones continuas resultó continua sin la hipótesis que exigía el teorema de la composición de límites; de ello se sigue que el límite entra en una función continua. La clase sobre la continuidad de las funciones elementales demostró con un solo argumento, el de las funciones monótonas cuya imagen es un intervalo, la continuidad de la exponencial, del logaritmo, de las potencias de exponente real y de las trigonométricas inversas; con ella y la desigualdad $e^x \geq 1 + x$ obtuvo los límites notables, el número $e$ como límite y la forma $1^\infty$ , y comparó la exponencial, las potencias y el logaritmo en el infinito. La clase sobre los infinitésimos e infinitos equivalentes leyó todos esos límites como comparaciones entre funciones: definió la $\operatorname{o}$ pequeña, la $\operatorname{O}$ grande y la equivalencia, demostró que en un producto o un cociente cada factor puede sustituirse por otro equivalente, y reunió los límites anteriores en una tabla de equivalentes en cero.

Lo que se admite, lo que se demuestra y lo que queda

El balance de la unidad puede resumirse así:

Se admite un solo axioma: el de completitud, con los de cuerpo y de orden, según el cual todo conjunto no vacío de reales acotado superiormente tiene supremo. Se usan, además, resultados demostrados en Álgebra y Geometría: la desigualdad entre el seno, el arco y la tangente, las fórmulas de suma a producto, la desigualdad $e^x \geq 1 + x$ , la monotonía de la exponencial y el teorema del factor.
Se demuestran hechos que Álgebra y Geometría había admitido: las asíntotas verticales y en el infinito de las funciones racionales, y la continuidad de las funciones racionales, trigonométricas y trigonométricas inversas.
Se reutilizan cinco instrumentos en lugar de repetir argumentos: los tres lemas de la cota, la conservación del signo, la restricción del dominio (en particular, a un lado del punto), la inversión y el recíproco.
Queda para después lo que exige más que límites: el teorema del valor intermedio y las derivadas, en la unidad siguiente; el teorema de Weierstrass y la regla de L'Hôpital, en la tercera; y el polinomio de Taylor, en Cálculo II.

La figura siguiente reúne los tres tramos en una sola cadena. Cada nudo de la columna es una definición o un teorema, numerado según el orden lógico y unido por un arco a los eslabones anteriores que su demostración usa; alrededor flotan los apoyos, es decir, los principios y los instrumentos a los que la cadena recurre una y otra vez, cada uno unido con un trazo firme a los eslabones que se apoyan en él y con uno punteado al eslabón donde se establece, salvo los que proceden de Álgebra y Geometría, que se dibujan como anillos. Al pulsar un apoyo se destacan todos los eslabones que lo usan, y cada eslabón remite a la clase en que se demuestra.

Apoyos de la cadena

AAxiomas de los reales. Se admite, desde Álgebra y Geometría I, que los reales forman un cuerpo ordenado completo: la suma y el producto cumplen los axiomas de cuerpo, el orden cumple la tricotomía y es compatible con las operaciones, y todo conjunto no vacío de reales acotado superiormente tiene supremo. Se admite sin demostración en esta unidad.
BHerencia de Álgebra y Geometría. Resultados demostrados en Álgebra y Geometría I y II: la factorización de $u^n - v^n$ y la potencia de exponente racional, $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ y $\sin x < x < \tan x$ si $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , las fórmulas de suma a producto y de reducción de potencias, la desigualdad $e^x \geq 1 + x$ , la monotonía y el recorrido de la exponencial, las trigonométricas inversas, el teorema del factor y las tablas de signos. Se admite sin demostración en esta unidad.
CCriterio de la cota. Si cerca de $a$ se cumple $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ , con $C > 0$ , $f \to L$ y $g \to M$ , entonces $F \to K$ ; cada regla se reduce a encontrar una cota así. Se establece en: 4. Tres lemas.
DAcotación local y signo. Si $f$ tiende a $L$ en $a$ , cerca de $a$ se cumple $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ ; y si $L \neq 0$ , cerca de $a$ la función tiene el signo de $L$ y $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ . Se establece en: 3. Propiedades locales.
ECambio de variable. Si $g(x) \to b$ , $f(t) \to L$ cuando $t \to b$ , y $g(x) \neq b$ cerca de $a$ , entonces $f(g(x)) \to L$ . Se establece en: 8. Límite de una composición.
FRestricción. Si $f$ tiende a $L$ en $a$ y $a$ es punto de acumulación de un subconjunto $B$ del dominio, la restricción de $f$ a $B$ también tiende a $L$ ; un límite lateral es el límite de una restricción, y por eso todos los teoremas sobre límites valen para los límites laterales. Se establece en: 5. Límite de una restricción.
GInversión. El límite de $f$ en $\infty$ es el límite de $f\left(\frac{1}{t}\right)$ cuando $t$ tiende a $0$ por la derecha, y el de $-\infty$ , por la izquierda; por eso todos los teoremas sobre límites valen en el infinito. Se establece en: 15. Lema de inversión.
HRecíproco. Una función tiende a $\infty$ si y solo si es positiva cerca del destino y su recíproco tiende a $0$ ; por eso las reglas de los límites finitos deciden los infinitos. Se establece en: 17. Lema del recíproco.

Tramo 1 La definición y el álgebra del límite
- Definir el límite en un punto de acumulación con épsilon y delta, escribirlo y negarlo como enunciado cuantificado, y demostrar su unicidad y sus propiedades locales.
- Reducir cada regla del álgebra de límites a una cota mediante tres lemas, y obtener los límites de las funciones racionales, las raíces y las potencias.
- Cambiar de variable con el teorema de la composición, reconociendo su hipótesis.
- Demostrar el teorema del sándwich y, con él, el límite fundamental de la trigonometría y sus consecuencias.
1. Definición de límite. Si $a$ es punto de acumulación del dominio $A$ de $f$ , el límite de $f$ en $a$ es $L$ cuando $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)$ ; y no lo es cuando $(\exists \varepsilon > 0)(\forall \delta > 0)(\exists x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \wedge \abs{f(x) - L} \geq \varepsilon\right)$ .
  Se demuestra en: Límite de funciones de una variable real.
2. Unicidad del límite. Si $a$ es punto de acumulación del dominio de $f$ , $\lim_{x \to a} f(x) = L$ y $\lim_{x \to a} f(x) = L'$ , entonces $L = L'$ .
  Usa: 1. Definición de límite. Se apoya en: A (Axiomas de los reales). Se demuestra en: Límite de funciones de una variable real.
3. Propiedades locales. El límite en $a$ solo depende de los valores de la función en un intervalo reducido de centro $a$ ; si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ , cerca de $a$ se cumple $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ , y si además $L \neq 0$ , $f(x)$ tiene el signo de $L$ y $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ .
  Usa: 1. Definición de límite. Se apoya en: A (Axiomas de los reales). Se demuestra en: Límite de funciones de una variable real.
4. Tres lemas. El límite de $f$ en $a$ es $L$ si y solo si el de $\abs{f(x) - L}$ es $0$ ; si $\abs{f(x) - L} \leq C\abs{h(x)}$ cerca de $a$ , con $C > 0$ y $\lim_{x \to a} h(x) = 0$ , entonces $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ; y la suma de dos distancias que tienden a cero tiende a cero.
  Usa: 1. Definición de límite. Se demuestra en: Álgebra de límites.
5. Límite de una restricción. Si $B$ es un subconjunto del dominio $A$ de $f$ , $a$ es punto de acumulación de $B$ y $\lim_{x \to a} f(x) = L$ , entonces la restricción de $f$ a $B$ también tiende a $L$ en $a$ : la respuesta que sirve en $A$ sirve en $B$ .
  Usa: 1. Definición de límite. Se demuestra en: Álgebra de límites.
6. Álgebra de límites. Si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ y $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , entonces $\alpha f + \beta g$ tiende a $\alpha L + \beta M$ y $fg$ a $LM$ ; y si $M \neq 0$ , $\frac{1}{g}$ tiende a $\frac{1}{M}$ y $\frac{f}{g}$ a $\frac{L}{M}$ .
  Usa: 3. Propiedades locales, 4. Tres lemas. Se apoya en: C (Criterio de la cota), D (Acotación local y signo), F (Restricción). Se demuestra en: Álgebra de límites.
7. Polinomios, raíces y potencias. Un polinomio, y una función racional cuyo denominador no se anula en $a$ , tienen por límite en $a$ su valor; $\sqrt[n]{f(x)}$ tiende a $\sqrt[n]{L}$ , con $f \geq 0$ si $n$ es par; y si $L > 0$ , $\left(f(x)\right)^{\frac{p}{q}}$ tiende a $L^{\frac{p}{q}}$ .
  Usa: 1. Definición de límite, 6. Álgebra de límites. Se apoya en: B (Herencia de Álgebra y Geometría), C (Criterio de la cota), D (Acotación local y signo). Se demuestra en: Álgebra de límites.
8. Límite de una composición. Si $\lim_{x \to a} g(x) = b$ , $\lim_{t \to b} f(t) = L$ y $g(x) \neq b$ cerca de $a$ , entonces $\lim_{x \to a} f(g(x)) = L$ ; sin la hipótesis $g(x) \neq b$ , la conclusión puede fallar.
  Usa: 1. Definición de límite. Se demuestra en: Álgebra de límites.
9. Conservación de las desigualdades. Si $f(x) \leq g(x)$ cerca de $a$ , $\lim_{x \to a} f(x) = L$ y $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , entonces $L \leq M$ ; la desigualdad estricta no se conserva.
  Usa: 6. Álgebra de límites. Se apoya en: D (Acotación local y signo). Se demuestra en: El teorema del sándwich y los límites trigonométricos.
10. Teorema del sándwich. Si $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ cerca de $a$ y $h$ y $g$ tienden a $L$ , también $f$ tiende a $L$ ; y el producto de una función acotada cerca de $a$ por otra que tiende a $0$ tiende a $0$ .
  Usa: 4. Tres lemas. Se apoya en: C (Criterio de la cota). Se demuestra en: El teorema del sándwich y los límites trigonométricos.
11. Seno y coseno. Para todos los reales $x$ y $a$ , $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ y $\abs{\cos x - \cos a} \leq \abs{x - a}$ ; por tanto, $\lim_{x \to a} \sin x = \sin a$ y $\lim_{x \to a} \cos x = \cos a$ .
  Usa: 4. Tres lemas. Se apoya en: B (Herencia de Álgebra y Geometría), C (Criterio de la cota). Se demuestra en: El teorema del sándwich y los límites trigonométricos.
12. Límite fundamental. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ; y cuando $x$ tiende a $0$ , $\frac{\tan x}{x}$ tiende a $1$ , $\frac{\sin kx}{x}$ a $k$ y $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ a $\frac{1}{2}$ .
  Usa: 6. Álgebra de límites, 10. Teorema del sándwich, 11. Seno y coseno. Se apoya en: B (Herencia de Álgebra y Geometría), E (Cambio de variable). Se demuestra en: El teorema del sándwich y los límites trigonométricos.
Tramo 2 Los lados, el infinito y las asíntotas
- Definir los límites laterales como límites de restricciones, de modo que heredan todos los teoremas, y caracterizar el límite por sus dos lados.
- Obtener de la completitud el límite de una función monótona y acotada como un supremo.
- Reducir los límites en el infinito a límites laterales en cero, y los límites infinitos a límites nulos, con sus reglas y sus formas indeterminadas.
- Calcular las asíntotas de una función con dos límites, demostrar las verticales de las funciones racionales y esbozar gráficos sin derivadas.
1. Límites laterales. El límite por la derecha de $f$ en $a$ es el límite en $a$ de su restricción a los puntos del dominio mayores que $a$ , y el límite por la izquierda, a los menores; si $a$ es punto de acumulación por ambos lados, $f$ tiene límite $L$ en $a$ si y solo si los dos límites laterales existen y valen $L$ .
  Usa: 1. Definición de límite, 5. Límite de una restricción, 2. Unicidad del límite. Se demuestra en: Límites laterales.
2. Funciones monótonas. Si $f$ es creciente y acotada superiormente en $\ioo{c}{b}$ , entonces $\lim_{x \to b^-} f(x) = \sup\left\{ f(x) : c < x < b \right\}$ ; y si es creciente y acotada inferiormente, su límite por la derecha en $c$ es el ínfimo de sus valores.
  Usa: 6. Álgebra de límites, 13. Límites laterales. Se apoya en: A (Axiomas de los reales), E (Cambio de variable), F (Restricción). Se demuestra en: Límites laterales.
3. Lema de inversión. El límite de $f$ en $\infty$ es $L$ si para todo $\varepsilon > 0$ existe $M$ tal que $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ cuando $x > M$ ; y se cumple $\lim_{x \to \infty} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{t \to 0^+} f\left(\frac{1}{t}\right) = L$ , y del mismo modo en $-\infty$ con el límite por la izquierda.
  Usa: 13. Límites laterales. Se demuestra en: Límites cuando la variable tiende a infinito.
4. Funciones racionales en el infinito. Para todo racional $r > 0$ , $\frac{1}{x^r}$ tiende a $0$ en $\infty$ ; y el cociente de dos polinomios de grados $n$ y $m$ tiende, en $\pm\infty$ , a $0$ si $n < m$ , al cociente de los coeficientes principales si $n = m$ , y no tiene límite finito si $n > m$ .
  Usa: 2. Unicidad del límite, 6. Álgebra de límites, 7. Polinomios, raíces y potencias. Se apoya en: D (Acotación local y signo), F (Restricción), G (Inversión). Se demuestra en: Límites cuando la variable tiende a infinito.
5. Lema del recíproco. $f$ tiende a $\infty$ en un destino $P$ , que es un punto, un lado de un punto o $\pm\infty$ , si para todo real $N$ se cumple $f(x) > N$ cerca de $P$ ; esto ocurre si y solo si $f$ es positiva cerca de $P$ y $\frac{1}{f}$ tiende a $0$ ; y $f$ tiende a $-\infty$ si y solo si $-f$ tiende a $\infty$ .
  Usa: 1. Definición de límite. Se demuestra en: Límites infinitos.
6. Reglas con límites infinitos. Si $f \leq g$ cerca de $P$ y $f$ tiende a $\infty$ , también $g$ ; si $f$ tiende a $\infty$ , también $f + g$ si $g$ está acotada inferiormente, y $fg$ si $g$ tiende a un número positivo o a $\infty$ ; y un cociente cuyo numerador tiende a un número positivo y cuyo denominador tiende a $0$ con valores positivos tiende a $\infty$ .
  Usa: 6. Álgebra de límites. Se apoya en: D (Acotación local y signo), F (Restricción), G (Inversión), H (Recíproco). Se demuestra en: Límites infinitos.
7. Monótonas no acotadas. Si $f$ es creciente en $\ioo{c}{b}$ , con $b$ real o $b = \infty$ , y no está acotada superiormente, entonces $f$ tiende a $\infty$ por la izquierda en $b$ , o en $\infty$ si $b = \infty$ .
  Usa: 17. Lema del recíproco. Se demuestra en: Límites infinitos.
8. Composición con límite infinito. Si $g$ tiende a $\infty$ en $P$ y $f(u)$ tiende a $L$ cuando $u$ tiende a $\infty$ , entonces $f(g(x))$ tiende a $L$ en $P$ , sin ninguna hipótesis sobre los valores de $g$ ; y lo mismo si $f(u)$ tiende a $\infty$ o a $-\infty$ .
  Usa: 15. Lema de inversión, 17. Lema del recíproco. Se demuestra en: Límites infinitos.
9. Cálculo de la asíntota. La recta $y = mx + b$ es asíntota del gráfico de $f$ en $\infty$ , es decir, $f(x) - (mx + b)$ tiende a $0$ , si y solo si $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ y $b = \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - mx\right)$ ; por tanto, en cada extremo hay a lo sumo una asíntota no vertical.
  Usa: 2. Unicidad del límite, 6. Álgebra de límites, 16. Funciones racionales en el infinito. Se apoya en: G (Inversión). Se demuestra en: Asíntotas y técnicas de representación gráfica.
10. Asíntotas verticales. Si $r$ es raíz del polinomio $B$ y $A(r) \neq 0$ , la recta $x = r$ es asíntota vertical del gráfico de $\frac{A}{B}$ , y a cada lado de $r$ la función tiende a $\infty$ o a $-\infty$ según el signo que le asigna la tabla de signos en el intervalo contiguo.
  Usa: 7. Polinomios, raíces y potencias, 18. Reglas con límites infinitos. Se apoya en: B (Herencia de Álgebra y Geometría), D (Acotación local y signo), F (Restricción). Se demuestra en: Asíntotas y técnicas de representación gráfica.
Tramo 3 La continuidad y la comparación de funciones
- Definir la continuidad, relacionarla con el límite y clasificar las discontinuidades en evitables, de salto y esenciales.
- Demostrar que las operaciones y la composición conservan la continuidad, y que el límite entra en una función continua.
- Demostrar la continuidad de las funciones elementales con el argumento de las funciones monótonas y, con ella, los límites notables y la forma $1^\infty$ .
- Comparar funciones con la $\operatorname{o}$ pequeña y la equivalencia, y sustituir equivalentes en productos y cocientes, pero no en sumas.
1. Continuidad y límite. $f$ es continua en un punto $a$ de su dominio $A$ si $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)$ ; si $a$ es punto de acumulación de $A$ , esto equivale a $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ , y si es un punto aislado, se cumple siempre.
  Usa: 1. Definición de límite. Se demuestra en: Límite y continuidad.
2. Operaciones con funciones continuas. Las combinaciones lineales, los productos, los cocientes con denominador no nulo y las raíces de funciones continuas en $a$ son continuas en $a$ ; por tanto, son continuos en su dominio los polinomios, las funciones racionales, las raíces, el valor absoluto, el seno, el coseno y la tangente.
  Usa: 6. Álgebra de límites, 7. Polinomios, raíces y potencias, 11. Seno y coseno, 23. Continuidad y límite. Se apoya en: C (Criterio de la cota). Se demuestra en: Límite y continuidad.
3. Composición de funciones continuas. Si $g$ es continua en $a$ y $f$ es continua en $g(a)$ , entonces $f \circ g$ es continua en $a$ ; y si $g(x)$ tiende a $b$ y $f$ es continua en $b$ , entonces $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b)$ , también por un lado o en $\pm\infty$ .
  Usa: 3. Propiedades locales, 23. Continuidad y límite. Se apoya en: F (Restricción), G (Inversión). Se demuestra en: Límite y continuidad.
4. Funciones elementales continuas. Una función definida en un intervalo, monótona en él y cuya imagen es un intervalo es continua, y también la inversa de una función estrictamente monótona con esas propiedades; por ello son continuas en su dominio la exponencial, el logaritmo, las potencias de exponente real, las trigonométricas inversas y las hiperbólicas.
  Usa: 13. Límites laterales, 14. Funciones monótonas, 23. Continuidad y límite, 24. Operaciones con funciones continuas, 25. Composición de funciones continuas. Se apoya en: B (Herencia de Álgebra y Geometría). Se demuestra en: Continuidad de las funciones elementales y límites notables.
5. Límites notables. Cuando $x$ tiende a $0$ , $\frac{e^x - 1}{x}$ y $\frac{\ln(1 + x)}{x}$ tienden a $1$ , $\frac{a^x - 1}{x}$ a $\ln a$ y $\frac{\left(1 + x\right)^r - 1}{x}$ a $r$ ; además, $\left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}$ tiende a $e$ en $0$ , y $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ , en $\pm\infty$ .
  Usa: 6. Álgebra de límites, 10. Teorema del sándwich, 13. Límites laterales, 26. Funciones elementales continuas, 25. Composición de funciones continuas. Se apoya en: B (Herencia de Álgebra y Geometría), E (Cambio de variable), G (Inversión). Se demuestra en: Continuidad de las funciones elementales y límites notables.
6. La forma uno elevado a infinito. Si $f > 0$ cerca de $P$ , $f(x)$ tiende a $1$ y $g(x)\left(f(x) - 1\right)$ tiende a un real $\lambda$ , entonces $\left(f(x)\right)^{g(x)}$ tiende a $e^{\lambda}$ .
  Usa: 6. Álgebra de límites, 26. Funciones elementales continuas, 25. Composición de funciones continuas, 27. Límites notables. Se demuestra en: Continuidad de las funciones elementales y límites notables.
7. Exponenciales, potencias y logaritmos. Si $r > 0$ y $a > 1$ , $\frac{x^r}{a^x}$ y $\frac{\ln x}{x^r}$ tienden a $0$ en $\infty$ , y $x^r \ln x$ tiende a $0$ cuando $x$ tiende a $0$ por la derecha.
  Usa: 10. Teorema del sándwich, 16. Funciones racionales en el infinito, 19. Monótonas no acotadas, 20. Composición con límite infinito. Se apoya en: B (Herencia de Álgebra y Geometría), G (Inversión). Se demuestra en: Continuidad de las funciones elementales y límites notables.
8. Comparación de funciones. $f = \operatorname{o}(g)$ en $P$ si $\frac{f}{g}$ tiende a $0$ , y $f \sim g$ si tiende a $1$ ; la equivalencia es reflexiva, simétrica y transitiva, y $f \sim g$ si y solo si $f - g = \operatorname{o}(g)$ .
  Usa: 6. Álgebra de límites. Se demuestra en: Infinitésimos e infinitos equivalentes.
9. Sustitución de equivalentes. Si $f \sim f_1$ y $g \sim g_1$ en $P$ , entonces $\frac{f h}{g}$ tiene límite, finito o infinito, si y solo si lo tiene $\frac{f_1 h}{g_1}$ , y ambos coinciden; el teorema vale para factores, no para sumandos.
  Usa: 6. Álgebra de límites, 18. Reglas con límites infinitos, 30. Comparación de funciones. Se demuestra en: Infinitésimos e infinitos equivalentes.
10. Suma de equivalentes del mismo signo. Si $f_1 \sim g_1$ y $f_2 \sim g_2$ en $P$ , y $g_1$ y $g_2$ son ambas positivas, o ambas negativas, cerca de $P$ , entonces $f_1 + f_2 \sim g_1 + g_2$ .
  Usa: 4. Tres lemas, 10. Teorema del sándwich, 30. Comparación de funciones. Se apoya en: C (Criterio de la cota). Se demuestra en: Infinitésimos e infinitos equivalentes.
11. Tabla de equivalentes. En $0$ , $\sin x$ , $\tan x$ , $\arctan x$ , $e^x - 1$ y $\ln(1 + x)$ son equivalentes a $x$ , $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ , $a^x - 1 \sim x \ln a$ , $\left(1 + x\right)^r - 1 \sim r x$ , y todo polinomio es equivalente a su término de menor grado; las equivalencias valen con cualquier función que tienda a $0$ sin anularse en lugar de $x$ .
  Usa: 7. Polinomios, raíces y potencias, 12. Límite fundamental, 27. Límites notables. Se apoya en: E (Cambio de variable). Se demuestra en: Infinitésimos e infinitos equivalentes.

Hacia la derivada. La cadena se detiene donde el límite deja de ser el objeto de estudio y pasa a ser un instrumento: la unidad siguiente define la derivada como el límite del cociente incremental, obtiene sus reglas del álgebra de límites y de la composición, las derivadas de las funciones elementales de los límites notables, y el teorema del valor intermedio de la conservación del signo y la completitud.