Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Continvitas fvnctionvm elementarivm et limites notabiles

Svmmarivm

Haec lectio demonstrat fvnctiones elementares qvae deerant, exponentialem, logarithmvm, potentias exponentis realis, fvnctiones trigonometricas inversas et hyperbolicas, continvas esse, vno tantvm argvmento: fvnctio monotona cvivs valores intervallvm implent salire non potest. Hac continvitate et inaeqvalitate fvndamentali exponentialis demonstrantvr limites notabiles exponentialis et logarithmi, et nvmervs ee vt limes ipsivs (1+x)1x(1 + x)^{\frac{1}{x}} obtinetvr. Lectio etiam formam indeterminatam 1∞1^\infty solvit et exponentialem, potentias et logarithmvm ad infinitvm comparat.

Proposita discendi

  1. Demonstrare fvnctionem monotonam cvivs imago intervallvm est continvam esse, et inde continvitatem inversae et fvnctionvm elementarivm dedvcere.
  2. Limites notabiles exponentialis, logarithmi et potentiarvm demonstrare.
  3. Nvmervm ee vt limitem obtinere et formam indeterminatam 1∞1^\infty solvere.
  4. Exponentialem, potentias et logarithmvm ad infinitvm et prope nihilvm comparare.

Fvnctiones monotonae sine saltibvs

Lectio de limite et continvitate demonstravit polynomia, radices, valorem absolvtvm et fvnctiones trigonometricas continva esse, et exponentialem, logarithmvm et fvnctiones trigonometricas inversas in svspenso reliqvit. Pro his nvllvs margo tam simplex est qvam ∣sin⁡x−sin⁡a∣≤∣x−a∣\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}. Est avtem argvmentvm commvne: omnes monotonae svnt, et earvm valores intervallvm sine lacvnis implent. Fvnctio monotona discontinva esse non potest nisi per saltvm, et saltvs lacvnam inter valores relinqvit.

TheoremaFvnctiones monotonae qvarvm imago intervallvm est

Sit ff fvnctio in intervallo II definita et in eo monotona, et ponamvs eivs imaginem f(I)={f(x):x∈I}f(I) = \left\{ f(x) : x \in I \right\} intervallvm esse. Tvm ff in II continva est. Per lectionem de limitibvs lateralibvs, ad vtrvmqve latvs pvncti fvnctio monotona limitem habet; si ille limes valor non esset, lacvna in imagine maneret. Figvra fvnctionem crescentem cvm saltv ostendit et lacvnam qvam relinqvit.

Demonstratio

  1. lim⁡x→a−f(x)=L≤f(a),f(c)≤L\lim_{x \to a^-} f(x) = \dato{l}{L \leq f(a)}, \qquad f(c) \leq L

    Satis est casvm crescentem tractare: si ff decrescens est, −f-f crescens est et eivs imago qvoqve intervallvm est. Sit aa pvnctvm ex II a termino eivs sinistro diversvm, et sit c<ac < a in II. In (c,a)\ioo{c}{a} fvnctio crescens est et per f(a)f(a) circvmscripta; per theorema de limite fvnctionis monotonae, limes a sinistra exsistit et est svpremvm horvm valorvm.

  2. x<a→f(x)≤L<y,x≥a→f(x)≥f(a)>yx < a \rightarrow f(x) \leq L < y, \qquad x \geq a \rightarrow f(x) \geq f(a) > y

    Ponamvs L<f(a)L < f(a). Pvnctvm medivm yy inter LL et f(a)f(a) iacet inter valores f(c)f(c) et f(a)f(a), ita vt ad imaginem pertineat, qvae intervallvm est. Sed nvllvm xx ex II id attingit: si x<ax < a, valor LL non svperat, et si x≥ax \geq a, infra f(a)f(a) non descendit. Contradictio est.

  3. lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = \resaltar{f(a)}

    Ergo L=f(a)L = f(a). Eodem modo, cvm infimo et corollario de termino sinistro eivsdem lectionis, limes a dextra valet f(a)f(a) in omni aa ex II a termino eivs dextro diverso. Ambo limites laterales cvm valore congrvvnt, et ff in aa continva est; in termino ipsivs II satis est vnvm latvs qvod exsistit.

Hypothesis de imagine necessaria est: pars integra monotona est et in qvoqve nvmero integro discontinva, et eivs imago, copia nvmerorvm integrorvm, intervallvm non est. Ex theoremate statim seqvitvr continvitas fvnctionvm inversarvm.

CorollarivmContinvitas inversae

Sit ff fvnctio in intervallo II definita et in eo stricte monotona, et ponamvs eivs imaginem J=f(I)J = f(I) intervallvm esse. Tvm inversa f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I in JJ continva est. Inversa eodem sensv monotona est, et eivs imago est intervallvm II.

Demonstratio

  1. f−1(y)≥f−1(y′)→y≥y′,f−1(J)=If^{-1}(y) \geq f^{-1}(y') \rightarrow y \geq y', \qquad f^{-1}(J) = \resaltar{I}

    Si ff crescens est et y<y′y < y' in JJ, inversa ordinem invertere non potest: si esset f−1(y)≥f−1(y′)f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y'), fvnctione ff adhibita obtineretvr y≥y′y \geq y'. Ergo f−1f^{-1} crescens est, et eivs imago est II; theorema continvitatem dat. Casvs decrescens similis est.