Limites laterales · Topos Uranos

Svmmarivm

Haec lectio considerat qvomodo fvnctio ex vtraqve parte pvncti se habeat. Limes a dextra et limes a sinistra definivntvr tamqvam limites ordinarii restrictionis fvnctionis ad altervm latvs, ita vt omnia theoremata lectionvm svperiorvm de eis valeant sine nova demonstratione. Per epsilon et delta dvo tantvm eventa demonstrantvr: fvnctionem limitem habere si et solvm si ambo eivs limites laterales exsistvnt et congrvvnt, et fvnctionem monotonam et circvmscriptam in termino intervalli limitem lateralem habere, aeqvalem svpremo vel infimo valorvm eivs. Hoc posterivs primvm theorema cvrsvs est qvod limitem exsistere praestat, valore eivs non antea cognito. Problemata considerant fvnctiones per frvsta definitas, partem integram et qvotientes trigonometricos qvi ex vtraqve parte ad nvmeros diversos tendvnt.

Proposita discendi

Limites laterales per epsilon et delta definire tamqvam limites restrictionis, et theoremata lectionvm svperiorvm ad eos adhibere.
Demonstrare fvnctionem in pvncto limitem habere si et solvm si ambo eivs limites laterales exsistvnt et aeqvales svnt, et hoc adhibere ad demonstrandvm limitem non exsistere.
Demonstrare fvnctionem monotonam et circvmscriptam in terminis intervalli limites laterales habere, aeqvales svpremo vel infimo valorvm eivs.
Limites laterales compvtare fvnctionvm per frvsta definitarvm, partis integrae et qvotientivm trigonometricorvm, et constantes determinare vt limes exsistat.

Saltvs et orae

In lectione de limite fvnctionvm vnivs variabilis realis demonstratvm est fvnctionem signi, qvae valet $1$ in positivis et $-1$ in negativis (valor ei in $0$ attribvtvs limitem non afficit), limitem in $0$ non habere. Et tamen eivs modvs prope $0$ simplicissimvs est: ad dextram ipsivs $0$ constanter valet $1$ , et ad sinistram constanter $-1$ . Definitio limitis latera non distingvit, et ideo hanc notitiam non retinet. Idem accidit parti integrae, qvae infra definitvr, in qvolibet nvmero integro.

In demonstratione densitatis rationalivm, in lectione de recta reali, ostensvm est pro omni nvmero reali $t$ exsistere integrvm $m$ cvm $m - 1 \leq t < m$ . Hic integer vnicvs est, qvia dvo integri diversi saltem $1$ inter se distant neqve ambo in intervallvm longitvdinis $1$ ab vno termino apertvm cadvnt. Integer $m - 1$ pars integra nvmeri $t$ appellatvr et scribitvr $\lfloor t \rfloor$ : est vnicvs integer qvi condicioni qvae seqvitvr satisfacit.

\lfloor t \rfloor \in \mathbb{Z}, \qquad \lfloor t \rfloor \leq t < \lfloor t \rfloor + 1

Exempli gratia, $\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2$ , $\lfloor 3 \rfloor = 3$ et $\lfloor -0{,}5 \rfloor = -1$ . In intervallo $\ico{n}{n + 1}$ , vbi $n$ integer est, pars integra constanter valet $n$ ; cvm ad $n + 1$ pervenit, svbito vno avgetvr. Prope integrvm $n$ fvnctio valet $n - 1$ ad sinistram et $n$ ad dextram.

In tota lectione, $f$ est fvnctio realis in copia $A$ definita, et scribitvr $A \cap \ioo{a}{\infty}$ pro pvnctis copiae $A$ ad dextram ipsivs $a$ sitis et $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ pro iis qvae ad sinistram eivs sita svnt.