Πλευρικά όρια

Άλματα και άκρα

Στο μάθημα για το όριο συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής αποδείχθηκε ότι η συνάρτηση πρόσημο, που παίρνει την τιμή $1$ στους θετικούς και $-1$ στους αρνητικούς (η τιμή που της αποδίδεται στο $0$ δεν επηρεάζει το όριο), δεν έχει όριο στο $0$. Κι όμως η συμπεριφορά της κοντά στο $0$ είναι πολύ απλή: δεξιά του $0$ ισούται σταθερά με $1$, και αριστερά, σταθερά με $-1$. Ο ορισμός του ορίου δεν διακρίνει τις πλευρές, και γι’ αυτό δεν καταγράφει αυτή την πληροφορία. Το ίδιο συμβαίνει με το ακέραιο μέρος, που ορίζεται αμέσως παρακάτω, σε κάθε ακέραιο αριθμό.

Στην απόδειξη της πυκνότητας των ρητών, στο μάθημα για την πραγματική ευθεία, αποδείχθηκε ότι για κάθε πραγματικό $t$ υπάρχει ένας ακέραιος $m$ με $m - 1 \leq t < m$. Ο ακέραιος αυτός είναι μοναδικός, γιατί δύο διαφορετικοί ακέραιοι απέχουν τουλάχιστον $1$ και δεν χωρούν και οι δύο σε ένα διάστημα μήκους $1$ ανοιχτό στο ένα άκρο. Ο ακέραιος $m - 1$ λέγεται ακέραιο μέρος του $t$ και γράφεται $\lfloor t \rfloor$: είναι ο μοναδικός ακέραιος που ικανοποιεί την ακόλουθη συνθήκη.

Για παράδειγμα, $\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2$, $\lfloor 3 \rfloor = 3$ και $\lfloor -0{,}5 \rfloor = -1$. Στο διάστημα $\ico{n}{n + 1}$, με $n$ ακέραιο, το ακέραιο μέρος ισούται σταθερά με $n$· φτάνοντας στο $n + 1$ πηδά κατά μία μονάδα. Κοντά σε έναν ακέραιο $n$, η συνάρτηση ισούται με $n - 1$ αριστερά και με $n$ δεξιά.

Σε όλο το μάθημα, η $f$ είναι μια πραγματική συνάρτηση ορισμένη σε ένα σύνολο $A$, και γράφουμε $A \cap \ioo{a}{\infty}$ για τα σημεία του $A$ που βρίσκονται δεξιά του $a$ και $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ για όσα βρίσκονται αριστερά του.