Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Το θεώρημα της παρεμβολής και τα τριγωνομετρικά όρια

Περίληψη

Το μάθημα αυτό βρίσκει όρια στα οποία δεν φτάνουν οι κανόνες της άλγεβρας των ορίων, συγκρίνοντας τη συνάρτηση με άλλες των οποίων το όριο είναι γνωστό. Πρώτα αποδεικνύεται ότι τα όρια διατηρούν τις μη αυστηρές ανισότητες· έπειτα, το θεώρημα της παρεμβολής, που ανάγεται στο κριτήριο του φράγματος του προηγούμενου μαθήματος χωρίς κανένα νέο επιχείρημα με έψιλον και δέλτα, και η πιο συχνή περίπτωσή του: το γινόμενο μιας φραγμένης συνάρτησης επί μια συνάρτηση που τείνει στο μηδέν. Με το φράγμα του ημιτόνου, που αποδείχθηκε στην Άλγεβρα και γεωμετρία II, αποδεικνύεται ότι το ημίτονο και το συνημίτονο έχουν όριο σε κάθε σημείο, ίσο με την τιμή τους. Η ανισότητα ημιτόνου, τόξου και εφαπτομένης δίνει τότε το θεμελιώδες τριγωνομετρικό όριο lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, από το οποίο οι ήδη γνωστοί κανόνες συνάγουν τα υπόλοιπα τριγωνομετρικά όρια. Τα προβλήματα εφαρμόζουν το θεώρημα της παρεμβολής, υπολογίζουν τριγωνομετρικά όρια με αλλαγές μεταβλητής και βρίσκουν το όριο του arctan⁡yy\frac{\arctan y}{y}.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να αποδεικνύει τη διατήρηση των ανισοτήτων, με τη διατήρηση του προσήμου, και, με το κριτήριο του φράγματος, το θεώρημα της παρεμβολής και το όριο του γινομένου μιας φραγμένης συνάρτησης επί μια συνάρτηση που τείνει στο μηδέν.
  2. Να αποδεικνύει ότι το ημίτονο και το συνημίτονο έχουν όριο σε κάθε σημείο, ίσο με την τιμή τους, και να συνάγει από αυτό το όριο της εφαπτομένης.
  3. Να αποδεικνύει το θεμελιώδες τριγωνομετρικό όριο lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 και να συνάγει από αυτό τα όρια των tan⁡xx\frac{\tan x}{x}, sin⁡kxx\frac{\sin kx}{x}, 1−cos⁡xx2\frac{1 - \cos x}{x^2} και 1−cos⁡xx\frac{1 - \cos x}{x}.
  4. Να υπολογίζει όρια με σύγκριση και τριγωνομετρικά όρια, αιτιολογώντας κάθε συμπέρασμα με τα θεωρήματα του μαθήματος.

Όρια στα οποία δεν φτάνουν οι κανόνες

Στο μάθημα για την άλγεβρα των ορίων, κάθε μορφή 00\frac{0}{0} λύθηκε με μετασχηματισμό της παράστασης ώσπου να απλοποιηθεί ένας κοινός παράγοντας. Το πηλίκο sin⁡xx\frac{\sin x}{x}, όταν το xx τείνει στο 00, δεν επιδέχεται αυτόν τον χειρισμό: το ημίτονο δεν είναι πολυώνυμο, και καμία παραγοντοποίηση δεν κάνει να εμφανιστεί ο παράγοντας xx στον αριθμητή. Ούτε ο κανόνας του γινομένου αποφασίζει για το όριο της xsin⁡1xx \sin \frac{1}{x} στο 00, γιατί ο παράγοντας sin⁡1x\sin \frac{1}{x} δεν έχει όριο, όπως ζητήθηκε να αποδειχθεί στο προτεινόμενο πρόβλημα 3 του μαθήματος για το όριο συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής.

Ωστόσο, και στις δύο περιπτώσεις η συνάρτηση εγκλωβίζεται ανάμεσα σε δύο άλλες απλούστερες: η απόλυτη τιμή της xsin⁡1xx \sin \frac{1}{x} δεν υπερβαίνει την ∣x∣\abs{x}, και το πηλίκο sin⁡xx\frac{\sin x}{x} βρίσκεται, όπως θα δούμε, ανάμεσα στο cos⁡x\cos x και στο 11. Αν αυτό ισχύει, αξίζει να αποδειχθεί μία φορά για πάντα ότι μια συνάρτηση εγκλωβισμένη ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις που τείνουν στον ίδιο αριθμό τείνει κι αυτή σε αυτόν. Οι αποδείξεις αυτού του μαθήματος ακολουθούν το σχέδιο του προηγούμενου: κάθε αποτέλεσμα ανάγεται σε μια ανισότητα, και το κριτήριο του φράγματος, ή το εργαλείο που συνάχθηκε από αυτό, κάνει τα υπόλοιπα.

Διατηρούνται οι συμβάσεις του προηγούμενου μαθήματος: οι ff, gg και hh είναι πραγματικές συναρτήσεις ορισμένες σε ένα ίδιο σύνολο AA, το σημείο aa είναι σημείο συσσώρευσης του AA, και ότι κάτι ισχύει «κοντά στο aa» σημαίνει ότι υπάρχει ένα r>0r > 0 τέτοιο ώστε το ικανοποιεί κάθε xx του AA με 0<∣x−a∣<r0 < \abs{x - a} < r. Ας θυμηθούμε το εργαλείο με το οποίο έκλεισε η παράγραφος των τριών λημμάτων: αν lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L και lim⁡x→ag(x)=M\lim_{x \to a} g(x) = M, κάθε συνάρτηση FF που ικανοποιεί κοντά στο aa ένα φράγμα σαν το ακόλουθο, με C>0C > 0, τείνει στο KK.

∣F(x)−K∣≤C(∣f(x)−L∣+∣g(x)−M∣)\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)