Le théorème des gendarmes et les limites trigonométriques

Résumé

Cette leçon obtient des limites hors de portée des opérations sur les limites, en comparant la fonction à d’autres dont la limite est connue. On démontre d’abord que le passage à la limite conserve les inégalités larges ; puis le théorème des gendarmes, qui se ramène au critère de majoration de la leçon qui précède sans aucun nouveau raisonnement epsilon-delta, et son cas le plus utilisé : le produit d’une fonction bornée par une fonction qui tend vers zéro. Avec la majoration du sinus, démontrée en Algèbre et géométrie II, on prouve que le sinus et le cosinus ont une limite en tout point, égale à leur valeur. L’inégalité entre le sinus, l’arc et la tangente donne alors la limite fondamentale $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , dont les règles déjà connues déduisent les autres limites trigonométriques. Les problèmes appliquent le théorème des gendarmes, calculent des limites trigonométriques par des changements de variable et obtiennent la limite de $\frac{\arctan y}{y}$ .

Objectifs d’apprentissage

Démontrer le passage à la limite dans les inégalités, par la conservation du signe, et, par le critère de majoration, le théorème des gendarmes et la limite du produit d’une fonction bornée par une fonction qui tend vers zéro.
Démontrer que le sinus et le cosinus ont une limite en tout point, égale à leur valeur, et en déduire celle de la tangente.
Démontrer la limite fondamentale $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ et en déduire les limites de $\frac{\tan x}{x}$ , $\frac{\sin kx}{x}$ , $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ et $\frac{1 - \cos x}{x}$ .
Calculer des limites par comparaison et des limites trigonométriques, en justifiant chaque étape par les théorèmes de la leçon.

Des limites hors de portée des règles

Dans la leçon sur les opérations sur les limites, toute forme $\frac{0}{0}$ a été levée en transformant l’expression jusqu’à simplifier un facteur commun. Le quotient $\frac{\sin x}{x}$ , quand $x$ tend vers $0$ , n’admet pas ce traitement : le sinus n’est pas un polynôme, et aucune factorisation ne fait apparaître le facteur $x$ au numérateur. La règle du produit ne décide pas non plus la limite de $x \sin \frac{1}{x}$ en $0$ , car le facteur $\sin \frac{1}{x}$ n’a pas de limite, comme on a demandé de le démontrer dans le problème proposé 3 de la leçon sur la limite des fonctions d’une variable réelle.

Or, dans les deux cas, la fonction est prise entre deux autres plus simples : la valeur absolue de $x \sin \frac{1}{x}$ ne dépasse pas $\abs{x}$ , et le quotient $\frac{\sin x}{x}$ est, comme on le verra, compris entre $\cos x$ et $1$ . S’il en est ainsi, il convient de démontrer une seule fois qu’une fonction prise entre deux fonctions qui tendent vers le même nombre tend aussi vers lui. Les démonstrations de cette leçon suivent le plan de celle qui précède : chaque résultat se ramène à une inégalité, et le critère de majoration, ou l’outil qu’on en a déduit, fait le reste.

On conserve les conventions de la leçon qui précède : $f$ , $g$ et $h$ sont des fonctions réelles définies sur un même ensemble $A$ , le point $a$ est un point d’accumulation de $A$ , et dire qu’une propriété est vraie « près de $a$ » signifie qu’il existe un $r > 0$ tel que tout $x$ de $A$ avec $0 < \abs{x - a} < r$ la vérifie. Rappelons l’outil sur lequel s’est achevée la section des trois lemmes : si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , toute fonction $F$ qui vérifie près de $a$ une majoration comme celle-ci, avec $C > 0$ , tend vers $K$ .

\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)